汪 峰，毛軍軍，祖 璇，鄒 斌

1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601

2.安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039

3.安徽師范大學(xué) 皖江學(xué)院 經(jīng)濟(jì)系，安徽 蕪湖 241008

4.安徽廣播電視大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，合肥 230022

1 引言

由于客觀世界的復(fù)雜性和個(gè)人認(rèn)知水平的差異性，針對(duì)同一問(wèn)題往往有不同的看法，有時(shí)很難達(dá)成一致。例如在經(jīng)濟(jì)管理與決策問(wèn)題中，討論備選方案滿足某一準(zhǔn)則時(shí)，有些專(zhuān)家給出的隸屬度值是0.6，有些專(zhuān)家認(rèn)為是0.7，還有些專(zhuān)家堅(jiān)持0.8比較合理。他們觀點(diǎn)不一，又難以說(shuō)服對(duì)方。又如決策者在做決策時(shí)常常表現(xiàn)出猶豫不決和優(yōu)柔寡斷的狀態(tài)，這時(shí)用來(lái)描述決策信息的模糊集的隸屬度用一個(gè)確定的值來(lái)刻畫(huà)很難反映決策者的真實(shí)情況。為此，Torra和Narukawa[1-2]提出了另一種廣義模糊集——猶豫模糊集。猶豫模糊集的隸屬度是由一些可能的數(shù)值組成的集合，這樣可以兼顧決策者的不同偏好，得到更合理全面的決策結(jié)果。更為重要的是，它避免了使用各種算子來(lái)合成各專(zhuān)家提供的數(shù)據(jù)，能直觀描述不同決策成員給出的意見(jiàn)，因而可以直接反映和處理它們，從而減少了數(shù)據(jù)的流失。Torra等人在文獻(xiàn)[1-2]討論了猶豫模糊集與直覺(jué)模糊集[3]、二型模糊集[4]和模糊多集[5]之間的區(qū)別與聯(lián)系，指出猶豫模糊集包含直覺(jué)模糊集，它是二型模糊集的特例，與模糊多集形式上相同，但運(yùn)算法則不同。猶豫模糊集自誕生以來(lái)，發(fā)展速度很快，其中徐澤水和夏梅梅及其團(tuán)隊(duì)[6-10]為猶豫模糊集的進(jìn)一步研究做出了重要貢獻(xiàn)。

熵和相關(guān)性測(cè)度是模糊集理論中兩個(gè)重要的研究課題，其理論早被應(yīng)用到諸如數(shù)據(jù)分析、模式識(shí)別、聚類(lèi)分析、決策以及圖像處理等許多領(lǐng)域。從原先熱學(xué)上的熵到信息論中的信息熵、相對(duì)熵，再到模糊集上的模糊熵、直覺(jué)模糊熵、猶豫模糊熵，最終形成了一套公理化體系。其中交叉熵測(cè)度主要度量?jī)蓚€(gè)集合的區(qū)別信息，吸引了眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[11]提出了一些直覺(jué)模糊環(huán)境下的交叉熵和直覺(jué)模糊熵的公式，并把它們運(yùn)用到群決策當(dāng)中。文獻(xiàn)[12-15]給出了熵、交叉熵、距離測(cè)度和相似性側(cè)度之間的聯(lián)系以及公理化定義，并把它們應(yīng)用到區(qū)間值模糊集上。文獻(xiàn)[16]將模糊集的熵、交叉熵推廣到猶豫模糊環(huán)境下，給出猶豫模糊集的熵測(cè)度、交叉熵測(cè)度及其公理化形式，并討論了猶豫模糊集的熵、相似度以及交叉熵之間的關(guān)系，最終將它們應(yīng)用到多屬性決策中。Gerstenkorn和Manko[17]把統(tǒng)計(jì)學(xué)中相關(guān)系數(shù)的概念推廣到直覺(jué)模糊集上，Hong和Hwang[18]又把它們定義到概率空間上。文獻(xiàn)[19]通過(guò)重心法來(lái)計(jì)算直覺(jué)模糊集的相關(guān)系數(shù)，此后又有學(xué)者將相關(guān)系數(shù)推廣到區(qū)間型直覺(jué)模糊集上[20-21]。文獻(xiàn)[22]仔細(xì)分析了猶豫模糊信息下距離與相關(guān)度的關(guān)系，提出了基于距離的相關(guān)度公式，該公式構(gòu)造合理，易被人們接受，但其結(jié)構(gòu)不精，適用面不寬，很多情形下與事實(shí)不符。文獻(xiàn)[23]提出了基于距離的猶豫模糊相似度公式，但公式的分辨率不夠高，度量結(jié)果有時(shí)與實(shí)際情況相差很大。文獻(xiàn)[24]把信息論中的相對(duì)熵遷移到猶豫模糊集上，并把猶豫模糊相對(duì)熵對(duì)稱(chēng)化，提出對(duì)稱(chēng)交互熵，針對(duì)基于距離的相似度公式的缺陷，利用對(duì)稱(chēng)交互熵定義一種新的相似度公式。文獻(xiàn)[25]將直覺(jué)模糊集的相關(guān)性測(cè)度延伸至猶豫模糊環(huán)境下，定義并證明了猶豫模糊集的兩種相關(guān)系數(shù)，但這種相關(guān)系數(shù)實(shí)際上是基于向量的觀點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)即使兩個(gè)樣本不同，其相關(guān)系數(shù)也可能為1的情況。

