Tian CHEN, Manfei XU, Jus ti n TU, Hongyue WANG, Xiaohui NIU

1.背景

組間比較是大多數(shù)生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)心理學(xué)研究中常見的問題。 在許多研究中，有兩個(gè)以上的組，在這種情況下，兩個(gè)（獨(dú)立）組的 t 檢驗(yàn)不再適用，必須使用比較兩個(gè)以上組的模型，例如方差分析ANOVA模型[1]。 比較兩個(gè)以上的組時(shí)，我們采用分層分析的方法。在這種方法下，首先進(jìn)行全局檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的零假設(shè)為各組之間無顯著性，即所有組具有相同的均值。如果這個(gè)檢驗(yàn)沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，那么在數(shù)據(jù)中沒有證據(jù)表明可以拒絕零假設(shè)，然后結(jié)論可以認(rèn)為沒有證據(jù)表明組間有差異。否則，執(zhí)行事后檢驗(yàn)以找出差異來源。

在事后檢驗(yàn)過程中，我們對(duì)各組進(jìn)行兩兩比較，并找到有顯著差異的所有組別。這種分層分析方法的前提是，如果全局檢驗(yàn)是有顯著性的，那么至少存在兩個(gè)組之間是有顯著差異的，反之亦然。

分層分析方法在基礎(chǔ)和高級(jí)統(tǒng)計(jì)課程中均有教授，并且內(nèi)置于許多流行的統(tǒng)計(jì)軟件包中。例如，當(dāng)執(zhí)行方差分析（ANOVA）模型來比較多個(gè)組時(shí)，全局檢驗(yàn)由F統(tǒng)計(jì)進(jìn)行[1]。 對(duì)于事后檢驗(yàn)，可以使用一些特殊的程序，如 Tukey’s 和 Scheffe’s 檢驗(yàn)[1]。執(zhí)行事后檢驗(yàn)需要進(jìn)行特殊的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，因?yàn)樵趫?zhí)行多重檢驗(yàn)以識(shí)別具有不同均值的組別時(shí)，出現(xiàn) I 類錯(cuò)誤的可能性會(huì)增加。Tukey’s，Scheffe’s 和其他事后檢驗(yàn)都進(jìn)行了這種多重比較的調(diào)整，以確保多重檢驗(yàn)中具有正確的 I 類錯(cuò)誤概率。

然而，在實(shí)踐中，當(dāng)全局檢驗(yàn)是有顯著性時(shí)，似乎常常沒有任何事后檢驗(yàn)是有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的。反過來也是如此; 雖然一些事后檢驗(yàn)是有顯著性的，但全局檢驗(yàn)差異并不顯著。據(jù)我們所知，目前并沒有一種普遍接受的方法來處理這種情況。在本次研究中，我們研究了這種分層分析方法，并且使用模擬的數(shù)據(jù)看到它的分析效果。我們想知道一個(gè)有意義的全局檢驗(yàn)是否能保證至少一次事后檢驗(yàn)有意義，反之亦然。盡管比較多個(gè)組的統(tǒng)計(jì)學(xué)問題與所有的統(tǒng)計(jì)模型相關(guān)，但我們本次只專注于相對(duì)簡(jiǎn)單的方差分析（ANOVA）模型，并從簡(jiǎn)要概述這種比較兩個(gè)以上組別的普遍分析模型開始。

2.單因素方差分析（ANOVA）

2.1 統(tǒng)計(jì)模型

方差分析（ANOVA）模型被廣泛用于比較多個(gè)組的研究中。 該模型將比較兩個(gè)（獨(dú)立）組的 t 檢驗(yàn)擴(kuò)展至兩個(gè)以上組別之間的比較[1]。

考慮一個(gè)感興趣的連續(xù)性結(jié)果變量 Y，并讓I表示組數(shù)。 我們對(duì)于比較 I 組間 Y 的（總體）均值感興趣。經(jīng)典的方差分析（ANOVA）模型具有如下形式：

其中Yij是第 i 組內(nèi)第j個(gè)樣本的結(jié)果，μi= E(Yij)是第 i 組的（總體）均值，εij是誤差項(xiàng)，表示均值為μ和方差為σ2的正態(tài)分布，ni是第 i 組的樣本量。

利用等式(1)中的統(tǒng)計(jì)模型，組間比較的主要目的可以用如下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)來表示。首先，我們想知道所有的組別是否有相同的均數(shù)。在上面的方差分析模型下，這種比較的無效假設(shè)和備擇假設(shè)表述如下：

