潘興琳， 保 宏， 張旭東

(1.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安， 710071) (2.西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同中心 西安，710071) (3.南京電子技術(shù)研究所結(jié)構(gòu)工藝研究部 南京，210039)

引 言

隨著智能結(jié)構(gòu)和健康監(jiān)測(cè)的發(fā)展，基于應(yīng)變測(cè)量數(shù)據(jù)的變形重構(gòu)技術(shù)越來(lái)越重要[1]。比如嵌入天線的機(jī)翼可以通過(guò)實(shí)時(shí)變形監(jiān)測(cè)，給控制和作動(dòng)系統(tǒng)提供反饋；大型可展開(kāi)天線準(zhǔn)確的變形估計(jì)可以有效地提高天線工作性能，因此實(shí)現(xiàn)高精度的結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)具有重要意義。

目前基于應(yīng)變的變形重構(gòu)研究已有許多。Davis等[2]針對(duì)振動(dòng)懸臂梁的形變估計(jì)，通過(guò)離散化處理，以若干個(gè)函數(shù)表示各離散點(diǎn)位移的組成分量，并推導(dǎo)出在相應(yīng)函數(shù)下的應(yīng)變表達(dá)式。根據(jù)實(shí)際測(cè)量的應(yīng)變量確定各個(gè)應(yīng)變表達(dá)式在總體應(yīng)變中的所占的比重，由此就可以將位移場(chǎng)表示為相應(yīng)函數(shù)的線性組合。但是函數(shù)的選取需要對(duì)結(jié)構(gòu)和載荷有充分的了解，在實(shí)際應(yīng)用中存在一定難度。Ko等[3]提出非線性位移理論，將彎曲變形的梁分段線性化，每一段內(nèi)的變形看作受線性變化的彎矩作用而發(fā)生的彎曲變形，然后根據(jù)經(jīng)典梁理論[4]推導(dǎo)出每一段內(nèi)應(yīng)變的線性表達(dá)式，由此推導(dǎo)相應(yīng)的位移表達(dá)式。隨后Ko將該理論擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)的形變估計(jì)當(dāng)中，如變截面梁、簡(jiǎn)支梁、曲梁、翼盒及板[3-5]等。但是非線性位移理論是一種單維方法，在用于三維結(jié)構(gòu)或者復(fù)雜結(jié)構(gòu)，為了得到較好的估計(jì)精度需要的傳感器數(shù)目較多，適用性較差。Foss等[6]提出了一種從應(yīng)變和結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)的方法。該方法的理論基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)的變形位移量可以表示成各階模態(tài)的線性組合，而且應(yīng)變也存在與此對(duì)應(yīng)的關(guān)系。首先根據(jù)測(cè)量所得應(yīng)變量與應(yīng)變模態(tài)求出模態(tài)坐標(biāo)，即各階模態(tài)的權(quán)重，然后將位移量表示成各階位移模態(tài)的線性組合，建立了應(yīng)變-位移關(guān)系。但是模態(tài)信息較難獲取，特別是對(duì)于有幾何非線性結(jié)構(gòu)而言,因此該方法存在一定局限性。

上述研究方法一般需要充分精確的載荷或者材料的彈性慣性信息，而這些數(shù)據(jù)信息往往難以獲取，而且對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的變形無(wú)法準(zhǔn)確的測(cè)量。為了滿足智能結(jié)構(gòu)和健康監(jiān)測(cè)的要求，算法應(yīng)該能夠適應(yīng)復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和邊界條件，并且在大范圍的載荷或者材料的彈性慣性變化下能夠保持準(zhǔn)確、穩(wěn)定、實(shí)時(shí)。Tessler等[7]提出了一種滿足上述要求的逆有限元方法，該方法利用最小二乘變分原則結(jié)合測(cè)量所得的應(yīng)變數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)任意形式結(jié)構(gòu)的變形情況，包括桿、梁、板、殼及實(shí)體，為了完成對(duì)任意板殼結(jié)構(gòu)的建模，基于一階剪切變形理論開(kāi)發(fā)了有3個(gè)節(jié)點(diǎn)的一個(gè)逆殼單元，結(jié)構(gòu)按C°連續(xù)的要求離散化，可以適用于任意位置和任意方向安裝的傳感器所得的數(shù)據(jù)。Cherlone等[8]對(duì)逆有限元方法的應(yīng)用做了更為深入的研究，說(shuō)明了該方法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性以及適用性。因?yàn)樵趇FEM中的方程只用到了應(yīng)變-位移關(guān)系，所以該方法可以在事先不知道結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、阻尼特性以及載荷的情況下完成對(duì)結(jié)構(gòu)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的估計(jì)，而且該方法最終基于一組線性代數(shù)方程組來(lái)進(jìn)行求解，計(jì)算效率高。