聚類(lèi)是把一系列的對(duì)象、方案或事件等分成若干個(gè)類(lèi)的過(guò)程，每個(gè)類(lèi)中對(duì)象的特征比其他類(lèi)有更高的相似性。聚類(lèi)分析是利用數(shù)學(xué)的方法按照確定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)客觀事物進(jìn)行分類(lèi)，將樣本的相似程度作為劃分原則，這樣選擇合適的相似度就成為聚類(lèi)的關(guān)鍵。隨著信息時(shí)代的到來(lái)，特別是在大數(shù)據(jù)趨勢(shì)下，聚類(lèi)分析作為信息處理的重要一步，越來(lái)越受到人們的重視。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)的分類(lèi)往往伴隨著模糊性，所以用模糊理論來(lái)進(jìn)行聚類(lèi)分析會(huì)顯得更自然，更符合客觀實(shí)際，因此便產(chǎn)生了模糊聚類(lèi)分析。面對(duì)不同的模糊環(huán)境，人們提出了各種聚類(lèi)算法來(lái)處理不同類(lèi)型的模糊數(shù)據(jù)，如直覺(jué)模糊聚類(lèi)算法[26-28]、二型模糊聚類(lèi)算法[29-30]等。在猶豫模糊情形下，文獻(xiàn)[24]是通過(guò)編網(wǎng)的聚類(lèi)方法，在利用相似度公式計(jì)算得到的關(guān)聯(lián)矩陣上直接進(jìn)行表上作業(yè)，此方法快速有效，操作簡(jiǎn)單，直觀性很強(qiáng)，但它所有的聚類(lèi)邊界或者是水平的，或者是豎直的，沒(méi)有對(duì)角的邊界，結(jié)構(gòu)單一，過(guò)程粗糙，且當(dāng)樣本容量較大時(shí)，容易產(chǎn)生混亂甚至無(wú)法進(jìn)行操作，同時(shí)它很難利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，這種直觀分類(lèi)在一定程度上降低了聚類(lèi)的質(zhì)量和準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)[25]利用導(dǎo)出的相關(guān)系數(shù)公式構(gòu)造相似矩陣，通過(guò)平方法獲得等價(jià)矩陣，進(jìn)而對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)分析，采用經(jīng)典方法聚類(lèi)，但聚類(lèi)結(jié)果不夠精細(xì)，與事實(shí)不是特別吻合。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文首先從文獻(xiàn)[16]關(guān)于猶豫模糊元的公理化定義出發(fā)，構(gòu)造任意兩個(gè)猶豫模糊元新的交叉熵公式，把它作為一種距離，并與文獻(xiàn)[23]中的各種距離公式進(jìn)行比較，突出其優(yōu)勢(shì)所在。然后基于此交叉熵距離，在屬性權(quán)重完全未知的情況下，根據(jù)離差最大化[31]原則建立非線性規(guī)劃模型得到屬性權(quán)重公式。接著由概率統(tǒng)計(jì)[32]中相關(guān)系數(shù)的定義結(jié)構(gòu)，得出猶豫模糊集的協(xié)相關(guān)度公式，并證明了它與一般相關(guān)系數(shù)類(lèi)似的性質(zhì)?？紤]到論域里不同元素對(duì)結(jié)果的影響不同，故將協(xié)相關(guān)度加權(quán)（權(quán)重通過(guò)得出的屬性權(quán)重公式獲得），最后利用加權(quán)的協(xié)相關(guān)度公式構(gòu)造協(xié)相關(guān)矩陣，再把協(xié)相關(guān)矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)矩陣，進(jìn)而做聚類(lèi)分析。