對(duì)于所有的

對(duì)于至少一對(duì) i和 k，1 ≤ i ≤ k ≤ I, Hα: μi≠ μk

因此，在零假設(shè)H0下，所有組的平均值相同。如果拒絕H0支持Hα，那么至少有兩組均數(shù)不同。

當(dāng)進(jìn)行方差分析時(shí)，首先檢驗(yàn)公式(2)中的假設(shè)。如果這個(gè)全局檢驗(yàn)沒有被拒絕，那么可以得出結(jié)論，證據(jù)表明各組間的均數(shù)相同。否則，證據(jù)表明拒絕無效假設(shè)支持備擇假設(shè)，然后進(jìn)入下一步，以確定各組間均數(shù)不同。對(duì)于I個(gè)組，總共有 I(I - 1)/2 對(duì)組別需要進(jìn)行檢驗(yàn)。在事后檢驗(yàn)階段，我們進(jìn)行I(I - 1)/2 次檢驗(yàn)來識(shí)別具有不同均數(shù)μi的組。這個(gè)數(shù)字 I(I - 1)/2可能很大，尤其是在有大量組的情況下。因此，執(zhí)行所有這些檢驗(yàn)可能會(huì)增加I類錯(cuò)誤的概率。使用比較兩個(gè)（獨(dú)立）組的流行的 t 檢驗(yàn)此處是不適合的，必須使用專門設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)方法來解釋由于多重檢驗(yàn)而產(chǎn)生的累積 I 類錯(cuò)誤，以確保 I 類錯(cuò)誤概率正確。接下來我們回顧一下全局檢驗(yàn)和一些事后檢驗(yàn)，這些檢驗(yàn)稍后會(huì)在我們的模擬研究中使用。

2.2 組間無差異的全局 F 檢驗(yàn)

在方差分析中同時(shí)比較所有組間均數(shù)的全局檢驗(yàn)是F檢驗(yàn)。 F檢驗(yàn)由所謂的ANOVA表中的變量定義。要建立這個(gè)表格，我們需定義以下變量：

其中N是總樣本大小，=1Aj表示所有Aj的總和，=1=1Aij表示所有不同i和j的組合Aij之和，即，

方差分析表由下表定義：

?

在上面的ANOVA表中，SS(R)稱為回歸平方和，SS(E)稱為誤差平方和，SS(Total)稱為總平方和，MS(R)稱為回歸平方和均值，SS(E)被稱為誤差平方和均值。這些平方和表征(1)當(dāng)忽略組內(nèi)均值差異(SS(Total)) 和(2)考慮這些差異(SS(R))后的所有組間變異性。 例如，可以證明

因此，如果各組均數(shù)能解釋大部分組間差異的變異，則SS(R)將接近SS(TOTAL)，SS(E)則較小，在這種情況下，組間均數(shù)可能不同。 否則，SS(R)較小，SS(E)較接近SS(TOTAL)，在這種情況下，組間均數(shù)不太可能不同。使用組數(shù)對(duì)SS(R)和使用總樣本大小對(duì)SS(E)進(jìn)行標(biāo)化，可以使用均方MS(R)和MS(E)來量化SS(R) 和SS(E)的相對(duì)差異，來幫助辨別哪組均數(shù)不同。

在零假設(shè)H0下，比值，或者說F統(tǒng)計(jì)量，，服從以下F-檢驗(yàn)：

其中FI-1,N-1表示服從自由度為 I - 1（分子）和自由度為 N - I（分母）的F分布。 如前所述，相對(duì)于MS(E)的更大的MS(R)表示證據(jù)不支持零假設(shè)，反之亦然。這與 F 統(tǒng)計(jì)量的值較大，表示零假設(shè)被拒的事實(shí)一致，反之亦然。

2.3 事后組間比較的檢驗(yàn)

如果F檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)（無組間差異），則進(jìn)入下一步檢驗(yàn)，以識(shí)別具有不同均值的組別。 通過保證I類錯(cuò)誤概率，可以使用多個(gè)專門的程序來執(zhí)行這種事后檢驗(yàn)。 例如，如果所有組的樣本大小相同，即對(duì)于所有 1 ≤ i ≤ I，ni= n，我們可以使用圖基（Tukey）檢驗(yàn)。首先對(duì)各樣本組的平均值進(jìn)行排序，然后根據(jù)下面的標(biāo)準(zhǔn)，利用樣本均數(shù)檢驗(yàn)兩組（總體）均數(shù)是否相同，即μi= μK：

