逆商空間的一致性研究

張思同，王加陽，孫 野

中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083

1 引言

粒度計(jì)算是當(dāng)前人工智能領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)，它包含了所有關(guān)于粒度計(jì)算的理論、方法和技術(shù)[1]，是模擬人類思維的有效工具，在復(fù)雜問題求解、大量數(shù)據(jù)挖掘以及模糊信息處理中都有重要的應(yīng)用[2]。專家學(xué)者提出了各種用于研究粒計(jì)算的模型，其中基于模糊詞計(jì)算的粒計(jì)算模型、基于粗糙集理論的粒計(jì)算模型[3-7]、基于商空間理論的粒計(jì)算模型[8]是目前使用最多的三種模型。

張鈸和張鈴在研究問題求解的過程中提出了商空間理論模型，其基于論域上的等價(jià)關(guān)系描述問題[9]。對(duì)于給定的三元組(U,f,T)以及論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R，根據(jù)R得到商集[X ]；然后由[X]構(gòu)造新的空間([ X ],[f],[T ] ),即為原空間(U,f,T)的商空間,其中[f]和[T ]分別為商屬性函數(shù)和商結(jié)構(gòu)[10]。商空間理論模型能夠?qū)φ撚蛑械脑?、元素之間的不同關(guān)系進(jìn)行描述，并且可以實(shí)現(xiàn)屬性函數(shù)與運(yùn)算的多樣化，因此其具有更強(qiáng)的表達(dá)能力。在合適的粒度空間的基礎(chǔ)上研究粒度時(shí)，除了提出自己的方法，如多側(cè)面方法[11]、覆蓋方法[12]等，它還可以吸收目前大多數(shù)比較成熟的理論中的方法。

高國士在文獻(xiàn)[13]中給出了構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的方法，文獻(xiàn)[14]中將構(gòu)造的新的拓?fù)浞Q為逆商拓?fù)?，并提出了逆商關(guān)系拓?fù)涞暮铣蓙硖綄げ煌瑢哟紊贤負(fù)淇臻g之間的關(guān)系，并就逆商空間與商空間形成的層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析。對(duì)商空間進(jìn)行逆商操作可得到對(duì)應(yīng)的逆商空間，由此可以推斷出原空間的一些性質(zhì)。逆商空間是對(duì)原問題空間的部分還原，通過對(duì)商空間求逆商得到的逆商空間并不一定與原空間完全一致。本文基于逆商空間的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)原空間和其商空間的逆商空間之間不一致的原因進(jìn)行了分析，由此得出二者滿足一致性的條件，并在商空間理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了擁有可逆性質(zhì)的空間滿足的條件，使得原空間、商空間與逆商空間三者形成對(duì)照。

2 商空間理論

定義2.1（拓?fù)洌┘蟈上的一個(gè)拓?fù)涫荴的子集的一個(gè)族T，它滿足以下條件：

（1）?和X在T中；

（2）T的任意子族的元素的并在T中；

（3）T的任意有限子族的元素的交在T中。

一個(gè)拓?fù)淇臻g就是一個(gè)有序偶對(duì)( )X,T ，其中 X是一個(gè)集合，T是X上的一個(gè)拓?fù)洹?/p>

定義2.2（商映射和商拓?fù)洌┙o定X和Y兩個(gè)拓?fù)淇臻g，U?Y，f:X→Y是滿映射，滿足：

U 是Y 的開（閉）集 ?f-1(U)是X的開（閉）集，則稱 f是一個(gè)商映射[4]，Y相對(duì)于X和 f而言是一個(gè)商拓?fù)洌ㄉ炭臻g）。

可以通過下面的方式構(gòu)造性定義商拓?fù)洌?/p>

定義2.3（商拓?fù)涞臉?gòu)造）設(shè)( )X,T 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是滿映射，由Y構(gòu)造集合：T/f={U?Y|f-1(U)∈T}稱(Y,T/f)是相對(duì)于滿映射 f的商拓?fù)洹?/p>

上述的構(gòu)造性定義，掃描每一個(gè)Y的子集，若其逆象是開集，則該Y的子集就是屬于商拓?fù)?Y,T/f)的開集。

定義2.4（飽和集）設(shè)X和Y是兩個(gè)集合，映射 f:X→Y是滿映射。?V?X,一般有 f-1(f(V))?V，如果 f-1(f(V))=V，則稱V關(guān)于映射 f是飽和的[11]。

定理2.1給定X和Y兩個(gè)拓?fù)淇臻g，U?Y，f:X→Y是滿映射，Y是X相對(duì)于 f的商拓?fù)?，則X的不同飽和子集具有不同的像。

當(dāng)且僅當(dāng)“ f單射”時(shí)，U中每一個(gè)元素至多為一個(gè)自變?cè)暮瘮?shù)值（無多值映射點(diǎn)），則充分有f-1(f(V))=V成立，這時(shí)X的每個(gè)子集都是飽和集。

定理2.2給定X和Y兩個(gè)拓?fù)淇臻g，U?Y，f:X→Y是滿映射，Y是X相對(duì)于 f的商拓?fù)洌瑒tY的任意子集（開集）的逆象必為飽和集。

f是滿射，則?U?Y,f-1(f(U))=U,則f-1f(f-1(U)))=f-1(U)，根據(jù)上述飽和集的定義，則 f-1(U)為飽和集。因此，X中所有可作為映射 f的逆象的子集都是飽和的，其他子集均不飽和。X中的飽和子集與其像具有一對(duì)一性。在商映射下，若 f-1(U)是開集，則U?Y是開集，f-1(U)具有飽和性。