本研究在逆有限元的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了框架表面應(yīng)變與框架測(cè)量點(diǎn)變形之間的表達(dá)式。針對(duì)應(yīng)變測(cè)量過(guò)程中由于模型安裝和測(cè)量操作等因素引入的誤差，基于模糊系統(tǒng)的普遍逼近特性[9]，采用自構(gòu)架模糊網(wǎng)絡(luò)逼近測(cè)量應(yīng)變量與iFEM求解應(yīng)變量之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量應(yīng)變量的修正。利用框架模型上進(jìn)行測(cè)量驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了初步驗(yàn)證。

1 建立測(cè)量模型

根據(jù)Gherlone等[8]提出的逆有限元法，對(duì)于任意一段結(jié)構(gòu)可以得到應(yīng)變-位移的關(guān)系表達(dá)式

KU=F

(1)

其中：

(2)

所以，對(duì)于未知的節(jié)點(diǎn)變形，可以通過(guò)任意截面應(yīng)變來(lái)求取，U=K-1F。并且對(duì)于任一確定的單元，K-1是保持不變的，不隨工況的變化而改變。

根據(jù)式(2)可以確定任一段內(nèi)任意點(diǎn)應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，對(duì)于段內(nèi)任意一點(diǎn)位移可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)確定

通常U是待求解的位移量，基于測(cè)量得到的應(yīng)變，根據(jù)公式U=K-1F，即可確定位移。逆解的過(guò)程與上述過(guò)程相反，位移量U已知，進(jìn)而推導(dǎo)得到相應(yīng)的應(yīng)變。通過(guò)式(1)可以確定末節(jié)點(diǎn)位移與應(yīng)變的關(guān)系，再根據(jù)式(3)可將任一段內(nèi)的任意節(jié)點(diǎn)位移與應(yīng)變相對(duì)應(yīng)，逆解出來(lái)相應(yīng)的應(yīng)變量。

在應(yīng)用逆有限元法時(shí)，由于存在操作誤差(包括應(yīng)變片粘貼工藝、粘貼位移)、系統(tǒng)誤差(放大器的零點(diǎn)漂移、儀器的測(cè)量誤差等)和模型誤差(主要包括模型結(jié)構(gòu)本身的連接、分段等)，導(dǎo)致測(cè)量應(yīng)變存在誤差。進(jìn)而根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量應(yīng)變計(jì)算得到的理論位移量與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的位移量存在較大偏差。結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)的精度降低，難以滿足實(shí)際應(yīng)用中的精度要求。

2 誤差修正

測(cè)量應(yīng)變量中包含了較多不確定的誤差因素，因而與逆解應(yīng)變量之間存在的映射關(guān)系難以明確得到，很難設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)型式固定的模糊網(wǎng)絡(luò)完成準(zhǔn)確的表達(dá)。本研究采用自構(gòu)架模糊網(wǎng)絡(luò)法，即模糊系統(tǒng)的隸屬函數(shù)與規(guī)則，根據(jù)某種機(jī)制進(jìn)行自主增加并調(diào)整其分布來(lái)完善模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，自主構(gòu)架網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近測(cè)量應(yīng)變量與逆解應(yīng)變量之間的映射關(guān)系。

模糊網(wǎng)絡(luò)法基于T-S型模糊邏輯系統(tǒng)，采用三角隸屬函數(shù)。模糊網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建過(guò)程中可以自主增刪隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則，時(shí)刻保持模糊系統(tǒng)精簡(jiǎn)，同時(shí)能夠以較高精度逼近不同載荷情況下測(cè)量應(yīng)變量與逆解應(yīng)變量之間的映射關(guān)系。模糊網(wǎng)絡(luò)法的自構(gòu)架訓(xùn)練階段分為4個(gè)過(guò)程：增加隸屬函數(shù)和規(guī)則；刪除隸屬函數(shù)和規(guī)則；自適應(yīng)規(guī)則后件；固化規(guī)則庫(kù)。

2.1 增加隸屬函數(shù)和規(guī)則

根據(jù)以下兩個(gè)準(zhǔn)則[10]判斷是否需要增加隸屬函數(shù)。

1) 系統(tǒng)誤差準(zhǔn)則：以系統(tǒng)的均方根誤差(root mean square，簡(jiǎn)稱RMS)來(lái)描述系統(tǒng)誤差。若系統(tǒng)誤差大于一個(gè)預(yù)先設(shè)定的誤差閾值Er，則說(shuō)明當(dāng)前隸屬函數(shù)分布不能很好地描述輸入和輸出之間的關(guān)系，需要增加隸屬函數(shù)。