2 概念準(zhǔn)備

定義1[1-2]設(shè)X是一個(gè)給定的集合，稱(chēng)為論域，則二元組A={x,hA(x)|x∈X}稱(chēng)為定義在X上的一個(gè)猶豫模糊集。其中hA(x)是區(qū)間[0,1]上若干個(gè)不同的數(shù)組成的集合，表示元素x屬于集合A若干個(gè)可能的隸屬度。為表述方便，把有限論域X上的全體猶豫模糊集記為HFS(X)，稱(chēng)hA(x)為A的猶豫模糊元，簡(jiǎn)寫(xiě)為hA。

特別地，當(dāng)猶豫模糊集的每一個(gè)猶豫模糊元都只有一個(gè)元素時(shí)，則猶豫模糊集就退化為普通模糊集?？梢?jiàn)猶豫模糊集是普通模糊集的推廣，這里主要是隸屬度的推廣，由一值變?yōu)槎嘀怠?/p>

值得注意的是，不同的猶豫模糊元中元素的個(gè)數(shù)可能不同且這些元素的排列順序通常是紊亂的，為便于不同猶豫模糊元的比較與運(yùn)算，這里做出規(guī)定：

（1）所有元素統(tǒng)一按升序排列。令σ:(1,2,…,n)→(1,2,…,n)為一個(gè)排序，使得hσ(j)(xi)＜hσ(j+1)(xi)，即 ?xi∈分別表示hA(xi)和hB(xi)中第j小的元素，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有hA(xi)=hB(xi)。

（2）用l(hA(xi))、l(hB(xi))分別表示hA(xi)和hB(xi)中元素的個(gè)數(shù)，令li=max{l(hA(xi)),l(hB(xi))}，若l(hA(xi))≠l(hB(xi))，則在元素少的集合里重復(fù)添加元素，使得該集合的元素個(gè)數(shù)達(dá)到li。添加的原則依據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好：喜好風(fēng)險(xiǎn)的決策者會(huì)對(duì)預(yù)期結(jié)果有比較樂(lè)觀的估計(jì)，通常添加該集合中最大的元素；而厭惡風(fēng)險(xiǎn)的決策者對(duì)預(yù)期結(jié)果的估計(jì)一般比較悲觀，則是添加該集合中最小的元素。為方便起見(jiàn)，本文不妨統(tǒng)一采用樂(lè)觀準(zhǔn)則添加元素。例如兩個(gè)猶豫模糊元：hA(x1)={0.2,0.4},hB(x1)={0.3,0.5,0.6}，很明顯l(hA(xi))＜l(hB(xi))，為保證運(yùn)算能夠進(jìn)行，將hA(x1)擴(kuò)充為hA(x1)={0.2,0.4,0.4}。

為了度量不同猶豫模糊集的區(qū)別信息，這里引入交叉熵的概念。文獻(xiàn)[16]給出了兩個(gè)猶豫模糊元的交叉熵的公理化定義。

定義2[16]設(shè)α、β是任意兩個(gè)猶豫模糊元，則它們的交叉熵C(α,β)應(yīng)滿足下面兩個(gè)公理化條件：

（1）C(α,β)≥ 0

（2）C(α,β)=0?ασ(i)=βσ(i),?i=1,2,…,l

按照以上定義方式，構(gòu)造任意兩個(gè)猶豫模糊元的交叉熵公式。

定義3設(shè)hA(xi)、hB(xi)分別為猶豫模糊集A和B的猶豫模糊元，?xi∈X，X={x1,x2,…,xn}，則稱(chēng)：

為猶豫模糊元hA(xi)和hB(xi)的交叉熵，簡(jiǎn)記為C(hA,hB)。

由定義3交叉熵的結(jié)構(gòu)，不難得到下面的定理。

定理1設(shè) ?A,B∈HFS(X)，hA、hB分別是A和B的猶豫模糊元，則C(hA,hB)滿足：

（1）C(hA,hB)≥ 0

（2）C(hA,hB)=0 ?hA=hB，即X,j=1,2,…,li

（3）C(hA,hB)=C(hB,hA)

證明令：

（1）要證C(hA,hB)≥0，只需證c≥0。設(shè)f(x)=xp,0≤x≤ 1且p＞1，則f″(x)=p(p-1)xp-2≥ 0，即f(x)是下凸函數(shù)，因此有Jensen不等式成立：

