垂徑定理牽手勾股定理

謝 勇 唐雪鋒

(湖北省棗陽(yáng)市興隆一中 441218)

典例(人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第83頁(yè)練習(xí)第1題)如圖1，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8 cm，圓心O到AB的距離為3 cm．求⊙O的半徑．

解過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，E為垂足，連接OA．

在Rt△AEO中，∵OE2+AE2=OA2，

∴⊙O的半徑為5 cm．

規(guī)律解題過(guò)程中涉及垂徑定理和勾股定理．在圖1中，OA是半徑，我們把OE叫做弦心距(即圓心到弦的距離)，AE叫做半弦，求解與垂徑定理相關(guān)的圓類(lèi)計(jì)算問(wèn)題時(shí)，通常需要把相關(guān)數(shù)量集中到由它們所組成的直角三角形中，運(yùn)用勾股定理解決．

思考1 將條件與結(jié)論互換位置思考．如圖2，⊙O的半徑為5 cm，CD為直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，OE=3 cm，求弦AB的長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)典例是已知半弦、弦心距，求圓的半徑問(wèn)題，而本題是已知半徑、弦心距，求半弦的問(wèn)題．探究幾何問(wèn)題的一種常用方法就是象這樣，將已知條件與結(jié)論互換位置思考．另外，比較圖1和圖2，發(fā)現(xiàn)在解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段即可．

思考2 變換條件思考．如圖3，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8 cm，點(diǎn)C在⊙O上，且OC⊥AB，垂足為點(diǎn)E，若CE=2 cm，求⊙O的半徑．

點(diǎn)評(píng)和典例相比，它們均是在同一個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理計(jì)算求解．所不同的是，本題構(gòu)建的是弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等數(shù)量間的方程模型，這和課本第82頁(yè)的例題解法是一樣的．

思考3 將靜止圖形動(dòng)態(tài)化思考．如圖4，⊙O的直徑為10 cm，弦AB的長(zhǎng)為8 cm，E是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OE的長(zhǎng)的取值范圍是____．

分析求OE的長(zhǎng)的取值范圍，實(shí)際上就是找OE的最大值和最小值，弦上的點(diǎn)與圓心的距離的最大值就是該圓的半徑，而最小值是弦心距．

點(diǎn)評(píng)動(dòng)態(tài)化思考圖形，可多取幾個(gè)點(diǎn)E，并將它與圓心連接起來(lái)，比較后，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著垂線段最短的數(shù)學(xué)道理．

小結(jié)如圖5，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)D，AB=l，OA=R，OD=d，CD=h，根據(jù)OA2=AD2+OD2及OC=OD+CD，當(dāng)知道l、R、d、h中的任意兩個(gè)量時(shí)，就可以求出剩余的兩個(gè)量．

拓廣探索如圖6，在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為_(kāi)___分米．

解取油面AB上升1分米到達(dá)A′B′的位置，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，交A′B′于點(diǎn)D，連接OB，OB′．

∴AB=6，A′B′=8，CD=1．

由勾股定理，得OB2=OC2+CB2，OB′2=OD2+DB′2．

而OB=OB′，OC=OD+CD=OD+1，

∴(OD+1)2+32=OD2+42，解得OD=3．

∴MN=2OB′=10(分米)．

故答案填10．

點(diǎn)評(píng)這是一道與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，求解關(guān)鍵是從中構(gòu)建如典例1那樣的基本圖形，綜合運(yùn)用垂徑定理和勾股定理構(gòu)建方程求解．

參考文獻(xiàn)：

[1]姜曉翔．基于“自主變式” 引發(fā)“生本探究”[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版)，2016(10)：15-17．