郝如江， 李 非

(石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 石家莊，050043)

引 言

EMD是由Huang等[1]于1998年提出的一種自適應(yīng)的信號(hào)處理算法，其分解得到的IMF分量具有真實(shí)的物理意義，并且因其具有較好的自適應(yīng)性、正交性、完備性和IMF分量的調(diào)制性等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛地應(yīng)用于處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)。但是EMD分解過程中信號(hào)的上、下包絡(luò)線是根據(jù)原始信號(hào)端點(diǎn)的局部極值點(diǎn)由三次樣條曲線插值得到的，而信號(hào)的兩端不一定存在極值點(diǎn)，所以樣條插值在數(shù)據(jù)序列的兩端就會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，并且這種發(fā)散的結(jié)果會(huì)逐漸向內(nèi)“污染”整個(gè)數(shù)據(jù)序列而使得分解結(jié)果嚴(yán)重失真，這就是“端點(diǎn)效應(yīng)”問題[2]。為此，專家學(xué)者提出幾種有效的方法：鄧擁軍等[3]提出利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來延拓原始信號(hào)序列的算法，該算法對(duì)短信號(hào)具有較好的端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)間長，影響EMD的分解速度，不適用于實(shí)時(shí)信號(hào)的處理。Zhao等[4]提出鏡像延拓法，該算法對(duì)原始信號(hào)僅作一次延拓，在處理較長周期信號(hào)時(shí)可以得到較為理想的抑制效果，但當(dāng)信號(hào)的端點(diǎn)無法確定是極值點(diǎn)時(shí)，要截去一部分?jǐn)?shù)據(jù)，在處理短信號(hào)時(shí)效果欠佳。此外，還有B樣條經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸鈁5]、ARMA模型[6]、窗函數(shù)[7]、多項(xiàng)式擬合[8]等方法，這些方法大多數(shù)都可以改善端點(diǎn)效應(yīng)問題，但由于各種方法延拓結(jié)果因人而異，得到的結(jié)果也不盡相同，加之非平穩(wěn)信號(hào)的隨機(jī)性，最終結(jié)果都不可避免地存在一些問題。

為了解決EMD端點(diǎn)效應(yīng)問題，筆者提出一種改進(jìn)算法——基于SVM延拓和窗函數(shù)相結(jié)合的方法，并以仿真信號(hào)和實(shí)測齒輪裂紋故障信號(hào)作了定性和定量分析。結(jié)果表明，該方法可以有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)的發(fā)生。

1 EMD，SVM和窗函數(shù)法的分析

1.1 EMD及其端點(diǎn)效應(yīng)

EMD方法對(duì)于非線性、非平穩(wěn)的信號(hào)具有較好地自適應(yīng)性，其分解過程描述[9]如下。

給定連續(xù)信號(hào)x(t)，確定該信號(hào)的所有局部極值點(diǎn)，用三次樣條曲線把這些局部極值點(diǎn)連接起來形成上、下包絡(luò)線。若上、下包絡(luò)線的平均值記為m，求出x(t)-m=h，則把h當(dāng)作新的x(t)，重復(fù)上述步驟直到滿足IMF條件時(shí)，記c1=h。c1視為一個(gè)IMF，r=x(t)-c1，r當(dāng)作新的x(t)，重復(fù)上訴步驟得到n個(gè)滿足IMF條件的分量，當(dāng)rn成為一個(gè)單調(diào)函數(shù)不能再提取出滿足IMF條件的分量時(shí)，循環(huán)結(jié)束，由此得到

(1)

其中：rn為殘余函數(shù)，表示信號(hào)的平均趨勢。

由上述可知，EMD分解過程中多次利用三次樣條插值(根據(jù)信號(hào)的局部極值點(diǎn)來插值)來擬合信號(hào)的上、下包絡(luò)線。由于信號(hào)的兩端不一定存在極值點(diǎn)，因此樣條曲線在數(shù)據(jù)兩端會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，并隨著分解的過程逐漸向內(nèi)部傳播，最終導(dǎo)致分解得到的IMF分量失去真實(shí)的物理意義，從而影響后續(xù)故障特征的提取研究。

1.2 基于支持向量回歸機(jī)的序列延拓

支持向量回歸機(jī)是一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)算法[10]，其基本原理是通過非線性映射φ將數(shù)據(jù)x映射到高維特征空間F，并在這個(gè)特征空間進(jìn)行線性回歸，即

(2)

其中：b為閾值；Rn為n維向量。

對(duì)于某一個(gè)訓(xùn)練集T={(x1,y1),…，(xl,yl)}，其中，l為樣本數(shù)目，其回歸方法如下。

1) 選擇精度參數(shù)ε、懲罰參數(shù)C、損失函數(shù)e和適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)k(xi,xj)。

2) 構(gòu)造回歸模型

(3)

(4)

(5)

(6)

