唐麗麗，朱海軍，朱斐

(1.蘇州農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇蘇州215008；2.蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇蘇州215006)

0 引言

在傳統(tǒng)的監(jiān)督學(xué)習(xí)和非監(jiān)督學(xué)習(xí)方法中，往往需要訓(xùn)練集：預(yù)先給定樣本，給出其標(biāo)簽，然后通過(guò)對(duì)樣本的特征選取、降維、擬合等操作，建立模型，進(jìn)而進(jìn)行測(cè)試評(píng)估．然而，在很多序列決策問(wèn)題和控制問(wèn)題中，很難預(yù)先獲得上述的樣本，例如，在機(jī)器人控制問(wèn)題中，由于無(wú)法預(yù)先了解機(jī)器的環(huán)境，所以在機(jī)器人的移動(dòng)過(guò)程中，也很難預(yù)知機(jī)器人的移動(dòng)方向，而是需要根據(jù)實(shí)際環(huán)境，自動(dòng)找到向哪個(gè)方向前進(jìn)；在人機(jī)圍棋對(duì)弈中，如果把每走一步看成是一個(gè)決策的過(guò)程，那么如果機(jī)器能根據(jù)當(dāng)前的盤面情況，向后多考慮幾步，則會(huì)得到更好的決策．而在這些應(yīng)用中，都有一個(gè)特點(diǎn)：決策智能體根據(jù)實(shí)際環(huán)境和狀態(tài)決定最優(yōu)決策．

強(qiáng)化學(xué)習(xí)[1]通過(guò)不斷與未知環(huán)境進(jìn)行交互，采取動(dòng)作，改變所處狀態(tài)，尋求能得到最大長(zhǎng)期獎(jiǎng)賞的策略．由于強(qiáng)化學(xué)習(xí)具有能夠在無(wú)標(biāo)簽數(shù)據(jù)上實(shí)現(xiàn)自主在線學(xué)習(xí)、獲得最優(yōu)決策的優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法受到大量的關(guān)注，并在很多領(lǐng)域，如自動(dòng)控制、機(jī)器人控制、網(wǎng)絡(luò)路由、市場(chǎng)決策、網(wǎng)頁(yè)索引等，獲得了成功的應(yīng)用．然而，傳統(tǒng)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)在解決大規(guī)?？臻g問(wèn)題時(shí)，受到“維數(shù)災(zāi)難”的限制，影響效果，甚至算法有時(shí)會(huì)失效[2]．包括核方法在內(nèi)的很多函數(shù)逼近方法能有效地解決“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題[3?5]．由于核方法無(wú)需事先確定逼近器參數(shù)，有更大的自由度，因此在實(shí)時(shí)控制問(wèn)題中具有很好的非線性逼近效果．然而隨著強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)據(jù)樣本的不斷增大，函數(shù)逼近器的維度也隨之增長(zhǎng)，需要大量計(jì)算時(shí)間．稀疏化方法是解決這一問(wèn)題的常見方法，它根據(jù)一定規(guī)則從數(shù)據(jù)樣本集挑選合適的樣本，進(jìn)而在計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度之間取得平衡．常見的稀疏化方法包括：近似線性依賴[6](approximately linear dependence,ALD)、核主成份分析[7](kernel principal component analysis,KPCA)和新穎規(guī)則[8](the novelty criterion,NC)．