其中 S2= MS(E)，qα(I,N - I)是比較 I 組的 studentized range統(tǒng)計(jì)量的上臨界值，N是常用的樣本量大小。

2.4 模擬研究

當(dāng)應(yīng)用方差分析比較多個(gè)組時(shí)，我們首先執(zhí)行全局F檢驗(yàn)，如果全局檢驗(yàn)是顯著的，則進(jìn)行事后兩兩組間比較。否則，我們停止檢驗(yàn)并得出結(jié)論：沒有證據(jù)表明可以拒絕組間無差異的零假設(shè)。該方法隱含的假設(shè)是，有意義的全局檢驗(yàn)意味著至少有一對(duì)組間比較有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，反之亦然。如果這個(gè)假設(shè)不成立，這個(gè)方法將會(huì)(1)產(chǎn)生假陽性（顯著的全局檢驗(yàn)，但無顯著的組間成對(duì)檢驗(yàn)）或(2)假陰性結(jié)果（沒有顯著的全局檢驗(yàn)，但至少有一個(gè)顯著的事后檢驗(yàn)）。在第一種情況下，很難在邏輯上調(diào)和這些差異并報(bào)告結(jié)果，而第二種情況也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)失找到組間差異的機(jī)會(huì)。在本節(jié)中，我們使用模擬數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)這種分層分析方法所依據(jù)的假設(shè)。

為了簡(jiǎn)潔并且不失一般性，我們考慮有四個(gè)組并且假定各組樣本大小均為 n。那么，該模擬研究的ANOVA模型為：

我們假設(shè)前三組具有相同的均值，即μ1= μ2=μ3，它與第四組平均值相差 d，即 μ4= μ + d，其中d>0。 對(duì)于模擬研究，我們?cè)谒心M中假定μ = 1 和σ2= 1 ，但是改變組樣本大小 n 和 I 類錯(cuò)誤概率α，以查看當(dāng)這些參數(shù)變化時(shí)分層分析過程如何變化。

使用分層分析方法比較各組，我們首先檢驗(yàn)零假設(shè)為四個(gè)組無均值差異的情況：

Hα:對(duì)于某些 i和 k，μi≠ μk, 1 ≤ i < k ≤ 4

如果上述零假設(shè)被拒絕，那么我們繼續(xù)執(zhí)行四個(gè)組的成對(duì)比較以識(shí)別彼此顯著不同的組，即，

在模擬研究假設(shè)中，共進(jìn)行次事后檢驗(yàn)。

為了查看分層分析對(duì)模擬數(shù)據(jù)的分析效果如何，我們使用蒙特卡羅重復(fù)并將蒙特卡羅樣本大小設(shè)置為M = 1,000。因此，對(duì)于給定的各組樣本大小n，我們根據(jù)公式(3)中的ANOVA模型模擬數(shù)據(jù)Yij，然后執(zhí)行F檢驗(yàn)以檢驗(yàn)公式(4)中各組無均差的零假設(shè)。如果F檢驗(yàn)是有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的，我們通過在公式(5)中執(zhí)行6個(gè)成對(duì)組間比較來進(jìn)行事后檢驗(yàn)過程。

表1中顯示的是，當(dāng)蒙特卡羅重復(fù)M = 1,000時(shí)，作為樣本大小 n、差值 d 和 I 類錯(cuò)誤概率 α 的函數(shù)，“F”下顯示的是F檢驗(yàn)對(duì)于檢驗(yàn)無組間均數(shù)差異的零假設(shè)有顯著性的次數(shù)百分比，“Tukey”下顯示的是至少一個(gè)事后Tukey檢驗(yàn)是有顯著性的次數(shù)的百分比。這個(gè)百分比實(shí)際上是效能或經(jīng)驗(yàn)效能的一個(gè)估計(jì)值，表示當(dāng)零假設(shè)為假時(shí)拒絕相應(yīng)的零假設(shè)的能力。由于效能隨著樣本大小以及均值之間的差異而增加，因此當(dāng)α= 0.5和α = 0.001時(shí)，樣本量n從20增加到40，并且組間均值的差值 d 從0.5增加到1，百分比增加。而且，正如預(yù)期的那樣，隨著α從α = 0.05降低到α = 0.001，百分比變小。

比較多個(gè)組別的目的是找出具有不同均值的組別。分層分析方法旨在通過首先執(zhí)行“篩選”檢驗(yàn)來查看是否有必要進(jìn)一步深入研究，詳細(xì)比較各個(gè)組別。從這個(gè)意義上說，我們可以使用由以下定義的“假陽性”（FP）和“假陰性”（FN）率表征分層分析方法的效果：

