《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教學創(chuàng)新探索

李 賓

（吉林大學數(shù)學教學中心，吉林 長春 130021)

一、前言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程是高等院校理工科專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是許多專業(yè)研究生入學考試的必考內(nèi)容，其概念繁多、理論抽象、方法獨特，與各專業(yè)的其他課程聯(lián)系緊密。學習這門課不但為后續(xù)課程的學習奠定了基礎(chǔ)，拓展了視野，也對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、數(shù)學建模能力和運用概率統(tǒng)計方法解決實際問題的能力有著極其重要的意義。然而，傳統(tǒng)的教學模式和方法往往是“就理論講理論、就概念講概念”，枯燥乏味，不能很好地解決學生對抽象的概念和理論理解的難題，使得學生往往因在學習中遇到理解困難而產(chǎn)生抵觸情緒，學習興趣不濃。因此迫切需要對傳統(tǒng)的教學模式進行改進，將Mathematica數(shù)學軟件引入到傳統(tǒng)教學中就是一種新的嘗試和創(chuàng)新。

Mathematica是1988年由美國Walt Research公司開發(fā)的一款綜合數(shù)學軟件包，其操作簡單，易學好用。通過編制簡單的程序可以解決大量復雜的數(shù)學問題，它不但擁有強大的數(shù)值計算和符號運算能力，還擁有很強的繪圖功能，可以繪制數(shù)學上的各種二維和三維圖形。將Mathematica軟件應(yīng)用到教學中，用先進的現(xiàn)代化技術(shù)輔助數(shù)學教學，可以有效地彌補傳統(tǒng)教學中的不足，提高教學效果。這樣不但能加深學生對抽象概念和理論的理解，還能增強他們的學習興趣，同時也為學生在以后的學習工作中應(yīng)用數(shù)學知識自行解決實際問題打下基礎(chǔ)。

二、利用Mathematica軟件顯示常用分布的圖形

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程中有很多需要通過圖形表示的量，如離散型隨機變量的分布律、連續(xù)型隨機變量的概率密度以及隨機變量的分布函數(shù)等等。準確地繪制這些函數(shù)的圖形對于學生深刻理解隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性有著重要的意義。利用Mathematica軟件的繪圖功能，可以非常容易地準確地畫出函數(shù)圖形，給學生直觀清晰的印象。

圖1是二項分布B（20，0.3）的概率分布圖。圖2是σ=1，μ取不同值時的正態(tài)分布概率密度圖形；圖3是μ=0，σ取不同值時正態(tài)分布概率密度圖形，通過圖形能非常直觀地看出μ是‘位置’參數(shù)，而σ是‘形狀’參數(shù)。

對于二維正態(tài)分布，其概率密度的表達式較為復雜，很難想象其圖形，用Mathematica軟件可以很容易地繪制出它的三維立體圖，如圖4所示。利用該軟件的可視化，還可以從不同角度觀看立體圖形。再比如對于統(tǒng)計中的三大分布，可以把不同自由度對應(yīng)的概率密度曲線圖畫在同一坐標系中，這對學生了解三大分布的特征、學習三大分布的上α分位點等都有很大幫助。圖5所示的是自由度分別為2、6、9、12、16和22的x2分布的概率密度曲線圖，從中很容易看出x2分布概率密度曲線的重心隨著自由度的增加逐漸向右下方移動這一特點。

圖1 的概率分布圖

圖2 σ=1,μ不同的正態(tài)分布圖

圖3 μ=0，σ不同的正態(tài)分布圖

圖4 二維正態(tài)分布概率密度圖

圖5 不同自由度的分布的概率密度圖

三、利用Mathematica軟件簡化繁瑣的推導

在概率統(tǒng)計中，有些定理和結(jié)論的推導證明往往需要運用高等數(shù)學知識，且需要一定的技巧，課堂推導證明耗時長，一些學生因高等數(shù)學知識的欠缺陷入對某一步的思考，無法跟上老師推導的進度，導致教學效果不佳。例如在推導二維正態(tài)分布的協(xié)方差時，其方法就是用變量替換法計算二重積分，但推導過程繁瑣、技巧性強、篇幅也較長。所以在講授時只簡單介紹推導的思路，而推導過程用Mathematica軟件編程運算結(jié)果代替，只需輸入Mathematica軟件的命令：

就得到二維正態(tài)分布的協(xié)方差結(jié)果：。

這樣做充分利用了Mathematica軟件的符號運算能力，用軟件運算代替了繁瑣的不必要的手算推導，既得到了協(xié)方差的結(jié)果，又避開了難點，也節(jié)省了課上時間，給學生留下了深刻的印象，也激發(fā)了他們的好奇心與學習興趣。

