顧紅飛

（中設設計集團股份有限公司 南京210014）

引言

對橋梁的抗震設計來講，地震波輸入方向至關重要。關于橋梁的地震波輸入方向，我國《公路橋梁抗震設計細則》［1］（2008版）第5.1.1條中規(guī)定，一般情況下可只考慮水平向地震作用，即分別按順橋向和橫橋向單獨輸入地震波后再分別計算橋梁在兩個方向的地震力。對直橋而言，采用該種方法計算所得結果能較好地指導設計。但對于斜橋來講，由于采用不同的地震波輸入方向，其計算結果對結構的內力影響較大，若仍按常規(guī)方法計算，并不能得到最不利響應量，對設計而言是偏于不安全的。因此尋找一種簡單又有效的方法來確定某一響應量的最不利地震波輸入方向是很有意義的。

1 最不利地震波輸入方向的理論解

A.M.Athanatopoulou在各方向相應量能夠線性疊加的前提下，推導了采用時程計算時結構的最不利地震波輸入方向的理論公式［3］，推導過程較繁瑣，筆者也在文獻［1］中對其做了詳細推導，其基本思路如下：假設地震波輸入方向的坐標系用Opwz表示，整體坐標系用Oxyz表示，兩者z坐標軸相同。地震波輸入方向與整體坐標系的夾角用θ（p軸繞x軸逆時針旋轉）表示，如圖1所示。

圖1 坐標系與地震波輸入方向Fig.1 Coordinate system and seismic input direction

地震波沿p、w和w、-p方向輸入后，計算得到某一個響應量R的最大值包絡圖，從包絡圖中找到最大值發(fā)生的時刻tcr。然后分別沿p、w和w、-p兩個方向單獨輸入雙向地震波，得到tcr時刻對應的響應量R，p（tcr）、R，w（tcr），那么對于響應量R的最不利地震動輸入方向θcr可按下式計算［3］：

式中：tcr為響應量R達到最大值時對應的時刻；θcr為地震波最不利輸入方向與整體坐標系X的夾角；R，w（tcr）為在時刻tcr時，地震波沿w、-p方向輸入時響應量R的最大值；R，p（tcr）為在時刻tcr時，地震波沿p、w方向輸入時響應量R的最大值。

2 斜交箱梁橋計算分析

從震害統(tǒng)計結果來看，橋墩主要有受彎破壞和剪切破壞兩種典型震害。因此，本文主要以橋墩墩底內力為分析對象。選取1#墩墩底截面為計算截面，橋墩編號如圖2所示。

圖2 橋墩編號Fig.2 Pier number

2.1 建立模型

選取兩跨20m的斜交箱梁橋（斜度φ為0°到60°）為計算模型，其中橋墩為圓柱形，直徑1.2m，墩高6.4m。墩底按固結處理，支座則采用板式橡膠支座。橋墩單元坐標系中的z、y、x軸分別表示順橋向、橫橋向和軸向。地震波則采用較為典型的兩條水平向的El Centro地震波，其時程曲線見圖3。

圖3 水平地震動Fig.3 The horizontal vibration

2.2 計算結果分析

以斜度45°、墩底彎矩My為例，沿與整體坐標系XOY成0°和90°夾角輸入地震波，計算得到M，0和M，90的時程數(shù)據(jù)，繪制、的包絡曲線，其結果如圖4所示（斜度45°），從圖中可以看出，墩底My最大彎矩值Mmax＝2998kN·m，最小彎矩值Mmin＝-2998kN·m，對應時刻tcr為2.36s。同時在tcr＝2.36s時，雙向地震波分別沿0°和90°單獨輸入時，墩底最大彎矩為M，0＝-2287kN，M，90＝-1938kN，計算可得θcr＝40.3°。同樣，當?shù)卣鸩ㄑ卅萩r＝-139.7°輸入地震波時，理論上可以得到My的最小值。沿40.3°和-139.7°輸入雙向地震波，計算得到My的包絡圖。為便于比較，將理論計算結果和有限元模型計算結果放入同一圖中，如圖5所示。

圖5中+M對應圖4中Mmax，-M對應圖4中Mmin，均為理論計算結果。從圖5中可以看出，當?shù)卣鸩ㄑ卅萩r方向輸入時的理論計算結果與有限元計算結果基本一致。

圖4 橫橋向彎矩My（斜度45°）Fig.4 Transversal bendingmoment My（Slope 45°）

圖5 橫橋向彎矩MyFig.5 Transversal bendingmoment My

其他斜度對應的墩底內力最大值和地震波輸入方向的計算結果列于表1中。

表1中各參數(shù)含義如下：Vx、Vy、Vz為橋墩軸力、橫橋向和順橋向剪力值；Mx、My、Mz為橋墩扭矩、橫橋向和順橋向彎矩值；Rθ為地震波沿最不利方向輸入時墩底各內力的響應值。θcr為地震波沿最不利輸入方向與整體坐標系X的夾角；Rθ＝0表示地震波沿X方向輸入時墩底各內力的響應值；δR為地震波沿最不利方向輸入與沿X方向輸入時，墩底各內力的差值百分比。

從表1中數(shù)據(jù)可以看出：

（1）斜度不同時，墩底彎矩和剪力的最大值及對應的最不利地震波的輸入角度各不相同，但最大值出現(xiàn)的時間基本相同（2.7s），該時刻為對應地震波峰值加速度達到最大時。

