徐雷，張蓓，孔維新，陳楚，張軍

(新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

量子霍爾效應(yīng)是二十世紀(jì)凝聚態(tài)物理中最有意義的發(fā)現(xiàn)之一，在過去的三十多年間研究者在此領(lǐng)域做了大量的實(shí)驗(yàn)和理論工作．量子霍爾效應(yīng)首先是在二維電子氣中被觀測(cè)到[1,2]，當(dāng)均勻磁場(chǎng)應(yīng)用于二維電子氣上，其能帶變成Landau能級(jí)，此Landau能級(jí)具有非平庸的拓?fù)渲笜?biāo)——Chern數(shù)[3]．當(dāng)整數(shù)（或者某些分?jǐn)?shù)）個(gè)Landau能級(jí)被填充時(shí)，系統(tǒng)將變?yōu)橥負(fù)浞瞧接沟慕^緣體，即整數(shù)（分?jǐn)?shù)）量子霍爾效應(yīng)．

自1988起，研究者對(duì)無磁場(chǎng)格點(diǎn)模型的整數(shù)和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)做了大量的研究工作．第一個(gè)著名的例子就是Haldane模型[4]．Haldane模型是建立在半滿填充的蜂窩狀晶格上的，由于模型中引入了凈磁場(chǎng)為零的非均勻磁場(chǎng)，整數(shù)量子霍爾效應(yīng)可以穩(wěn)定存在，而且霍爾電導(dǎo)等于一個(gè)拓?fù)洳蛔兊腃hern數(shù)．最近，由于在時(shí)間反演不變的Z2拓?fù)浣^緣體[5,6]研究方面的突破，使得這一領(lǐng)域再次成為研究的前沿．從拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)看，Haldane模型和Z2拓?fù)浣^緣體都可以看做廣義的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，但是這些體系的單粒子能帶都是色散的，它們不支持分?jǐn)?shù)激發(fā)，故在這些體系中不能實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)．對(duì)于分?jǐn)?shù)量子態(tài)，分?jǐn)?shù)Z2拓?fù)浣^緣體在理論上是可行的[7]，但是如何在格點(diǎn)模型上實(shí)現(xiàn)這種狀態(tài)，現(xiàn)在還不是非常清楚，主要困難在于要實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子態(tài)則需要強(qiáng)耦合作用．整數(shù)量子霍爾效應(yīng)和Z2拓?fù)浣^緣體基本的拓?fù)湫再|(zhì)都可以通過非相互作用的圖像獲得，但是對(duì)于分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，相互作用則是非常重要的．事實(shí)上，在上述的格點(diǎn)模型中拓?fù)浞瞧接沟哪軒挾扰c帶隙大小通常是可比較的，甚至是大于帶隙的，這就使得體系中很難存在分?jǐn)?shù)拓?fù)鋺B(tài)．這樣，即使在分?jǐn)?shù)填充時(shí)，由于相互作用弱于關(guān)聯(lián)作用，體系將處于費(fèi)米液體態(tài)而非分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)．因此，在格點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)類似于分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的分?jǐn)?shù)拓?fù)鋺B(tài)的關(guān)鍵在于如何在能帶中實(shí)現(xiàn)拓?fù)浞瞧接沟钠綆В谡鎸?shí)的材料中，嚴(yán)格的平帶（帶寬為零）是非物理的，因此我們可以放寬限制，只要求帶寬遠(yuǎn)小于帶隙寬度即可．

最近，研究者提出了一系列的拓?fù)淦綆Ц顸c(diǎn)模型[8?19]，有望克服上述困難，從而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)．這些格點(diǎn)模型都具有類似于Haldane模型和Z2拓?fù)浣^緣體的拓?fù)浞瞧接沟哪軒?，可以通過調(diào)節(jié)短程躍遷參數(shù)使能帶寬度減小至遠(yuǎn)小于帶隙的寬度，進(jìn)而導(dǎo)致能帶接近于平帶．特別地，根據(jù)拋物線型能帶接觸機(jī)制[8,9]，研究者可以獲得一系列的平帶模型，它們的帶隙與帶寬的比值可以達(dá)到很大值約20-50．根據(jù)接近于平的能帶與Landau能級(jí)之間的相似性可以猜測(cè)[11]：在這些平帶模型中，考慮到排斥相互作用，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)（或者分?jǐn)?shù)拓?fù)浣^緣體）可以穩(wěn)定存在．