因此有c≥0，又，故C(hA,hB)≥ 0。

（2）若兩個(gè)猶豫模糊元hA=hB，即=,j=1,2,…,li,顯然有C(hA,hB)=0；若C(hA,hB)=0，則必有c=0。由Jensen不等式等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=x4時(shí)，等式成立，即當(dāng)?xi∈X,j=1,2,…,li，時(shí)，等號(hào)成立，這時(shí)有hA=hB。

（3）結(jié)論顯然。

由定理1可知，定義3中的交叉熵實(shí)際上是一種距離測(cè)度，因此可以把C(hA,hB)看作兩個(gè)猶豫模糊元hA和hB的距離。C(hA,hB)越大，表示hA與hB的差別越大，反之說(shuō)明hA與hB越接近。在猶豫模糊信息下，關(guān)于距離的定義很多。文獻(xiàn)[23]給出了很多猶豫模糊元距離的公式，但本文提出的交叉熵距離在許多情形下特別是當(dāng)兩個(gè)猶豫模糊元比較接近的時(shí)候，具有更高的分辨效果。

例設(shè)X={x1,x2}，定義在X上的3個(gè)猶豫模糊集A、B、C分別為：

比較這3個(gè)猶豫模糊集不難發(fā)現(xiàn)，猶豫模糊元hA(x1)與hB(x1)，hA(x2)與hB(x2),hB(x2)與hC(x2)它們相互間的隸屬度很接近，因此在直觀上A與B的差別程度就比B與C小，B與C的差別程度比A與C小。

利用文獻(xiàn)[23]中的廣義加權(quán)平均猶豫模糊距離公式：

λ=1，式（2）是歸一化Hamming距離；λ=2，式（2）變成歸一化Euclidean距離。

廣義Hausdorff猶豫模糊距離：

λ=1，式（3）是Hamming-Hausdorff距離；λ=2,式（3）變?yōu)镋uclidean-Hausdorff距離。

在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)還要度量猶豫模糊集之間的差別信息，為此定義：

d(A,C)、d(B,C)、di(A,C)、di(B,C)可類(lèi)似定義。分別利用式（1）、（2）、（3）計(jì)算hA與hB,hB與hC,hA與hC的距離，最終各猶豫模糊集間的距離如表1和表2所示。

Table 1 Generalized hesitant fuzzy distance under different parameters表1 不同參數(shù)下的廣義猶豫模糊距離

Table 2 Cross-entropy distance under different parameters表2 不同參數(shù)下的交叉熵距離

從表1、表2可以看出，若用式（3）計(jì)算它們的距離，無(wú)論λ取1還是2，其結(jié)果都是0.1，與直觀認(rèn)識(shí)不符；用式（2）計(jì)算A與C的距離，λ取1和2，其值也都是0.1，由于這是一個(gè)靜態(tài)的值，這就意味著無(wú)論猶豫模糊集B是怎樣的，在比較A與B，B與C的相似程度時(shí)，式（2）失去了意義。最后看本文提出的式（1），觀察各個(gè)值可以看到，用式（1）算出的結(jié)果沒(méi)有出現(xiàn)上述對(duì)象間差別程度相同的情況?？梢源笾驴闯鯝、B、C兩兩之間的距離（比如在比較A與B，B與C之間的距離時(shí)），總體來(lái)看式（1）得出的結(jié)果表示的相互差異性最大（盡管A、B、C比較接近），這意味著相比于傳統(tǒng)意義上的距離，新型的交叉熵距離的靈敏度更高，其表征的差異度明顯。因此，用式（1）作為猶豫模糊元的距離是很合理的。

3 基于交叉熵的屬性權(quán)重確定方法

在多屬性決策中，不同的屬性對(duì)最終的決策起著不同的作用，應(yīng)當(dāng)賦予不同的權(quán)重。對(duì)于屬性信息完全未知的多屬性決策問(wèn)題，需要從決策矩陣中挖掘出屬性權(quán)重信息。本文提出的交叉熵既然可視作一種距離，那么就用這種距離來(lái)反映對(duì)象間的離差（上文已說(shuō)明這種離差差別反映明顯，因此用在此方法上很合理），由離差最大化方法獲取屬性權(quán)重。若所有對(duì)象在某屬性下的屬性值差異越小，說(shuō)明該屬性對(duì)決策結(jié)果所起的作用越??；反之，如果某屬性能使所有對(duì)象的屬性值有較大差異，則說(shuō)明其對(duì)決策起重要作用。因此，從決策的角度考慮，對(duì)象屬性值偏差越大的屬性應(yīng)該賦予越大的權(quán)重。