構(gòu)造回歸模型后，便可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行前后延拓。對(duì)信號(hào)x(t)向后延拓m個(gè)點(diǎn)，首先確定訓(xùn)練樣本數(shù)l，按一定的規(guī)則產(chǎn)生一個(gè)訓(xùn)練集，然后構(gòu)造如式(3)所示的回歸模型，利用該回歸模型得到邊界外的第1個(gè)預(yù)測值，再將第1個(gè)預(yù)測值作為原始數(shù)據(jù)的新邊界點(diǎn)，得到第2個(gè)延拓點(diǎn)，以此類推，得到第m個(gè)延拓點(diǎn)，向前延拓方法與此類似，這樣便完成了對(duì)原始數(shù)據(jù)序列的延拓。

SVM延拓可以在一定程度上改善端點(diǎn)效應(yīng)問題，但延拓后信號(hào)的端點(diǎn)仍然不確定，這樣在利用三次樣條曲線插值后，得到的上、下包絡(luò)線的兩端還是有可能出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，對(duì)分解得到的IMF分量依然會(huì)有影響。因此，SVM延拓只是減小了端點(diǎn)效應(yīng)對(duì)分解結(jié)果的影響，其端點(diǎn)效應(yīng)依然存在。

2 端點(diǎn)效應(yīng)抑制改進(jìn)算法

為了解決SVM延拓之后端點(diǎn)仍然不確定以及窗函數(shù)會(huì)改變?cè)夹盘?hào)的缺點(diǎn)，本研究巧妙地將兩種方法結(jié)合起來，提出一種有效抑制端點(diǎn)效應(yīng)的新方法——基于SVM延拓和窗函數(shù)相結(jié)合的方法，具體步驟如圖1所示。首先，采用SVM對(duì)原始信號(hào)兩端分別延拓有限個(gè)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；其次，對(duì)延拓后的數(shù)據(jù)序列加窗處理，原始信號(hào)為加窗后信號(hào)的中間部分，這樣就不會(huì)改變?cè)瓉淼男盘?hào)特征；然后，對(duì)延拓加窗后的信號(hào)進(jìn)行EMD分解；最后，把分解完的各個(gè)IMF分量的兩端延拓部分去除，中間的留下，從而達(dá)到抑制端點(diǎn)效應(yīng)的目的。

圖1 基于SVM延拓和窗函數(shù)相結(jié)合的方法Fig.1 The flow chart of combined SVM extension and window function

為了驗(yàn)證所述方法的有效性，采用正交性指標(biāo)(index of orthogonality，簡稱IO)對(duì)實(shí)驗(yàn)分解精度進(jìn)行定量分析，將式(1)中的rn寫成cn+1，那么式(1)可以寫成

(7)

對(duì)該式兩邊平方得到

(8)

如果分解是正交的，那么式(5)右邊的交叉項(xiàng)應(yīng)該等于零，因此IO可定義為

(9)

其中：T為信號(hào)總長度。

文獻(xiàn)[1]經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)指出，正交性指標(biāo)越小分解精度越高，EMD端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果也就越好。因此，筆者選取正交性指標(biāo)作為評(píng)價(jià)EMD端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果的好壞是可行的。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真信號(hào)分析

選取仿真信號(hào)

x=sin(20πt)+cos(100πt)+sin(200πt)+n(t)

如圖2(a)所示，該信號(hào)是由一段正弦、余弦和均值為0、方差為1的隨機(jī)噪聲疊加而成的，其頻率成分分別為10，50和100 Hz，采樣頻率為512 Hz。對(duì)其直接進(jìn)行EMD處理(分解得到8個(gè)IMF分量，由于篇幅有限，文中只截取了前4個(gè)分量)，結(jié)果見圖2(b)。由圖2可以看出，各個(gè)IMF分量存在嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)問題，其分解結(jié)果不能很好地反映原始信號(hào)特征。

為了解決端點(diǎn)效應(yīng)，采用所述方法進(jìn)行處理。其中，選擇精度參數(shù)ε=0，懲罰參數(shù)C=∞，損失函數(shù)采用最常用的線性ε不敏感損失函數(shù)，核函數(shù)有線性核函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)以及高斯函數(shù)等，筆者采用最常用的線性核函數(shù)。實(shí)驗(yàn)中將原始信號(hào)序列分成100個(gè)訓(xùn)練組，并對(duì)信號(hào)分別向前、后各延拓50個(gè)點(diǎn)，延拓加窗后的結(jié)果見圖3(a)，對(duì)應(yīng)的EMD分解結(jié)果見圖3(b)。

與圖2(b)比較，可以看出圖3(b)中各個(gè)IMF分量在端點(diǎn)處出現(xiàn)的發(fā)散現(xiàn)象均得到了改善，表明提出的方法可以有效地抑制EMD分解中出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)問題，并且各個(gè)IMF分量也都可以反映原始信號(hào)的特征，基本符合實(shí)際情況。

為了更直觀地驗(yàn)證所述方法的有效性，利用正交性指標(biāo)對(duì)原始EMD分解、 SVM延拓及加窗三種方法的性能進(jìn)行定量分析，并根據(jù)式(9)得出相應(yīng)的正交性指數(shù)，如表1所示。