根據(jù)策略的表示方法不同，強(qiáng)化學(xué)習(xí)可以分為值函數(shù)方法與策略梯度方法．值函數(shù)方法通過(guò)函數(shù)近似評(píng)估狀態(tài)的值函數(shù)，然后通過(guò)學(xué)到的值函數(shù)去間接表示策略．常用的值函數(shù)方法包括蒙特卡羅方法(Monte Carlo method)與時(shí)間差分方法(time diあerence,TD)等．其中，Sijen等人提出了現(xiàn)代強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法的核心算法——真在線時(shí)間差分[9](true online time diあerence,TOTD(λ))，效果要好于原先的TD(λ)算法．值函數(shù)方法通常傾向于尋找確定性策略，很難處理連續(xù)動(dòng)作空間問(wèn)題．值函數(shù)方法通過(guò)離散化動(dòng)作來(lái)處理連續(xù)動(dòng)作空間問(wèn)題，如連續(xù)動(dòng)作Q學(xué)習(xí)算法[10](continuous action Q-learning,CAQ)，其效果不如策略梯度方法．策略梯度方法通過(guò)一組與值函數(shù)無(wú)關(guān)的策略參數(shù)直接表示策略，其參數(shù)沿著獎(jiǎng)賞函數(shù)最大化的梯度方向更新[11]．章鵬等人對(duì)動(dòng)作的上下界進(jìn)行加權(quán)求最優(yōu)，使用線性函數(shù)逼近器近似求解動(dòng)作，加快算法的求解速度和穩(wěn)定性[12]；一些強(qiáng)化學(xué)習(xí)的概念和技術(shù)，如增量式方法、資格跡等，均被應(yīng)用于策略梯度方法；同時(shí)，還有不少研究者從優(yōu)化梯度求解的角度出發(fā)，進(jìn)一步改進(jìn)算法，如將更為有效的自然梯度方法和最小二乘法結(jié)合[13,14]，提出了自然梯度行動(dòng)者-評(píng)論家算法(Natural actor-critic,NAC)[15]，也有不少應(yīng)用，如季策等人使用自然梯度解決非平穩(wěn)環(huán)境中的瞬時(shí)盲源分離等[16]．

本文針對(duì)連續(xù)狀態(tài)動(dòng)作空間問(wèn)題，在真在線時(shí)間差分算法的向前觀點(diǎn)與新型資格跡的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了帶資格跡的增量式行動(dòng)者-評(píng)論家算法，提出了基于核的在線策略梯度算法(True Online Kernel-based Policy Gradient Algorithm,TOKAC)．TOKAC算法在評(píng)論家部分采用真在線時(shí)間差分算法來(lái)對(duì)值函數(shù)實(shí)現(xiàn)評(píng)估，在行動(dòng)者部分根據(jù)改進(jìn)的方法完成更新．

1 相關(guān)理論

1.1 馬爾科夫決策過(guò)程

在強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法的框架中，序列決策問(wèn)題通常采用馬爾科夫決策過(guò)程進(jìn)行建模．馬爾科夫決策過(guò)程模型可以描述為四元組＜X,U,P,R＞，其中X表示狀態(tài)空間，U表示動(dòng)作空間，P表示狀態(tài)遷移模型，R表示獎(jiǎng)賞模型．在t時(shí)刻，智能體根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)xt以及策略h(·|xt)選擇并執(zhí)行動(dòng)作u；環(huán)境根據(jù)遷移模型P以及獎(jiǎng)賞模型R反饋給出下一個(gè)狀態(tài)xt+1和立即獎(jiǎng)賞rt+1；智能體根據(jù)狀態(tài)xt+1以及策略h(·|xt+1)確定下一步交互動(dòng)作；不斷地重復(fù)直到情節(jié)結(jié)束．

強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法的最終目標(biāo)是學(xué)習(xí)最優(yōu)策略h?，算法學(xué)習(xí)的過(guò)程中通過(guò)累計(jì)獎(jiǎng)賞Rh來(lái)比較策略h的優(yōu)劣

其中，Eh表示關(guān)于策略h的累計(jì)獎(jiǎng)賞期望，折扣因子0＜γ≤1，T表示情節(jié)的最大步數(shù)．

強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法使用狀態(tài)值函數(shù)對(duì)狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估，使用狀態(tài)動(dòng)作對(duì)值函數(shù)對(duì)策略進(jìn)行評(píng)估．在求解狀態(tài)x的最優(yōu)動(dòng)作的過(guò)程中，需要計(jì)算狀態(tài)值函數(shù)Vh(x)以及狀態(tài)動(dòng)作對(duì)值函數(shù)Qh(x,u)

