方菲

摘 要：丟番圖逼近問(wèn)題是數(shù)論研究中的一個(gè)重要課題。在流形上研究丟番圖逼近，即丟番圖逼近的測(cè)度理論或含參變量的丟番圖逼近研究是近年來(lái)活躍的研究方向之一。用動(dòng)力系統(tǒng)的思想方法去研究矩陣的丟番圖逼近，已經(jīng)取得了很多結(jié)果。本文主要研究的是在含參變量矩陣中對(duì)Dirichlet定理進(jìn)行改進(jìn)。討論了在Lebesgue測(cè)度下，friendly測(cè)度和Federer測(cè)度下改進(jìn)的Dirichlet定理。證明了在相應(yīng)條件下改進(jìn)的Dirichlet定理仍然成立。

關(guān)鍵詞：丟番圖逼近；VWA；VWMA；極端；強(qiáng)極端；Dirichlet定理

一、引言

在自然科學(xué)的發(fā)展歷史中，出現(xiàn)了很多經(jīng)典的研究課題，丟番圖逼近是其中非常重要的一個(gè)分支。丟番圖逼近最早可以追溯到數(shù)論。近幾十年來(lái)，隨著丟番圖理論的日趨完善，出現(xiàn)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，流形上的度量丟番圖逼近，即用動(dòng)力系統(tǒng)的思想方法研究流形上的丟番圖逼近問(wèn)題。

在丟番圖逼近的測(cè)度理論中，Dirichlet定理是一個(gè)重要的研究方向。本文主要討論的是在含參變量的矩陣中對(duì)Dirichlet定理進(jìn)行改進(jìn)。

二、丟番圖逼近的基本概念

我們先來(lái)介紹丟番圖逼近的基本理論。

定義2.1若δ>0，稱 是very well approximable（VWA）的，如果存在無(wú)窮多個(gè) 和 相應(yīng)的，滿足

（2.1）

其中Mm，n是由m行n列實(shí)矩陣組成的空間， .

稱μ是極端的，若在測(cè)度μ下，幾乎所有的 都不是VWA，即μ（{ │Y是VWA}）=0。

它表明由VWA矩陣構(gòu)成的集合的Lebesgue測(cè)度是0。但是，在Hausdorff維度下，它的維數(shù)卻等于矩陣Mm，n的維數(shù)。從這個(gè)角度看，滿足這樣條件的集合是相當(dāng)大的。我們也注意到由Khintchine的轉(zhuǎn)化原理，可以得出Y是VWA的的充分必要條件是Y的轉(zhuǎn)置是VWA的。

對(duì)于 ，我們令 ，且

。

定義2.2（[1]）稱 是very well multiolicatively approximable（VWMA），若存在δ>0，有無(wú)窮 多個(gè)和相應(yīng)的 ，滿足

（2.2）

稱μ是極端的，若在測(cè)度μ下，幾乎所有的 都不是VWMA，即μ（{ │Y是VWA}）=0。

事實(shí)上，VWA與VWMA之間存在如下關(guān)系：由于當(dāng)

＼{0}時(shí)，有 ，且 ，從而得出

因此 .這表明當(dāng)Y是VWA的，則Y是VWMA的。所以，當(dāng)μ是強(qiáng)極端的時(shí)，它是極端的。

矩陣空間中極端和強(qiáng)極端性的基礎(chǔ)是非退化性，下面來(lái)介紹非退化的定義。

定義2.3設(shè)開(kāi)集 ，光滑映射f=（f1，f2，…，fn）：U→Rn，稱f在 處是l-非退化的，如果f在x處的l階偏導(dǎo)數(shù)張成Rn。我們稱f在x處是非退化的，若對(duì)某個(gè)l使得它在x處是l-非退化的，且對(duì)幾乎所有的 都成立。

基于齊次動(dòng)力系統(tǒng)的極端和強(qiáng)極端性問(wèn)題已經(jīng)在文獻(xiàn)[3]中闡述：

定理2.1設(shè)開(kāi)子集 ，令光滑映射f：U→Rn，f是非退化的，則測(cè)度μ=f*λ是強(qiáng)極端的。

三、Good函數(shù)和非共面性

令X是一個(gè)度量空間。若 ，r>0，令B（x，r）是以x為中心，r為半徑的開(kāi)球。若B=B（x，r），且c>0，cB表示B（x，cr）。對(duì) 和B上的實(shí)值函數(shù)f，令 。若X上的測(cè)度 滿足 >0，令 。

下面介紹D-Federer的定義，它為Dirichlet定理的改進(jìn)提供了工具：

定義3.1（[1]）若D>0， 是開(kāi)子集， 是X上的測(cè)度，稱 在U上是D-Federer的，若對(duì)任意的中心在supp 上

的球 ，有 。

測(cè)度 被稱作Federer的，若對(duì)幾乎所有的 ，存在x的鄰域U和D>0滿足 在U上是D-Federer的。

由Rd上的Lebesgue測(cè)度可以引入下面定義：

定義3.2 給定C，α>0，開(kāi)集 ，稱實(shí)值函數(shù)f：U→R在U上關(guān)于測(cè)度 是（C，α）-good 的，若對(duì)任意的中心在supp

上的球 和任意的ε>0，有

若映射f=（f1，…，fN）：U→RN，我們稱 是good的，若對(duì)幾乎所有的 ，存在x的鄰域V滿足1，f1，…，fN的任何線性組合在V上關(guān)于測(cè)度 是（C，α）-good 的。

事實(shí)上，由函數(shù)的非退化性是可以得到（C，α）-good 的.