四、利用Mathematica軟件演示隨機變量的相關(guān)性

相關(guān)系數(shù)是概率統(tǒng)計中的一個重要的數(shù)字特征，它表示兩個隨機變量的線性相關(guān)的程度。當兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)等于零時，稱這兩個隨機變量不相關(guān)。在學習這部分內(nèi)容時，學生大多并不理解，只能機械地背記相關(guān)系數(shù)的公式和性質(zhì)。為了使學生能直觀的理解這部分內(nèi)容，通過下面的例子，再利用Mathematica軟件繪制的散點圖，非常直觀地演示了兩個隨機變量正線性相關(guān)、不線性相關(guān)以及負線性相關(guān)的各種狀態(tài)，對學生理解相關(guān)教學內(nèi)容很有幫助。

設(shè)隨機變量 T 服從[0，2π]上的均勻分布，X=sinT，Y=sin(T+a），（a為常數(shù))，討論隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)和（線性）相關(guān)的情況。

由協(xié)方差公式計算可得X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY=cos（a），然后利用 Mathematica軟件產(chǎn)生服從[0，2π]上均勻分布的 100 個隨機數(shù)，對 a=0，π/6，π/4，π/3，π/2，π 分別用Mathematica軟件繪出X和Y的散點圖。當a=0時，ρXY=1，X與Y（線性）正相關(guān)，這時X和Y的散點圖呈一條直線，X與Y幾乎就是線性關(guān)系，如圖6所示；隨著a的逐漸增大,相關(guān)系數(shù)ρXY的值逐漸變小，X與Y的線性關(guān)系逐漸變?nèi)?，其散點圖也由扁橢圓逐漸變大，如圖7、圖8和圖9所示；當a=π/2時，ρXY=0，X與Y沒有線性關(guān)系(不相關(guān))，這時X和Y的散點圖形成一大橢圓，如圖10所示；當a從π/2逐漸增大到π，X與Y的線性關(guān)系逐漸變強；當a=π時，ρXY=-1，X與Y又幾乎是線性關(guān)系，這時X和Y的散點圖又形成一條直線，如圖11所示。

五、利用Mathematica軟件驗證辛欽大數(shù)定律

圖6 時的散點圖

圖7 時的散點圖

圖8 時的散點圖

圖9 時的散點圖

圖10 時的散點圖

圖11 時的散點圖

大數(shù)定理是概率統(tǒng)計中的非常重要的定理，它揭示了n個相互獨立的隨機變量的算術(shù)平均當n→∞依概率收斂于其數(shù)學期望。大數(shù)定理非常抽象，很難理解。為了幫助學生更好地理解大數(shù)定理的含義，利用Mathematica軟件給出了大數(shù)定理的直觀演示。例如在講授辛欽大數(shù)定理時，就利用Mathematica軟件中的Random命令，產(chǎn)生n個相互獨立且都服從正態(tài)分布 N（2，32）的隨機變量 X1，X2，…，Xn，考察當隨機變量個數(shù)n逐漸增多時，它們的算術(shù)平均值的變化情況。下面分別給出了當n=50、1000、3000三種情況下，n個隨機變量的算術(shù)平均值的分布情況。從圖12可以明顯看出，當n=50時，50個相互獨立的隨機變量的算術(shù)平均與μ=2有較大的距離。但隨著n越來越大了，n個相互獨立的隨機變量的算術(shù)平均越來越密集在μ=2這條直線附近，如圖13和圖14所示。通過這種方式把抽象定理的結(jié)果通過圖形直觀的演示了出來，使學生耳目一新印象深刻，達到了很好的教學效果。

對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課的教學進行改革和創(chuàng)新，運用Mathematica軟件輔助課堂教學，彌補了傳統(tǒng)教學的許多不足，不但能方便準確地畫出各種二維和三維圖形，避免一些繁瑣的技巧性較強的推導，還能對抽象的定理和結(jié)論給出直觀清晰的解釋和說明，同時也節(jié)約了課堂教學的寶貴時間，活躍了課堂氣氛，突破了學生因高等數(shù)學知識的欠缺而產(chǎn)生的畏難心理障礙，激發(fā)了學生的學習興趣和自主學習解決問題的積極性，給教學注入了活力，有效地提高了教學效果。相信隨著不斷將新技術(shù)與傳統(tǒng)教學方法的有機地結(jié)合，必將大大地提高《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的教學效果。

圖12 n=50時的散點圖

圖13 n=1000時的散點圖

圖14 n=3000時的散點圖

參考文獻：

[1]馬淑蘭.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學引入數(shù)學實驗的嘗試和思考[J].內(nèi)江師范學院學報,2013,28(10).

[2]林志寶,陳玲菊.數(shù)學軟件Mathematica及其概率統(tǒng)計應(yīng)用[J],閩江學院學報,2003,24(5).

[3]董小燕.用數(shù)學軟件直觀演示概率論經(jīng)典定理[J].北京石油化工學院學報,2004,12(1).

[4]劉雄偉,李建平,胡小榮.利用Mathematica軟件改善高等數(shù)學教學效果的實踐[J].中國教育技術(shù)裝備,2007,（04）.