1.2 強(qiáng)化學(xué)習(xí)與核方法

在使用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法解決大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，性能會(huì)有較大下降．基于核方法的強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法是解決這類問(wèn)題的一種有效方法．核方法利用核函數(shù)通過(guò)非線性映射實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近．核函數(shù)k(xi,xj)表示非線性映射間的內(nèi)積〈?(xi),?(xj)〉．確定了核函數(shù)k(·,·)就可以處理非線性函數(shù)逼近．

隨著數(shù)據(jù)樣本的不斷擴(kuò)大，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，然而由于隨機(jī)篩選可能會(huì)導(dǎo)致函數(shù)逼近的精度下降，因此需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏化處理．對(duì)于某樣本數(shù)據(jù)集合{x1,x2,...,xn}，在t時(shí)刻，近似線性依賴方法構(gòu)建數(shù)據(jù)字典Dt={d1,d2,···,dmt}；在處理樣本st+1時(shí)，需要計(jì)算ζt+1

運(yùn)用k(xi,xj)=〈?(xi),?(xj)〉計(jì)算ζt+1，如下

其中，矩陣Kt=[k(di,dj)](1≤i,j≤mt)，核向量kt(xt+1)=[k(d1,xt+1),k(d1,xt+1),···,k(d1,xt+1)]?,參數(shù)向量c=[c1,c2,···,cmt]?．如果ζt+1大于閾值μ，則將樣本xt+1加入數(shù)據(jù)字典．

相應(yīng)的，狀態(tài)值函數(shù)Vh(x)的近似表示為

1.3 策略梯度

策略梯度方法通過(guò)策略參數(shù)θ直接表示策略，并沿著獎(jiǎng)賞函數(shù)Jh最大化的方向更新策略參數(shù)．策略參數(shù)的更新公式如下

式(1)可以表示為

累計(jì)獎(jiǎng)賞Rh關(guān)于策略參數(shù)θ的梯度如下

對(duì)于任意關(guān)于狀態(tài)x的函數(shù)b(x)都滿足公式(10)

所以，累計(jì)獎(jiǎng)賞函數(shù)R對(duì)策略參數(shù)θ的導(dǎo)數(shù)即公式(9)可以改寫為

其中，

從公式(7)與(11)可以看出，對(duì)策略參數(shù)的更新最重要的是Q(x,u)?b(x)值的計(jì)算．采用w?Ψs,a逼近Q(x,u)?b(x)的值，其均方誤差如下

對(duì)于任意狀態(tài)x∈X，誤差εh,x為

求解均方誤差εh,x對(duì)函數(shù)b(x)的導(dǎo)數(shù)，并令其等于0．

可得

因此，對(duì)于任意策略h，當(dāng)函數(shù)b(x)=Vh(x)的時(shí)候，均方誤差εh最?。纱丝芍?，采用函數(shù)逼近近似求解優(yōu)勢(shì)函數(shù)Ah(x,u)=Qh(x,u)?Vh(x)更具現(xiàn)實(shí)意義，所以公式(9)表示的梯度可以重寫為

2 λ-累計(jì)獎(jiǎng)賞

時(shí)間差分方法結(jié)合了蒙特卡羅方法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的優(yōu)點(diǎn)，可以在環(huán)境未知的情況下任意時(shí)間步更新值函數(shù)．為了進(jìn)一步提高時(shí)間差分方法的學(xué)習(xí)速率，研究人員提出了n步-累計(jì)獎(jiǎng)賞

由于n步-累計(jì)獎(jiǎng)賞考慮了更多的真實(shí)獎(jiǎng)賞，所以比1步-累計(jì)獎(jiǎng)賞更準(zhǔn)確．由于n存在多種可能，故而將其加權(quán)求和，提出λ-累計(jì)獎(jiǎng)賞