（2）基于本文所建模型，按常規(guī)方向輸入地震波計算所得墩底內力的最大值與按理論公式計算所得墩底內力的最大值相差較大。

表1 各斜度對應的計算結果匯總Tab.1 The Summary of the calculation result of each slope

3 地震波輸入方向的評價曲線

在實際工程中，橋梁種類繁多，假如每座橋的每個內力值都要去尋找最不利地震波輸入方向，工作量將非常巨大。因此，本文以斜度為主要變化參數(shù)，對斜交箱梁橋墩底內力進行系統(tǒng)的計算分析，以期能為同類橋梁的設計提供部分有價值的參考［2］。

以沿橫橋向和縱橋向同時輸入時計算所得的結構某一響應量的最大值作為分母，按最不利地震波輸入方向時計算所得的結構某一響應量的最大值作為分子，定義一個影響系數(shù)r（θi），公式如下：

式中：θi從0°到180°變化。圖6a～e分別給出了兩跨20m的斜交箱梁橋（斜度分別為0°、15°、30°、45°、60°）橋墩墩底內力的r曲線圖，θ為地震波輸入方向。

圖6 斜度為0°～60°時的r曲線Fig.6 rcurve when the slope is 0°～60°

從圖6a中可以看出，斜度為0°時，Vz和My的r曲線基本一致；當θ在0°到140°時呈拋物線形狀，大約在80°左右時到達最大值，當 θ在140°到180°時r值基本接近1；Vx和Vy的r曲線完全一致，且最大值在1左右，最小值在0.5左右；而Mx的r曲線基本在1附近。

從以上計算結果可以看出，斜度為0°時，Mx對地震波輸入方向不敏感，按常規(guī)方法輸入時，Vz和My的計算結果偏于不安全，Vx和Vy的計算結果偏于安全。

對比圖6a～e可以看出，斜度不同時，不同墩底內力的r曲線也不一致。

r曲線雖然可以用來評估某個響應量按常規(guī)方法進行抗震設計時的安全性，但其僅能反映一個響應量對地震波輸入方向的敏感程度。如果存在多個響應量的話，那么對于每一個響應量，均需要求出其有可能的最大值，而每個響應量取得最大值時，地震波輸入的方向也是不一樣的，這樣在評估結構的安全性上變得毫無規(guī)律。

以按最不利方向θcr輸入地震波時的結構某一響應量的最大值作為分母，按任意方向θ輸入地震波時的結構某一響應量的最大值作為分子，引入另一個參數(shù) β（θi），定義如下［2］：β（θi）＝。當?shù)卣鸩ㄊ俏ㄒ粫r，對結構響應量而言，是固定不變的，可以通過θ＝0°和 θ＝90°計算得到。由此可以得到，其中aj（t）＝tan-1，下標j表示不同的響應量。對于僅一個控制參數(shù)，其β曲線可以表示為余弦函數(shù)，對于多個控制參數(shù)，只是移動的角度不一樣。因此，當有兩個控制參數(shù)時，可以采用絕對值相加的方法進行組合，即：

θi不影響以上公式右邊的最大值，只影響到取得最大值對應的角度，故［2］：

通過計算可以得到以Vy和Vz作為響應量的β曲線（見圖7）。當斜度從0°到45°變化時，曲線走勢和最大值都比較接近，最大為1.6，對應的地震波輸入方向為30°；當斜度為60°時，β最大值為1.8，對應的地震波輸入方向為10°。

圖7 以Vy和Vz作為控制參數(shù)的β曲線［2］Fig.7 βcurve with Vy and Vz as control parameters［2］

5 結論

本文介紹了利用時程分析法求解最不利地震波輸入方向的理論計算公式，并以斜交箱梁橋墩底內力為響應量，將理論計算結果與有限元模型計算結果進行對比。同時針對不同斜度的斜交箱梁橋，按常規(guī)方法輸入地震波時，給出了評價墩底內力是否安全的r曲線和β曲線，得到如下結論：

1.利用時程分析法按理論公式計算所得的最不利輸入方向與按有限元模型計算的結果較為吻合。

2.按常規(guī)方向輸入地震波所得響應量的最大值與按最不利地震波方向輸入計算值相差較大，且對不同的響應量，其影響程度各異；若地震波按常規(guī)方向輸入，對于某些響應量的計算結果是偏于不安全的，在設計計算時應引起重視。

3.r曲線能較好地反映某一響應量對地震波輸入方向的敏感程度，較容易判斷墩底內力按常規(guī)方向輸入時計算結果是否偏于安全。

4.β曲線能較好地反映多個響應量對地震波輸入方向的敏感程度。對不同斜度的斜交箱梁橋，β曲線走勢和最大值都比較接近。

［1］JTJ／T B02-01-2008公路橋梁抗震設計細則［S］JTG／TB02-01-2008 Guidelines for Seismic Design of Highway Bridges［S］

［2］顧紅飛.斜交箱梁橋地震響應特性分析［D］.成都：西南交通大學，2011 Gu Hongfei.Analysis on seismic response characteristics of skewed box-girder bridge［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2011

［3］A.M.Athanatopoulou.Critical orientation of three correlated seismic components［J］.Engineering Structures，2005（27），301-312

［4］桌秋林.公路簡支梁橋地震響應分析［D］.福州：福州大學，2004 Zhuo Qiulin.Seismic Response Analysis of Highway Simple Beam Bridge［D］.Fuzhou：Fuzhou University，2004

［5］范立礎，聶利英，李建中.復雜結構地震波輸入最不利方向標準問題［J］.同濟大學學報，2003，31（6）：631-636 Fan Lichu，NIE Jianying，LI Jianzhong Discussion on Standard of Critical Angle of Seismic Wave in Seismic Analysis of Complicated Structures［J］.Journal of Tongji University，2003，31（6）：631-636