非常有趣的是最近連續(xù)有多個(gè)不同的課題組在平帶模型研究中取得重要進(jìn)展[8?19]，他們指出在此模型中可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)[11,12]．到目前為止，我們知道在無Landau能級(jí)的二維體系中實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的關(guān)鍵在于能帶中存在拓?fù)浞瞧接沟钠綆Ш洼d流子之間存在相互作用．因此，在無Landau能級(jí)的二維晶格中尋找拓?fù)浞瞧接沟钠綆ЫY(jié)構(gòu)將顯得非常有意義．在本文中我們將詳細(xì)地研究無相互作用的二維Kagome晶格模型（如圖1所示），在無均勻磁場(chǎng)作用下通過簡(jiǎn)單的調(diào)控交錯(cuò)磁通和次近鄰躍遷強(qiáng)度來尋找拓?fù)浞瞧接沟钠綆ЫY(jié)構(gòu)，從而找到拓?fù)潢惤^緣體．其中a為晶格常數(shù)．t1和t2分別表示最近鄰（實(shí)線）和次近鄰（虛線）躍遷強(qiáng)度．每個(gè)三角形和六角形內(nèi)的磁通分別為?和?2?，晶格中總磁通量為零，沿著箭頭方向的最近鄰躍遷具有相位?/3，次近鄰躍遷相位為零．

圖1 Kagome晶格示意圖

點(diǎn)線圍成的六邊形表示W(wǎng)igner-Seitz原胞，每個(gè)原胞內(nèi)含有3個(gè)原子，分別用A，B，C標(biāo)記，晶格的基矢為

1 模型和方法

二維Kagome晶格模型如圖1所示，其緊束縛模型哈密頓量為

其中表示第i格點(diǎn)上的消滅和產(chǎn)生算符，〈ij〉和〈〈ij〉〉表示最近鄰和次近鄰格點(diǎn)對(duì)，?ij=±?/3表示加在最近鄰格點(diǎn)上的磁通所產(chǎn)生的相位，t1和t2分別表示最近鄰和次近鄰躍遷強(qiáng)度，H1和H2分別表示最近鄰和次近鄰躍遷哈密頓量．

將哈密頓量進(jìn)行傅里葉變換并數(shù)值對(duì)角化后，系統(tǒng)在零溫時(shí)的霍爾電導(dǎo)可以通過Kubo公式計(jì)算，

其中S表示系統(tǒng)的面積，E是費(fèi)米能，εm和εn分別是本征態(tài)|m〉和|n〉所對(duì)應(yīng)的本征能量．速度算符定義為是電子的位置算符．當(dāng)費(fèi)米能級(jí)E位于能隙之間時(shí)，霍爾電導(dǎo)可以表示為其中Cm為第m個(gè)填充的子能級(jí)的陳數(shù)[3]．

2 結(jié)果與討論

在周期性邊界條件下，經(jīng)過傅里葉變換系統(tǒng)的哈密頓量在動(dòng)量空間可以表示為

其中分別為最近鄰和次近鄰躍遷哈密頓量，它們都是3×3的矩陣

式中分別表示一個(gè)原胞內(nèi)從A到B，B到C，C到A的矢量．

圖2 Kagome晶格的能帶：（a）?=0，t2=0，（b）?=0.5π，t2=0，（c）?=0.5π，t2=?0.28t1

對(duì)動(dòng)量空間中的哈密頓量（3）進(jìn)行數(shù)值對(duì)角化，可以得到不同參數(shù)條件下的本征值譜和本征矢量，從而可以計(jì)算出各個(gè)能帶的Chern數(shù)．如圖2所示，計(jì)算結(jié)果表明在不同參數(shù)條件下，Kagome晶格的能帶中都含有三個(gè)能帶．當(dāng)交錯(cuò)磁通和次近鄰躍遷都為零時(shí)（如圖2（a）?=0和t2=0），能帶的能量值由上到下的關(guān)系為Eupper≥Emiddle≥Elower，最高能帶的能量值為Eupper=2是個(gè)常數(shù)．此時(shí)三個(gè)能帶的Chern數(shù)均為零，C=0，能帶都是拓?fù)淦接沟模灰獣r(shí)間反演對(duì)稱性不被破壞，這些性質(zhì)始終存在．如圖2（b）所示，當(dāng)交錯(cuò)磁通?=0.5π時(shí)，能帶中出現(xiàn)了平帶結(jié)構(gòu)，但是此能帶的Chern數(shù)為零，Cmiddle=0，能帶是拓?fù)淦接沟模欢?，與此不同的是另外兩個(gè)能帶的Chern數(shù)卻不為零，Clower=?Cupper=sgn(sin?)=1，這表明交錯(cuò)磁通可以改變能帶的拓?fù)湫再|(zhì)，能帶由原來的拓?fù)淦接棺優(yōu)橥負(fù)浞瞧接梗?/p>