上述的λ-累計(jì)獎(jiǎng)賞更新值函數(shù)是傳統(tǒng)的向前觀點(diǎn)．根據(jù)式(19)可以看出，利用該向前觀點(diǎn)更新值函數(shù)必須等到情節(jié)結(jié)束才能更新，而且需要保存該情節(jié)中所有遇到的狀態(tài)．向后觀點(diǎn)是利用當(dāng)前時(shí)間差分誤差對(duì)之前遇到的所有狀態(tài)的值函數(shù)進(jìn)行更新，通過(guò)引入資格跡[1]來(lái)描述歷史狀態(tài)對(duì)當(dāng)前時(shí)間差分誤差的影響．TOTD(λ)結(jié)合二者，提出了λ-累計(jì)獎(jiǎng)賞

3 在線策略梯度算法

策略梯度方法通過(guò)與值函數(shù)獨(dú)立的策略參數(shù)求解最優(yōu)策略．而行動(dòng)者-評(píng)論家方法計(jì)算了值函數(shù)參數(shù)和策略參數(shù)這兩套參數(shù)．本文提出了一種基于核的在線策略梯度算法，在評(píng)論家部分采用TOTD(λ)求解值函數(shù)參數(shù)，在行動(dòng)者部分借鑒TOTD(λ)的向前觀點(diǎn)與向后觀點(diǎn)改進(jìn)策略參數(shù)的更新方式．算法包括評(píng)論家部分和行動(dòng)者部分．在評(píng)論家部分，使用TOTD(λ)方法評(píng)估策略，加快策略提高速度．TOTD(λ)算法利用λ-累計(jì)獎(jiǎng)賞對(duì)值函數(shù)參數(shù)v進(jìn)行更新，更新公式如下

其中，0＜k≤t，vt,0為參數(shù)v的初始值．參數(shù)vi,j(i?j)為臨時(shí)中間參數(shù)．從公式(21)可以看出，需要t次計(jì)算才能計(jì)算出參數(shù)vt=vt,t，并且需要保存所有觀察樣本．為了能夠在線計(jì)算，通常采用向后觀點(diǎn)對(duì)值函數(shù)進(jìn)行更新，即將當(dāng)前值函數(shù)的時(shí)間差分誤差對(duì)之前遇到的狀態(tài)值函數(shù)進(jìn)行更新．將向前觀點(diǎn)與向后觀點(diǎn)統(tǒng)一，得到TOTD(λ)算法．其更新規(guī)則如下

其中，δ表示時(shí)間差分誤差，ev表示資格跡，其反映了當(dāng)前狀態(tài)之前所遇到的所有狀態(tài)對(duì)當(dāng)前差分值的“貢獻(xiàn)度”．

真在線策略梯度的行動(dòng)者部分采用參數(shù)θ表示策略h分布，并沿著目標(biāo)函數(shù)的梯度方向更新策略參數(shù)．當(dāng)?shù)竭_(dá)局部最優(yōu)解時(shí)，梯度?Rh/?θ=0，所以算法的核心問(wèn)題是梯度?Rh/?θ=0的求解．

為了加快行動(dòng)者部分的學(xué)習(xí)，采用向前觀點(diǎn)更新策略參數(shù)θ，其更新公式如下

其中，βk?1是策略參數(shù)的學(xué)習(xí)步長(zhǎng)，更新公式采用經(jīng)驗(yàn)梯度替代了原來(lái)的期望梯度?Jπ/?θ．

從公式(25)可以看出，求解θt需要進(jìn)行t次計(jì)算，而且需要保留已觀察的樣本．為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，借助資格跡對(duì)策略參數(shù)進(jìn)行更新．資格跡的更新公式如下

策略參數(shù)更新公式如下

λ?累計(jì)獎(jiǎng)賞與時(shí)間差分誤差相關(guān)，而且該時(shí)間差分誤差使用時(shí)間步t-1的值函數(shù)參數(shù)vt?1估計(jì)狀態(tài)st的值函數(shù)，與評(píng)論家部分的時(shí)間差分誤差相關(guān)，關(guān)系如下

