楊晶

【摘要】本文主要研究了柯西中值定理逆問題，首先對柯西中值定理與高階柯西中值定理進行了簡要介紹，在其基礎(chǔ)上，將其與“中間點”漸進性聯(lián)系到一起，對高階柯西中值定理進行了推廣，并獲取了一些結(jié)論，針對逆問題的研究，提出命題，并對命題進行證明，驗證逆命題是否成立.對于漸進性問題，采用兩個引理，分別設(shè)定了兩個條件，通過泰勒公式運算得到多個公式，經(jīng)過推理分析，判斷命題是否成立.

【關(guān)鍵詞】柯西中值定理；逆問題；漸進性

在微積分理論當中，占據(jù)比重比較大的內(nèi)容是微分中值定理，并廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域.近幾年，很多學(xué)者將目光轉(zhuǎn)移向了“中間點”漸進性研究方向，除此之外，還包括一些逆問題的研究.為了對這些問題進行深入研究，對本文在已有研究的基礎(chǔ)上，將兩者結(jié)合起來，對柯西中值定理逆問題進行分析，提出逆命題，并對該命題做出了證明.另外，本文還對該定理的漸進性進行了初探.

以上為柯西中值定理的逆命題探究內(nèi)容，基于柯西中值定理，提出兩種命題方式，其中一種命題方式為：首先，假設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，在此開區(qū)間上可導(dǎo)，判斷是否存在兩個數(shù)值，使得命題成立.經(jīng)過推理驗證分析，該命題不成立，并列舉了實例.接下來通過添加一些附加條件，判斷逆命題是否成立.另外一種命題方式為：假設(shè)函數(shù)滿足3個條件，驗證逆命題是否成立，依據(jù)條件，提出了三種假設(shè)，對這三種假設(shè)依次做出分析與論證，從而得出相應(yīng)結(jié)論.

三、關(guān)于高階柯西中值定理的“中間點”δ的漸進性初探

接下來本文將探究基于高階柯西中值定理的兩個漸進性問題，其中一個是當區(qū)間[c，d]的斷點d→c時，探究柯西中值定理“中間點”δ的漸進性；另外一個是當區(qū)間[c，d]的斷點d→c時，探究二階柯西中值定理“中間點”δ的漸進性.這兩個問題的分析論證方法相同，基于定理，提出兩個假設(shè)條件，用泰勒公式進行運算，對運算結(jié)果進行處理與分析，從而驗證命題是否成立.

以上為本文對柯西中值定理的逆問題與漸進性做出的論述.通過查找文獻資料，在已有定理的基礎(chǔ)上，提出逆命題并做出了相應(yīng)論證.其中，針對逆問題的研究，提出了相應(yīng)的命題并對命題進行了證明，從而驗證逆命題是否成立.對于漸進性問題，采用兩個引理，分別設(shè)定了兩個條件，如果滿足條件，則通過泰勒公式運算得到4個公式，再次對其進行推理分析，經(jīng)過驗證，確定命題成立.這些研究內(nèi)容可以為今后柯西中值定理研究奠定基礎(chǔ)，從而為定理研究拓寬思路，達到加深對命題理解的目的.

四、總 結(jié)

近年來，柯西中值定理逐漸成為人們關(guān)注的重點，并加大了在考試中的比重.雖然很多人對此定理有一定認識，其中部分人能利用這個定理求解一些實際問題，但是對定理逆問題的研究不是很多，而柯西中值定理的逆問題與定理的漸進性占據(jù)了數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的重要部分，必須對其給予一定重視.本文在該定理的基礎(chǔ)上，將其與漸進性聯(lián)系到一起進行初探.

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