2)ε完備性：針對(duì)輸入?yún)^(qū)間范圍內(nèi)的每一個(gè)輸入變量都至少存在一個(gè)隸屬函數(shù)，其隸屬度不小于一個(gè)設(shè)定值ε，ε值一般取0.5。找出所有輸入變量在當(dāng)前隸屬度函數(shù)分布下對(duì)應(yīng)的最大隸屬度，如果最大隸屬度中的最小值小于ε，則需增加隸屬函數(shù)。

在增加隸屬函數(shù)之前，針對(duì)每個(gè)測(cè)量應(yīng)變輸入，需要判斷當(dāng)前測(cè)量應(yīng)變量是否與已有的隸屬函數(shù)中心點(diǎn)重合，若重合，則只生成規(guī)則，而不再增加新的隸屬函數(shù)。當(dāng)一個(gè)新隸屬函數(shù)增加時(shí)，則以當(dāng)前該輸入應(yīng)變的值為中心點(diǎn)，相鄰隸屬函數(shù)的中心點(diǎn)分別為左右端點(diǎn)。同時(shí)，相鄰隸屬函數(shù)的左右端點(diǎn)也要調(diào)整為新增隸屬函數(shù)的中心，以保持隸屬函數(shù)的連續(xù)分布。在生成規(guī)則時(shí)，以當(dāng)前各個(gè)應(yīng)變輸入中隸屬度最大的隸屬函數(shù)為規(guī)則前件，逆有限元求解的應(yīng)變量作為規(guī)則后件，每次只生成一條規(guī)則。假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中有N個(gè)輸入x1,x2,…,xN，則模糊規(guī)則形式如下。

y=αi

(4)

因此得到在k時(shí)刻，該位規(guī)則庫(kù)的輸出[11]為

(5)

2．2 刪除隸屬函數(shù)和規(guī)則

一個(gè)自構(gòu)架模糊系統(tǒng)如果只能增加隸屬函數(shù)和規(guī)則，那么隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)不確定性的增加，規(guī)則數(shù)的增長(zhǎng)則必然導(dǎo)致計(jì)算負(fù)擔(dān)的增大和參數(shù)學(xué)習(xí)效率的降低。因此需要?jiǎng)h除那些對(duì)系統(tǒng)作用可忽略不計(jì)的隸屬函數(shù)和規(guī)則，保持系統(tǒng)的精簡(jiǎn)性。定義規(guī)則貢獻(xiàn)率Ci為第i條規(guī)則的輸出占系統(tǒng)總輸出的比例，Si為規(guī)則的刪除指標(biāo)[12]

(6)

(7)

Si初始化為1，如果Ci小于β，則Si衰減；否則Si保持不變。當(dāng)Si衰減到低于刪除閾值Ω時(shí)，則刪除該條規(guī)則。

2.3 自適應(yīng)規(guī)則后件

基于規(guī)則庫(kù)當(dāng)前的估算輸出值和期望輸出值對(duì)規(guī)則后件進(jìn)行調(diào)整。在當(dāng)前k時(shí)刻，第i條規(guī)則后件調(diào)整的具體表達(dá)式[13]如下

Δαi(k)=γμi(k-1)(r(k-1)-y(k))

(8)

其中：μi(k-1)和r(k-1)分別為在k-1時(shí)刻第i條規(guī)則的激活度和實(shí)測(cè)輸出值；y(k)為當(dāng)前k時(shí)刻系統(tǒng)的估算輸出值；γ為一個(gè)常量，其大小直接影響到后件調(diào)整的快慢。

2.4 固化規(guī)則得到模糊網(wǎng)絡(luò)

經(jīng)過(guò)多次訓(xùn)練，精度滿足指標(biāo)要求，模糊網(wǎng)絡(luò)自構(gòu)架完成。則固化當(dāng)前規(guī)則，保存模糊網(wǎng)絡(luò)。在應(yīng)用階段中，測(cè)量應(yīng)變量輸入到訓(xùn)練階段得到的模糊網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算直接得到相應(yīng)的輸出作為修正后的應(yīng)變量。

整個(gè)應(yīng)變測(cè)量修正算法可以分為兩個(gè)階段，模糊網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練建立階段和網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用實(shí)現(xiàn)重構(gòu)階段。兩個(gè)階段的結(jié)構(gòu)框圖如圖1，2所示。

圖1 模糊網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練建立階段框圖Fig.1 The diagram of the fuzzy network training phase

圖2 網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用實(shí)現(xiàn)重構(gòu)階段框圖Fig.2 The diagram of the fuzzy network application phase