由于對(duì)于間步t，策略參數(shù)更新為

運(yùn)用λ-累計(jì)獎(jiǎng)賞更新策略參數(shù)θt,t是等同于利用資格跡對(duì)策略參數(shù)θt的更新．

根據(jù)上述算法描述，基于核的在線策略梯度算法如下．

基于核的在線策略梯度算法(True Online Kernel-based Policy Gradient Algorithm,TOKAC)

輸入：核函數(shù)k，閾值threshold，步長(zhǎng)參數(shù)α、β，折扣因子γ，參數(shù)λ，樣本集{x}，策略h

輸出：策略參數(shù)θ

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本節(jié)通過(guò)兩個(gè)具有代表性的連續(xù)狀態(tài)、連續(xù)動(dòng)作問(wèn)題平衡桿實(shí)驗(yàn)、爬山小車(Mountain Car)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證TOKAC算法的可行性．兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中算法均采用高斯核函數(shù)．

其中，di是近似線性依賴方法構(gòu)建的數(shù)據(jù)字典D中的數(shù)據(jù)，σ是高斯核的寬度．

4.1 平衡桿

平衡桿問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的強(qiáng)化學(xué)習(xí)問(wèn)題．如圖1所示，桿子矗立在小車上，并且可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)．需要對(duì)小車施加水平方向的力，保證木桿平衡．借助馬爾科夫決策過(guò)程對(duì)平衡問(wèn)題進(jìn)行建模．狀態(tài)為其中，θ是桿子與垂直線的角度，是角度θ的角速度．對(duì)小車施加左右的力a∈[?50,50]，狀態(tài)會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)移．動(dòng)態(tài)性模型如下

圖1 平衡桿問(wèn)題

其中，表示角加速度．時(shí)間步t，智能體采取動(dòng)作at，如果角度?π/2＜θt+1＜π/2，則獎(jiǎng)賞r=0，否則，r=?1．當(dāng)木桿在3 000個(gè)時(shí)間步內(nèi)倒下，則認(rèn)為操作失敗情節(jié)結(jié)束．如果木桿一直沒(méi)有倒下，并保持3 000個(gè)時(shí)間步，則認(rèn)為操作成功情節(jié)結(jié)束．

在平衡桿實(shí)驗(yàn)中，將本文提出的TOKAC算法與各類能夠解決連續(xù)問(wèn)題的算法進(jìn)行對(duì)比，包括CACLA、IAC、NAC．其中，CACLA是一個(gè)求解確定性策略的行動(dòng)者-評(píng)論家算法；IAC是一個(gè)增量式策略梯度方法．算法都采用核方法以及近似線性依賴稀疏化方法進(jìn)行函數(shù)逼近，其參數(shù)設(shè)置為σ=0.35、μ=0.001；IAC以及TOKAC算法的參數(shù)設(shè)置均為σ=5.0、λ=0.3、γ=0.9、α0=0.7、β0=0.5、αc=9 000、βc=9 000；其中NAC算法采用LSTD算法評(píng)估策略，其遺忘因子為0.3，學(xué)習(xí)步長(zhǎng)為0.8．比較結(jié)果如圖2所示．

通過(guò)比較情節(jié)的最大步數(shù)來(lái)比較算法學(xué)習(xí)到的策略的好壞．本文算法TOKAC的收斂速度最快，并且收斂后的結(jié)果較為穩(wěn)定．通過(guò)比較可發(fā)現(xiàn)IAC算法收斂較快，但是收斂效果不如NAC算法．這主要是因?yàn)樽匀惶荻饶軌蛴行Ь徑馓荻裙烙?jì)過(guò)程中方差較大的問(wèn)題．本文方法在樣本量比較少的情況下學(xué)習(xí)速度更快．這主要是因?yàn)門OKAC采用的TOTD學(xué)習(xí)比IAC采用的時(shí)間差分學(xué)習(xí)以及NAC采用的LSTD學(xué)習(xí)速度更快．此外，策略梯度算法表現(xiàn)要好于CACLA算法，這主要是因?yàn)椴呗蕴荻人惴ǔ浞掷脮r(shí)間差分誤差進(jìn)行學(xué)習(xí)，而CACLA僅僅利用時(shí)間差分誤差判斷是否更新策略參數(shù)．