設(shè)對(duì)象集A={A1,A2,…,Am},屬性集X={x1,x2,…,xn}，權(quán)重向量w=(w1,w2,…,wn)T。用dijk表示在屬性xk下，對(duì)象Ai與Aj在相應(yīng)猶豫模糊元間的交叉熵距離，即dijk=C(hAi(xk),hBj(xk))。令Dk(w)=(k=1,2,…,n)，表示對(duì)屬性xk而言，所有對(duì)象與其他對(duì)象的總離差。

根據(jù)上述分析，加權(quán)向量w的選擇應(yīng)使所有屬性對(duì)所有對(duì)象的總離差最大。為此，可建立如下的優(yōu)化模型：

解此模型，作Lagrange函數(shù)：

然后將函數(shù)L分別對(duì)wk和ξ求偏導(dǎo)，并令之為0，得：

由此得到：

再將權(quán)重歸一化，得：

從式（4）可以看出，在屬性xk下，各對(duì)象間的總離差越大，該屬性的權(quán)重就越大，反之相應(yīng)的權(quán)重越小。因此，式（4）的結(jié)果符合上述權(quán)重分配的要求。

4 猶豫模糊集的協(xié)相關(guān)度

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，兩組數(shù)據(jù)X和Y的相關(guān)系數(shù)定義為：

其中cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}表示隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差；D(X)=E[X-E(X)]2,D(Y)=E[Y-E(Y)]2分別表示X和Y的方差。

鑒于這種構(gòu)造思想，可以類(lèi)比得出兩個(gè)猶豫模糊集的協(xié)相關(guān)度。

定義4設(shè)A={xi,hA(xi)|xi∈X},B={xi,hB(xi)|xi∈…,li},hB(xi)={hσ(j)B(xi)|j=1,2,…,li},X={x1,x2,…,xn}，則A與B的協(xié)相關(guān)度：

其中：

定理2?A,B∈HFS(X),R(A,B)都滿足：

（1）R(A,B)=R(B,A)

（2）-1≤R(A,B)≤ 1

（3）A=B?R(A,B)=1

證明（1）由R(A,B)公式定義的結(jié)構(gòu)，結(jié)論顯然成立。

（2）由Cauchy-Schwarz不等式：

（3）顯然成立。

由定理2知，R(A,B)∈[-1,1]。當(dāng)R(A,B)＞0 時(shí)，表示猶豫模糊集A與B正相關(guān)，其值越大表明它們的相關(guān)性就越大；當(dāng)R(A,B)＜0時(shí)，說(shuō)明A與B負(fù)相關(guān)，其值越小表示它們的這種負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)。簡(jiǎn)而言之，當(dāng)|R(A,B)|越靠近1時(shí)，認(rèn)為A與B的相關(guān)性越強(qiáng)。

在實(shí)際應(yīng)用中，論域里不同的元素占有不同的地位，應(yīng)賦予不同的權(quán)重。設(shè)元素xi(i=1,2,…,n)的權(quán)重為wi，滿足且wi∈[0,1]，故在式（5）的基礎(chǔ)上，將協(xié)相關(guān)度公式加權(quán)：

同樣地，Rw(A,B)也滿足下面的性質(zhì)：

（1）Rw(A,B)=Rw(B,A)

（2）-1≤Rw(A,B)≤ 1

（3）A=B?Rw(A,B)=1

證明過(guò)程與定理2類(lèi)似，這里不再贅述。

5 基于猶豫模糊協(xié)相關(guān)度的聚類(lèi)分析

5.1 知識(shí)準(zhǔn)備

定義5設(shè)A1,A2,…,Am是m個(gè)猶豫模糊集，稱(chēng)R=(ρij)m×n為協(xié)相關(guān)矩陣，其中ρij=Rw(Ai,Aj),i=1,2,…,m,表示兩個(gè)猶豫模糊集Ai與Aj的協(xié)相關(guān)度，滿足：

（1）0≤ρij≤ 1

（2）ρii=1

（3）ρij=ρji

從定義5可以看出，協(xié)相關(guān)矩陣是主對(duì)角元全為1的對(duì)稱(chēng)矩陣，且所有元素均在0到1之間，因此協(xié)相關(guān)實(shí)際上是一種相似關(guān)系。