在交錯(cuò)磁通(?/=0和π)作用下，Kagome晶格中部分能級(jí)的Chern數(shù)為非零值，Clower=?Cupper=sgn(sin?)，是拓?fù)浞瞧接沟哪軒В虼?，在以下?jì)算過程中取交錯(cuò)磁通?=0.5π，通過改變次近鄰躍遷強(qiáng)度，來尋找拓?fù)浞瞧接沟慕綆ЫY(jié)構(gòu)．同時(shí)，考慮到粒子的激發(fā)是從低能級(jí)向高能級(jí)躍遷，所以期望較低能級(jí)具有拓?fù)淦綆ЫY(jié)構(gòu)．

如圖3（a）所示，給出了帶隙與帶寬的比值隨次近鄰躍遷強(qiáng)度的變化曲線．從圖中可以很容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t2=?0.28t1時(shí)帶隙與帶寬的比值最大，Δ12/W≈8，Δ13/W≈23，這里Δ12，Δ13，W分別表示中間能帶和最低能帶間的帶隙，最高能帶和最低能帶間的帶隙，最低能帶的帶寬．在此條件下，能帶結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示，從圖上可以看出最低能帶和最高能帶的帶寬都比較小，接近于平帶結(jié)構(gòu)．

圖3 （a）在給定交錯(cuò)磁通情況下，帶隙與帶寬的比值隨次近鄰躍遷強(qiáng)度變化曲線；（b）Kagome晶格納米帶的能帶結(jié)構(gòu)；（c）霍爾電導(dǎo)

為進(jìn)一步說明Kagome晶格模型的拓?fù)湫再|(zhì)，我們研究其邊界態(tài)性質(zhì)．取x方向?yàn)殚_邊界，其寬度為L(zhǎng)x=80a（a為晶格常數(shù)），y方向?yàn)橹芷谛赃吔鐥l件，得到一個(gè)納米條帶，其對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)如圖3（b）所示．從圖中可以看到，最低能級(jí)的寬度非常小，而且在兩個(gè)帶隙之間都有一支表面能帶隨ky增加時(shí)，從低能帶穿越到高能帶，另一支沿相反方向穿越．通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)這兩支表面能帶分別局域在納米條帶的兩個(gè)邊界，是邊界態(tài)．如果費(fèi)米能處于帶隙之間，系統(tǒng)將會(huì)處于邊界態(tài)導(dǎo)通的拓?fù)浣^緣態(tài)．由數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知，圖中三個(gè)能帶的Chern數(shù)分別為Clower=?Cupper=1，Cmiddle=0，這正是我們所要尋找的拓?fù)淦綆ЫY(jié)構(gòu)．通過Kubo公式（2）計(jì)算系統(tǒng)的霍爾電導(dǎo)可以得到，在帶隙間具有量子化的霍爾電導(dǎo)值σxy=e2/h（如圖3（c）所示），對(duì)應(yīng)量子霍爾態(tài)．由于拓?fù)淦綆c二維Landau能級(jí)的相似性，在系統(tǒng)中加上相互作用將有可能實(shí)現(xiàn)無磁場(chǎng)的分?jǐn)?shù)激發(fā)，從而產(chǎn)生分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)．

3 結(jié)論

本文采用緊束縛模型研究了二維Kagome晶格在交錯(cuò)磁通和次近鄰躍遷強(qiáng)度調(diào)控下的能帶結(jié)構(gòu)．通過改變交錯(cuò)磁通和次近鄰躍遷強(qiáng)度，可以找到拓?fù)浞瞧接沟钠綆ЫY(jié)構(gòu)，即拓?fù)潢惤^緣體，同時(shí)系統(tǒng)中還存在整數(shù)量子霍爾態(tài)．在此條件下考慮到電子間相互作用有望實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)．

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