3 實(shí)驗(yàn)算例

為驗(yàn)證提出的測(cè)量應(yīng)變修正方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，設(shè)計(jì)了柔性框架模型靜態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)。柔性框架的主要組合部分包括：前后緣模塊、肋板模塊及中間梁模塊。單翼展向長(zhǎng)2 m，由6個(gè)單元拼接而成?？蚣懿牧蠟?061-t6鋁，E=73 000 MPa,ν=0.3，ρ=2 712.63 kg/m3。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別利用兩套測(cè)量系統(tǒng)同時(shí)測(cè)得框架測(cè)量點(diǎn)的應(yīng)變量和位移量。實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)組成如圖3中所示。應(yīng)變測(cè)量系統(tǒng)由電阻式全橋應(yīng)變片、信號(hào)放大器以及數(shù)據(jù)采集卡組成；位移測(cè)量系統(tǒng)由動(dòng)態(tài)三維光學(xué)測(cè)量?jī)x(NDI Optrotrak Certus)及配套軟件組成。

圖3 實(shí)驗(yàn)框架模型及測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of framework and experimental measurement system

為了完成逆有限元法的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，將應(yīng)變測(cè)量點(diǎn)布置在各段中間梁的中間位置，以x軸為中性軸，均布3個(gè)與x軸方向相同的測(cè)量點(diǎn)，同時(shí)在同一位置增加與x軸呈45°方向的3個(gè)測(cè)量點(diǎn)，選點(diǎn)形式如圖4(a)所示，即一個(gè)測(cè)量點(diǎn)位置布置6個(gè)應(yīng)變片。對(duì)于位移測(cè)點(diǎn)將其布置在各段中間梁的末端和段內(nèi)任意一點(diǎn)，6段共布置12個(gè)位移測(cè)量點(diǎn)。位移測(cè)量點(diǎn)分布如圖4(b)所示。

圖4 應(yīng)變及位移測(cè)量點(diǎn)分布Fig.4 The distribution of strain and displacement measurement points

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，在框架末端施加單點(diǎn)集中載荷作用，在0～7.5 kg載荷范圍逐次增加，共進(jìn)行20組工況實(shí)驗(yàn)。隨機(jī)選取工況2、工況5、工況7、工況10、工況11、工況15及工況18為測(cè)試數(shù)據(jù)，其余工況為訓(xùn)練數(shù)據(jù)構(gòu)建模糊網(wǎng)絡(luò)?；谀嬗邢拊ǖ玫降膽?yīng)變-位移關(guān)系，通過(guò)測(cè)量的位移量求解得到相應(yīng)的逆解應(yīng)變量，以第1段與x方向相同的應(yīng)變?yōu)槔娼鈶?yīng)變與實(shí)際應(yīng)變結(jié)果如表1所示。在得到逆解應(yīng)變的基礎(chǔ)上，通過(guò)模糊網(wǎng)絡(luò)建立相關(guān)實(shí)際應(yīng)變與逆解應(yīng)變之間的關(guān)系。

表1 模糊網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)

隨機(jī)選取7組工況數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，得到經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)修正之后的應(yīng)變結(jié)果如表2所示。代入模糊網(wǎng)絡(luò)修正后應(yīng)變所得到的變形重構(gòu)結(jié)果，如表3所示。

表2 模糊網(wǎng)絡(luò)測(cè)試結(jié)果

表3 測(cè)量應(yīng)變修正前后誤差比較

Tab.3 The comparision of deformation displacement results

加載工況最大位移/mm修正前RMS/mm修正后RMS/mm誤差減小百分比/%210.240.710.2564.79530.773.181.0666.66735.065.411.5970.611079.647.622.2570.471194.779.162.8668.7715126.4510.963.1671.1718157.3712.874.4465.55

RMS為均方根誤差(root-mean-squared error,簡(jiǎn)稱RMS)

經(jīng)過(guò)應(yīng)用模糊網(wǎng)絡(luò)建立關(guān)系進(jìn)行修正，修正后代入求解變形位移量。RMS較修正之前明顯下降，在工況15下，誤差減小比例最大，達(dá)到71.17%。在工況2下，誤差減小最小，但是也達(dá)到了64.79%。柔性框架實(shí)驗(yàn)應(yīng)用結(jié)果表明，筆者提出的測(cè)量應(yīng)變修正方法能夠很好的提高測(cè)量精度，具有良好的實(shí)用性。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)三維框架彈性變形重構(gòu)問(wèn)題，筆者提出了一種應(yīng)變測(cè)量修正方法。在三維框架模型上進(jìn)行測(cè)量實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,經(jīng)過(guò)模糊網(wǎng)絡(luò)修正之后，基于修正后應(yīng)變數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)誤差大幅度降低，驗(yàn)證了該應(yīng)變測(cè)量修正方法在三維框架變形重構(gòu)中的可行性與可靠性。后續(xù)的工作將主要對(duì)傳感器的優(yōu)化，包括數(shù)量上和測(cè)點(diǎn)位置的優(yōu)化，能夠更加精確地完成空間結(jié)構(gòu)的變形重構(gòu)。

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