定義6設(shè)R=(ρij)m×n是一個(gè)協(xié)相關(guān)矩陣，稱(chēng)Rα=(ρij(α))m×n為α-截矩陣，其中：

顯然協(xié)相關(guān)矩陣的α-截矩陣是一個(gè)布爾矩陣。

定義 7[28]設(shè)R=(ρ)是一個(gè)協(xié)相關(guān)矩陣，稱(chēng)ijm×mR2=R°R=(ij)m×m為協(xié)相關(guān)矩陣的復(fù)合（乘積），其中

聚類(lèi)分析的基本思想是用相似性尺度來(lái)衡量事物之間的親疏程度，并以此來(lái)實(shí)現(xiàn)分類(lèi)。由普通聚類(lèi)可知，同類(lèi)元素具有等價(jià)關(guān)系，因此在進(jìn)行模糊聚類(lèi)分析前必須建立模糊等價(jià)關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性來(lái)構(gòu)造模糊矩陣。基于相似關(guān)系下的模糊矩陣當(dāng)然是相似矩陣，而本文主要應(yīng)用模糊等價(jià)關(guān)系將對(duì)象聚類(lèi)，因此必須把協(xié)相關(guān)關(guān)系下的相似矩陣改造成模糊等價(jià)矩陣。改造方法很多，本文采用平方法：R→R2→(R2)2→…→R2k→…，直到。這時(shí)，模糊等價(jià)矩陣（R的傳遞閉包）

5.2 猶豫模糊聚類(lèi)途徑方法

設(shè)A={A1,A2,…,Am},X={x1,x2,…,xn},w=(w1,w2,…,wn)T依次為對(duì)象集、屬性集和權(quán)重向量。決策專(zhuān)家組對(duì)所有對(duì)象按各屬性進(jìn)行測(cè)度，得到猶豫模糊決策矩陣D=(hij)m×n,hij=hAi(xj)。在進(jìn)行對(duì)象聚類(lèi)分析前，需要對(duì)猶豫模糊決策矩陣D=(hij)m×n進(jìn)行規(guī)范化處理，以消除各屬性指標(biāo)的量綱差別和數(shù)量級(jí)差別帶來(lái)的影響。本文假設(shè)決策矩陣D已經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理。

有了以上各節(jié)的討論，便可以給出猶豫模糊環(huán)境下基于等價(jià)關(guān)系的聚類(lèi)途徑，具體步驟如下：

（1）利用式（1）計(jì)算任意兩個(gè)猶豫模糊集Ai與Aj在屬性xk下的交叉熵dijk，利用式（4）計(jì)算屬性xk的權(quán)重wk(k=1,2,…,n)。

（2）利用式（7）計(jì)算Ai與Aj加權(quán)的協(xié)相關(guān)度Rw(Ai,Aj)，構(gòu)造協(xié)相關(guān)矩陣R。

（3）利用平方法將協(xié)相關(guān)矩陣R改造成等價(jià)關(guān)系矩陣t(R)。

（4）利用t(R)對(duì)所有對(duì)象進(jìn)行聚類(lèi)處理，給定不同置信水平α，求α-截矩陣t(R)α。一個(gè)α水平截矩陣就代表一種聚類(lèi)，其方法是：布爾矩陣t(R)α的第i行（列）的所有元素與第j行（列）的相應(yīng)元素都相等，那么Ai與Aj就歸為一類(lèi)。很明顯，當(dāng)α=1時(shí)，所有對(duì)象自成一類(lèi)，隨著α值的降低，對(duì)象由細(xì)到粗逐漸被歸并，當(dāng)α從1變化到0時(shí)，其分類(lèi)數(shù)從m類(lèi)變化到1類(lèi)，最后形成動(dòng)態(tài)聚類(lèi)譜系圖。

5.3 算例分析

某電腦大賣(mài)場(chǎng)欲對(duì)7種不同的電腦Ai(i=1,2,…,7)進(jìn)行分類(lèi)，需要考慮4個(gè)因素：價(jià)格x1，功能x2，服務(wù)x3，質(zhì)量x4。決策組分別從這4個(gè)因素對(duì)這7種電腦進(jìn)行評(píng)價(jià)，其決策信息以猶豫模糊集的形式給出，組成決策矩陣D=(hij)7×4，hij表示對(duì)象Ai滿足屬性xj的被評(píng)估值，如表3所示。