圖2 原始仿真信號(hào)及其EMD分解結(jié)果Fig.2 The original simulation signal and the result of EMD decomposition

圖3 SVM延拓及加窗處理的EMD結(jié)果Fig.3 The results processed by SVM extension and window function

表1仿真信號(hào)處理結(jié)果的正交性能比較

Tab.1Theorthogonalperformancecomparisonofthreekindsofmethodsforsimulationsignal

方 法正交性指標(biāo)原始EMD0.1558SVM延拓0.1309SVM延拓及加窗0.0967

由表1可以看出，未作任何處理的EMD分解結(jié)果得到的正交性指標(biāo)較大，SVM延拓得到的較小，所述方法得到的更小，而正交性指標(biāo)越低表明分解結(jié)果精度越高。由此可知，筆者所述方法可以更好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)的發(fā)生。

3.2 實(shí)測信號(hào)分析

為了進(jìn)一步地確認(rèn)該方法的有效性，筆者以實(shí)測齒輪箱齒輪裂紋故障信號(hào)來進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)采用江蘇千鵬診斷系統(tǒng)——QPZZ-II，其輸入軸轉(zhuǎn)速為990 r/min，采樣頻率為20 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為262 144，故障齒輪為3.2 mm的裂紋程度。為了方便研究截取前800個(gè)點(diǎn)，并采用SVM向前、向后延拓40個(gè)點(diǎn)。圖4所示為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及其傳感器安裝位置。

圖4 實(shí)驗(yàn)測試平臺(tái)及傳感器位置Fig.4 Experimental test platform and sensor position

圖5(a)所示為原始測試信號(hào)的時(shí)域波形，其EMD分解的結(jié)果見圖5(b)，由圖可以看出，信號(hào)兩端存在嚴(yán)重的端點(diǎn)發(fā)散現(xiàn)象。為了解決端點(diǎn)效應(yīng)問題，將該數(shù)據(jù)序列按文中所述方法處理(SVM延拓?cái)?shù)據(jù)序列的參數(shù)選擇同前)，其SVM延拓加窗處理結(jié)果如圖6(a)所示。由圖可以看出，處理后的信號(hào)與原始信號(hào)存在著顯著的區(qū)別，這是在信號(hào)兩端加窗處理的原因。因此，最后EMD分解得到的各個(gè)IMF分量要剔除兩端延拓部分，這樣就可以真實(shí)地反映原始信號(hào)特征。處理后數(shù)據(jù)的EMD分解結(jié)果見圖6(b)，由圖可以看出各個(gè)IMF分量的端點(diǎn)效應(yīng)都得到了有效的抑制，得到的IMF分量具有真實(shí)的物理意義，有助于進(jìn)一步地提取特征。

圖5 實(shí)測原始信號(hào)及其EMD分解圖Fig.5 The tested signal and the results of EMD decomposition

圖6 實(shí)測信號(hào)SVM延拓加窗EMD處理結(jié)果Fig.6 The results of EMD decomposition combined with SVM extension and window function for the tested signal

同樣采用正交性指標(biāo)進(jìn)行定量分析來驗(yàn)證文中所提方法的有效性，分析對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2實(shí)測信號(hào)處理結(jié)果的正交性能比較

Tab.2Theorthogonalperformancecomparisonofthreekindsofmethodsfortestedsignal

方 法正交性指標(biāo)原始EMD0.0578SVM延拓0.0471SVM延拓及加窗0.0171

由表2可知，未作任何處理的EMD分解結(jié)果得到的正交性指標(biāo)較大，SVM延拓得到的較小，本方法得到的最小，充分說明所述方法的有效性。并且由文獻(xiàn)[2]可知SVM延拓對(duì)確定性、平穩(wěn)隨機(jī)和非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)都有很好的延拓效果，且不依賴于參數(shù)的選擇，所以本研究所述方法可以很好地應(yīng)用于大量的連續(xù)信號(hào)，為進(jìn)一步地特征提取提供了幫助。

4 結(jié)束語

由于在EMD分解過程中多次利用了三次樣條插值，從而導(dǎo)致信號(hào)分解出現(xiàn)失真現(xiàn)象，即端點(diǎn)效應(yīng)，并且這種現(xiàn)象會(huì)嚴(yán)重地影響整個(gè)數(shù)據(jù)序列。為此，筆者提出一種有效抑制端點(diǎn)效應(yīng)的方法——基于SVM延拓和窗函數(shù)相結(jié)合的方法，該方法彌補(bǔ)了SVM延拓之后依然找不到端點(diǎn)以及窗函數(shù)會(huì)改變?cè)夹盘?hào)的缺點(diǎn)，仿真信號(hào)和實(shí)測信號(hào)均驗(yàn)證了該方法的有效性。以正交性指標(biāo)做定量分析，與原始EMD分解和SVM延拓方法相比，該方法可以更好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)，得到的IMF分量更加真實(shí)地反映了原始信號(hào)的特征，為后續(xù)齒輪故障診斷中精確地提取故障特征頻率提供了幫助。

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