下面介紹非共面的定義：

定義3.3稱 是不共面的，若對(duì)任意的球B且

1，f1，…，fN限制在 supp 上關(guān)于數(shù)域R是線性無(wú)關(guān)的。即 不包含在RN的任何仿射子空間中。

因?yàn)椴还裁嫘钥梢杂蒮的光滑性得到，從而有下述重要結(jié)論，當(dāng)f是光滑映射且關(guān)于測(cè)度 是非退化的， 是good且不共面的。

在介紹了一類friendly測(cè)度：Rn上的測(cè)度是friendly的，當(dāng)且僅當(dāng)它是Federer的且 是good和非共面的。

對(duì)度量丟番圖逼近的研究已經(jīng)擴(kuò)展到映射和測(cè)度上。主要結(jié)果之一是如下定理：

定理3.1 令 是Rd上的Federer測(cè)度， 開(kāi)，且f：U→Rn是連續(xù)映射，滿足 是good和非共面，則 是強(qiáng)極端的。

四、Dirichlet定理的改進(jìn)

設(shè) ，其中Mm，n是由m行n列矩陣組成的空間，令

對(duì)任意的 ，若存在解 和對(duì)應(yīng)的 ，使得

（4.1）

給定A的一個(gè)無(wú)界子集T和0<ε<1，記所有使上述不等式關(guān)于 有解的矩陣為I（T），由Dirichlet定理，

在文獻(xiàn)[1]中，作者提出一個(gè)問(wèn)題，上述不等式能不能進(jìn)行ε改進(jìn)，即存在T>0，使得對(duì)任意 ，t>T，下面的不等式

（4.2）

存在整數(shù)解（p1，…，pm）和（q1，…，qn）的Ym×n的Lebesgue測(cè)度為0.

即 ，其中 是所有滿足上述不等式關(guān)于

有解的矩陣。

其中 和VMWA有下面的關(guān)系：

引理4.1. 令 ，0<ε<1， ，

，若（4.2）有整數(shù)解，則Y是VWMA的。

證明：若Y滿足（4.2）式，即存在 滿足

因?yàn)?<ε<1，則存在 ，使得

對(duì) ， 把代入，不等式兩邊同時(shí)乘上 ，得到

（4.3）

對(duì)于 ，把 代入，不等式兩邊同時(shí)乘上

，得到

. （4.4）

現(xiàn)在來(lái)證Y是VWMA的。令l是q的非零分支的個(gè)數(shù)。對(duì)（4.4）中不等式進(jìn)行整理得到

或者

同時(shí)，對(duì)（4.3）進(jìn)行整理得到

或者

（4.5）

所以，存在正數(shù) 滿足 。否

則，在T中令t→∞，（4.5）式有無(wú)數(shù)多個(gè)解q，則

成立。故Y不是VWMA的。

由于在Lebesgue測(cè)度下，幾乎所有的矩陣 都不是VWMA的，所以存在下面的定理：

定理4.1 令 ，T是A上的一個(gè)無(wú)界子集。對(duì)任意

，記滿足不等式組

存在整數(shù)解的所有 為 ，則

定理的證明可以直接由引理4.1和Dirichlet定理得到。

下面考慮含參變量的矩陣Mm，n，有下面的定理：

定理4.2 若 是Rd上的friendly測(cè)度，U是IRd上的一個(gè)開(kāi)集，F(xiàn)：U→Mm，n是Cl+1階映射， 在 測(cè)度下幾乎處處是l階非退化，則

其中 是 對(duì)應(yīng)在矩陣Mm，n上的測(cè)度。

證明：由定理3.1可知，若 是Rd上的friendly測(cè)度， ，

f是Cl+1階映射且 在 測(cè)度下幾乎處處是l階非退化的，則 是good的。又因?yàn)?是非退化的，故它是非共面的。即 是good和非共面的，故 是強(qiáng)極端的。再由引理4.1得到

五、結(jié)束語(yǔ)

丟番圖逼近理論已經(jīng)從數(shù)的有理逼近發(fā)展到流形上的丟番圖逼近，已取得了很多結(jié)果。

本文主要研究了流形上含參變量矩陣中Dirichlet定理的ε改進(jìn)。討論了在Lebesgue測(cè)度下，friendly測(cè)度和Federer測(cè)度下改進(jìn)的Dirichlet定理。證明了在相應(yīng)條件下改進(jìn)的Dirichlet定理仍然成立。

對(duì)于改進(jìn)的Dirichlet定理問(wèn)題，在后續(xù)的工作中，我們可以討論的值，探討最佳的ε范圍。

參考文獻(xiàn)：

[1]Kleinbock D， Margulis G， Wang J. Metric Diophantine approximation for systems of linear forms via dynamics[J]. International Journal of Number Theory， 2010， 6（05）：1139-1168.

[2]Kleinbock D， Lindenstrauss E， Weiss B. On fractal measures and diophantine approximation[J]. Selecta Mathematica， 2005， 10（4）：479-523.

[3]D.Y.Kleinbock and G.A.Margulis.Flows on homogenous spaces and Diophantine approximation on manifolds， Ann. Math，148， 1998，339-360.