Table 3 Hesitant fuzzy decision matrix表3 猶豫模糊決策矩陣

（1）計(jì)算同一個(gè)屬性下任意兩個(gè)猶豫模糊元的交叉熵（由于決策矩陣牽涉到7個(gè)對(duì)象在4個(gè)屬性下的交叉熵距離，數(shù)量龐大，故這些數(shù)據(jù)不再列出）。然后由式（4）得到屬性權(quán)重w=(0.312 0,0.163 7,0.273 3,0.250 9)T。

（2）根據(jù)式(7)得到任兩種電腦Ai與Aj(i,j=1,2,…,7)加權(quán)的協(xié)相關(guān)度Rw(Ai,Aj)，其協(xié)相關(guān)矩陣為：

（3）利用Matlab軟件計(jì)算得到矩陣：

因此模糊等價(jià)矩陣t(R)=R4。

（4）選定置信水平α∈[0,1]，構(gòu)建α-截矩陣t(R)α,令α由1降至0，按t(R)α進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類(lèi)：

①當(dāng)0.998 6＜α≤0時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為7類(lèi)：{A1},{A2},{A3},{A4},{A5},{A6},{A7}；

②當(dāng) 0.992 1＜α≤0.998 6時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為6類(lèi)：{A1},{A2,A3},{A4},{A5},{A6},{A7}；

③當(dāng) 0.986 7＜α≤0.992 1時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為5類(lèi)：{A1},{A2,A3},{A4,A6},{A5},{A7}；

④當(dāng) 0.913 2＜α≤0.986 7時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為4類(lèi)：{A1,A2,A3},{A4,A6},{A5},{A7}；

⑤當(dāng) 0.752 7＜α≤0.913 2時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為3類(lèi)：{A1,A2,A3},{A4,A6,A7},{A5}；

⑥當(dāng) 0.576 9＜α≤0.752 7時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為2類(lèi)：{A1,A2,A3},{A4,A5,A6,A7}；

⑦當(dāng)0＜α≤0.576 9時(shí)，Ai(i=1,2,…,7)被分為1類(lèi)：{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7}。

如果利用文獻(xiàn)[25]中猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)公式：

計(jì)算關(guān)聯(lián)矩陣C，得：

構(gòu)造等價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣，計(jì)算C2,C4,…,C2n,…，有C8=C4，即C4為一個(gè)等價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣：

選擇不同的截割水平α∈[0,1]，建立C4的α-截矩陣，所得聚類(lèi)結(jié)果如表4左側(cè)所示，文獻(xiàn)[33]和文獻(xiàn)[34]中的聚類(lèi)方法得到的聚類(lèi)結(jié)果見(jiàn)表4中側(cè)和右側(cè)。

通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[25]的聚類(lèi)結(jié)果與本文主要有以下差別：（1）文獻(xiàn)[25]中的相關(guān)系數(shù)公式最多可將樣品分成6類(lèi)，本文的協(xié)相關(guān)度公式所得結(jié)果則更加精細(xì)，可以滿足不同層次的需求。（2）聚類(lèi)結(jié)果存在很大差異。在聚為6類(lèi)時(shí)，文獻(xiàn)[25]把A2和A4歸為一類(lèi)，事實(shí)上A2和A4更接近，有的屬性下甚至相等。在聚為5類(lèi)時(shí)，文獻(xiàn)[25]把A6和A7歸為一類(lèi)，而A4與A6更相似，因此本文將A2與A3，A4與A6作為一類(lèi)更合理，這也與文獻(xiàn)[33]和文獻(xiàn)[34]所得結(jié)果一致。

Table 4 Comparison of various clustering results表4 各種聚類(lèi)的結(jié)果比較

造成這些差異的原因在于構(gòu)造相似矩陣時(shí)所用的計(jì)算猶豫模糊集相關(guān)程度的公式上，本文的協(xié)相關(guān)度公式是源于統(tǒng)計(jì)學(xué)中相關(guān)系數(shù)的構(gòu)造思想，因此有一定的理論支撐，它比文獻(xiàn)[25]的相關(guān)系數(shù)公式復(fù)雜，這就保證了能充分利用決策矩陣中的數(shù)據(jù)，減少信息流失。此外，在計(jì)算論域里各元素的權(quán)重（屬性權(quán)重）時(shí)，本文提出的交叉熵距離表示的差異程度相對(duì)于其他距離公式有更高的分辨率，用它得出的權(quán)重公式更加合理，能客觀反映不同屬性的地位差別。而文獻(xiàn)[25]提出的方法需要權(quán)重矢量完全已知，沒(méi)有充分挖掘決策信息本身，其結(jié)果與實(shí)際情況有一定的偏差。