圖2 各類算法處理平衡桿問(wèn)題的效果圖

4.2 爬山小車

爬山小車是一個(gè)經(jīng)典的情節(jié)式的連續(xù)空間強(qiáng)化學(xué)習(xí)問(wèn)題，小車需要在最短的時(shí)間內(nèi)從坡底到達(dá)坡頂．由于動(dòng)力不足，小車只能來(lái)回加速多次到達(dá)靠近坡頂?shù)奈恢茫缓笤偌铀?，如圖3所示．通過(guò)馬爾科夫決策過(guò)程對(duì)問(wèn)題進(jìn)行建模，狀態(tài)是[x,v]?，其中小車的位置x∈[?1.2,0.5]，小車的速度v∈[?0.07,0.07]．對(duì)小車施加水平方向的力a∈[?1,1]，狀態(tài)發(fā)生遷移，遷移模型如下

其中，重力相關(guān)系數(shù)g=0.25×10?2．當(dāng)小車水平位置x＜0.5時(shí)，獎(jiǎng)賞r=-1，否則，小車到達(dá)終點(diǎn)，獎(jiǎng)賞r=0.

圖3 爬山小車環(huán)境示意圖

圖4 不同算法處理爬山小車問(wèn)題的效果

在本實(shí)驗(yàn)中，本文算法與兩種增量式的策略梯度算法IAC以及IAC-E進(jìn)行比較．IAC算法采用TD(0)算法評(píng)估策略；IAC-E算法采用TD(λ)評(píng)估策略，而且策略更新過(guò)程也用了資格跡．三種算法的參數(shù)設(shè)置幾乎都一樣，核方法相關(guān)參數(shù)σ=[0.3,0.02]?、μ=0.001；學(xué)習(xí)步長(zhǎng)相關(guān)參數(shù)α0=0.7、β0=0.3、αc=500、βc=500；折扣因子γ=0.9．帶資格跡的算法λ=0.3．圖4中曲線代表每個(gè)算法學(xué)習(xí)500個(gè)樣本后的策略表現(xiàn)．可以發(fā)現(xiàn)本文算法比IAC-E算法收斂速度快．這主要是因?yàn)楸疚乃惴ú捎玫男滦唾Y格跡效果要好于IAC-E采用的累加資格跡．眾所周知，資格跡能夠有效解決時(shí)間信度分配問(wèn)題，進(jìn)而提高算法學(xué)習(xí)速度．本文算法的評(píng)論家部分與行動(dòng)者部分均采用新型資格跡，故而學(xué)習(xí)速度要快于IAC-E算法．此外，兩個(gè)帶資格跡的算法學(xué)習(xí)速度也要高于不帶資格跡的算法IAC．

5 結(jié)論

本文以IAC-E算法工作為基礎(chǔ)，提出了一種基于核的在線策略梯度算法，在算法的評(píng)論家部分，利用TOTD(λ)算法進(jìn)行策略評(píng)估；在算法的行動(dòng)者部分，借助真在線思想改進(jìn)策略參數(shù)的更新．并通過(guò)平衡桿與爬山小車實(shí)驗(yàn)分析本文算法與其他各類算法的優(yōu)劣，可以看出本文所提出的算法在收斂速度以及收斂后的穩(wěn)定性方面，具有較優(yōu)表現(xiàn)好．

同時(shí)，本文工作也有進(jìn)一步展開的空間．例如，通過(guò)平衡桿實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)TOKAC算法的學(xué)習(xí)速度不如NAC算法，這主要是自然梯度效果要好于常規(guī)梯度．后續(xù)工作希望結(jié)合自然梯度提高算法學(xué)習(xí)速度．

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