FP = Pr（事后檢測(cè)沒有顯著性| F檢驗(yàn)有顯著性），

FN = Pr（事后檢測(cè)有顯著性| F檢驗(yàn)沒有顯著性），

其中Pr（B|A）表示給定事件A發(fā)生事件B的概率。因此，F(xiàn)P是在給定F檢驗(yàn)有顯著性的情況下沒有任何事后檢驗(yàn)有顯著性的概率，而FN是給定F檢驗(yàn)無顯著性而至少一個(gè)事后檢驗(yàn)有顯著性的概率。在FP的情況下，我們會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤警告，而在FN的情況下，我們錯(cuò)過了找到組間差異的機(jī)會(huì)。

表1中“FP”下所示的是FP的估計(jì)值，即F檢驗(yàn)有顯著性時(shí)事后檢驗(yàn)無顯著性的百分比。有趣的是，當(dāng)α從α = 0.05變?yōu)棣?= 0.001時(shí)，F(xiàn)P大大增加。例如，對(duì)于n = 20和d = 0.5，當(dāng)α = 0.05時(shí)，F(xiàn)P約為10%，但當(dāng)α = 0.001時(shí)，F(xiàn)P增加到接近20%。換句話說，當(dāng)α = 0.05時(shí)，我們有大約10%的概率得到一個(gè)錯(cuò)誤警告，但當(dāng)α= 0.001時(shí)，我們得到錯(cuò)誤警告的概率近20%。

表1中“FN”下所示的是FN的估計(jì)值，即F檢驗(yàn)無顯著性時(shí)事后檢驗(yàn)有顯著性的百分比。與FP情況類似，F(xiàn)N也隨著α的變化而變化。但是，與FP不同，當(dāng)α從α = 0.05變?yōu)棣?= 0.001時(shí)，F(xiàn)N降低。另外，與FP相比，F(xiàn)N更小。例如，對(duì)于n = 20和d = 0.5，當(dāng)α = 0.05時(shí)，F(xiàn)N約為4%，當(dāng)α = 0.001時(shí)，F(xiàn)N小于1%。換句話說，當(dāng)α = 0.05時(shí)，我們有大約4%的概率得到一個(gè)錯(cuò)誤警告，但當(dāng)α = 0.001時(shí)，我們得到錯(cuò)誤警告的概率小于1%。

3.討論

在本文中，我們使用模擬數(shù)據(jù)調(diào)查了全局檢驗(yàn)的性能。分層分析方法是比較多個(gè)（多于兩個(gè)）組的一種廣泛使用的方法[1]。全局檢驗(yàn)旨在沒有組間差異的情況下通過減少不必要的事后檢驗(yàn)來保證 I 類錯(cuò)誤概率。然而，我們的模擬研究表明，分層分析方法不能保證一直有效。全局檢驗(yàn)和事后檢驗(yàn)并不總是一致的。由于我們比較多個(gè)組的目的是找到具有不同均值的組，所以如果沒有任何事后檢驗(yàn)是有顯著性的，則有顯著性的全局檢驗(yàn)會(huì)給出錯(cuò)誤警告。但是，最重要的是，如果全局檢驗(yàn)無顯著性，我們也可能錯(cuò)過檢驗(yàn)組間差異的機(jī)會(huì)，因?yàn)樵谶@種情況下，部分或全部事后檢驗(yàn)可能仍然有顯著性。

雖然本文中我們聚焦經(jīng)典ANOVA模型，但同樣的考量和結(jié)論也適用于比較多個(gè)組的比較復(fù)雜的模型，如縱向數(shù)據(jù)模型[2]。因?yàn)閷?duì)于大多數(shù)模型而言，針對(duì)多重檢驗(yàn)調(diào)整了顯著水平的事后檢驗(yàn)并沒有像方差分析的情況那樣具有與全局檢驗(yàn)完全相同的 I 類錯(cuò)誤概率，因此評(píng)估分層分析方法的效果將更加困難。例如，Bonferroni修正通常是比較保守的。

根據(jù)我們的研究結(jié)果，無論全局檢驗(yàn)的顯著性結(jié)果如何，似乎有必要總是進(jìn)行組間比較，并基于這種組間比較進(jìn)行結(jié)果的報(bào)告。

參考文獻(xiàn)

1.Kutner MH, Nachtsheim CJ, Neter J, Li W.Applied Linear Models, 5thed.New York: McGraw-Hill/Irwin; 2005

2.Tang W, He H, Tu XM.Applied Categorical and Count Data Analysis.FL: Chapman & Hall/CRC; 2012