文獻(xiàn)[33]和文獻(xiàn)[34]所用的聚類(lèi)方法得到的分類(lèi)結(jié)果與本文也有所不同。劉小弟等人[24]指出，文獻(xiàn)[33]使用層次聚類(lèi)法對(duì)猶豫模糊集進(jìn)行聚類(lèi)分析，利用最小距離作為聚類(lèi)依據(jù)，一旦一組樣本被合并，就需要利用猶豫模糊平均算子在新生成的類(lèi)上重新計(jì)算聚類(lèi)中心，這種反復(fù)性的計(jì)算很繁瑣，而且平均算子的使用勢(shì)必會(huì)造成一部分的信息丟失，導(dǎo)致最后的結(jié)果不可靠；文獻(xiàn)[34]利用最小生成樹(shù)（minimum spanning tree，MST）算法得到聚類(lèi)結(jié)果，它所使用的距離公式分辨率不夠高，且屬性權(quán)重帶有一定的主觀性，計(jì)算出的結(jié)果有時(shí)與事實(shí)有較大偏差，這必然會(huì)影響最后的聚類(lèi)。

本文利用猶豫模糊信息的交叉熵作為距離，基于離差最大化方法獲得屬性權(quán)重，提出加權(quán)的協(xié)相關(guān)度公式，使用模糊等價(jià)聚類(lèi)方法，借助于計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算模糊等價(jià)矩陣，進(jìn)而獲得聚類(lèi)結(jié)果。相比于其他方法，該算法設(shè)計(jì)合理，操作過(guò)程程序化，便于計(jì)算機(jī)處理，易形成動(dòng)態(tài)聚類(lèi)，且能有效保留信息，使計(jì)算結(jié)果客觀可靠。

6 結(jié)束語(yǔ)

模糊集理論作為不確定理論中重要的一支，因能深刻真實(shí)地反映現(xiàn)實(shí)客觀世界與人們內(nèi)心世界而被廣泛應(yīng)用到運(yùn)籌與管理、經(jīng)濟(jì)與決策各個(gè)領(lǐng)域，相繼出現(xiàn)了直覺(jué)模糊集、模糊軟集、區(qū)間型模糊集以及模糊數(shù)等推廣演變形式，它們構(gòu)成了一個(gè)模糊理論體系，但這些理論對(duì)實(shí)際問(wèn)題刻畫(huà)得不夠細(xì)致具體。在進(jìn)行重大決策時(shí)經(jīng)常是多個(gè)決策者共同參與，這就勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)意見(jiàn)不統(tǒng)一或者決策者自身就徘徊不定的情況，因此猶豫模糊集被提出。它是經(jīng)典模糊集的另一種推廣，其隸屬度允許一個(gè)或幾個(gè)可能的值，這樣就能全面描述人們的真實(shí)想法，且能避免使用各種算子來(lái)合成各個(gè)專(zhuān)家提供的數(shù)據(jù)，從而能直接處理它們，減少了信息的丟失。

聚類(lèi)分析是數(shù)量統(tǒng)計(jì)中多元分析的一個(gè)分支，它是一種硬劃分，把每個(gè)待辨識(shí)的對(duì)象嚴(yán)格地劃分到某個(gè)類(lèi)當(dāng)中，具有非此即彼的性質(zhì)，這種分類(lèi)的類(lèi)別界限是分明的。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)的分類(lèi)往往伴隨著模糊性，所以用模糊理論來(lái)進(jìn)行聚類(lèi)分析會(huì)顯得更自然，更符合客觀實(shí)際[35]。目前模糊理論在聚類(lèi)分析方面的應(yīng)用已得到很大發(fā)展，但數(shù)據(jù)類(lèi)型是猶豫模糊元的聚類(lèi)分析還不多見(jiàn)。本文針對(duì)猶豫模糊環(huán)境下的聚類(lèi)分析，提出猶豫模糊集的協(xié)相關(guān)度的概念，在獲取論域各元素的權(quán)重上，使用分辨率較高的交叉熵距離建立優(yōu)化模型得到，以確保加權(quán)的協(xié)相關(guān)度公式在計(jì)算不同猶豫模糊集的關(guān)聯(lián)程度時(shí)更加靈敏合理，構(gòu)建的關(guān)聯(lián)矩陣更能體現(xiàn)不同對(duì)象的差異性?；谶@些理論成果，最后給出了猶豫模糊信息下的聚類(lèi)方法，并通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明了所提聚類(lèi)方法的可行性與有效性。

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