商拓?fù)涫窃谝阎湓臻g的拓?fù)淝蟪銎渖炭臻g下的拓?fù)?。相?yīng)的，在已知商拓?fù)涞那闆r下，對(duì)其進(jìn)行求逆商拓?fù)涞倪\(yùn)算，可以得到其逆商空間。

定義2.5（逆商拓?fù)洌┰O(shè)X是一個(gè)集合，(Y,TY)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y是映射，構(gòu)造X上的子集族：

TX={V?X|V=f-1(U),U∈TY}

則TX是使 f連續(xù)的最粗拓?fù)?，TX稱為拓?fù)淠妗．?dāng) f是滿射函數(shù)時(shí)，TX是TY的逆商拓?fù)洹?/p>

定理2.3逆商拓?fù)銽X是使 f連續(xù)的最粗拓?fù)鋄15]。

3 逆商空間的一致性分析

由上述第二章商空間理論的基礎(chǔ)以及上述逆商拓?fù)涞亩x，可知商拓?fù)錁?gòu)造是通過判斷Y的子集的逆象是否是原空間X中的開集得來的，而逆商拓?fù)涫怯缮炭臻gY中開集的逆象構(gòu)成的。一般情況下，原空間與經(jīng)過上述運(yùn)算得到的逆商空間并不一致，下面給出例子加以說明。

例3.1設(shè)( )X,T 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，T是X上的拓?fù)?，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射。其中X={x1,x2,x3,x4,x5},集合 Y={a,b,c},T={?,{x1},{x3},{x1,x3},X}。映射關(guān)系如圖1所示，此外X上還有三個(gè)拓?fù)洌?/p>

圖1 f的映射關(guān)系

設(shè)TY是T關(guān)于滿射 f的商拓?fù)?，按照商拓?fù)涞亩x，拓?fù)銽對(duì)應(yīng)的商拓?fù)錇門Y={?,,Y}；對(duì)拓?fù)銽Y求其對(duì)應(yīng)的逆商拓?fù)銽X={?,{x3},X}，顯然TX?T。

同樣的，按照商拓?fù)涞亩x，求T1，T2，T3的商拓?fù)淇傻茫?/p>

T1Y={?,{a},{a,b},Y}

T2Y={?,{a},{a,b},Y}

T3Y={?,{a},{a,b},Y}

顯然T1Y=T2Y=T3Y。

對(duì)T1Y、T2Y和T3Y求其逆商拓?fù)涞玫絋X={?,{x3},{x1,x2},{x1,x2,x3},X}與T1相同，而T1?T2，T1?T3。

上述例子表明，一般情況下，逆商空間與原空間是不一致的。原拓?fù)渫ㄟ^商映射 f誘導(dǎo)出商拓?fù)鋾r(shí)存在著部分信息的丟失，而逆商拓?fù)涫怯缮掏負(fù)鋵?dǎo)出的，其開集與商拓?fù)渲械拈_集一一對(duì)應(yīng)，從而導(dǎo)致了逆商拓?fù)渑c原拓?fù)涞牟灰恢碌那闆r。但在滿足一定的條件時(shí)，對(duì)商空間求逆得到的逆商空間與原空間一致。

定理3.1設(shè)(X ,T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，根據(jù)商拓?fù)涞亩x得其商空間為(Y,TY)，又根據(jù)逆商拓?fù)涞亩x得到其對(duì)應(yīng)于商空間的逆商空間(X,TX),若映射 f是雙射，則TX=T，即(X ,T )的商空間的逆商空間與原空間一致。

證明（1）?V∈T ，設(shè) f(V)=U，因?yàn)?f是雙射，故f-1(f (V ) )=f-1(U)=V∈T，則有U∈TY；根據(jù)逆商拓?fù)涞亩x，如果有U∈TY,f-1(U )?X,則有 f-1(U)∈TX；由上述說明可知 f-1(U)=V?X，f-1(U)=V∈TX，可得T?TX。

（2）?V1∈TX,V1=f-1(U )，U∈TY，而 ?U∈TY，有f-1(U )∈T，即V1∈T，可得TX?T。

綜合（1）和（2）可得TX=T 。

定理3.1說明，給定拓?fù)淇臻gX和集合Y，以及X到Y(jié)的映射 f，當(dāng) f為雙射時(shí)，拓?fù)淇臻gX上由 f誘導(dǎo)而得到的商拓?fù)淝竽嫔讨蟮哪嫔掏負(fù)渑c原拓?fù)涫且恢碌摹?/p>

例3.2設(shè)(X ,T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是從集合X到集合Y的一個(gè)雙射，其映射關(guān)系如圖2所示，其中：

圖2 X到Y(jié)的映射關(guān)系

根據(jù)商拓?fù)涠xTY={U?Y|f-1(U )∈T}，可以構(gòu)造T1,T2,T3對(duì)應(yīng)的商拓?fù)錇門1Y,T2Y,T3Y：

求逆商TX={V?X|V=f-1(U),U∈TY}，可以求出T1Y,T2Y,T3Y對(duì)應(yīng)的逆商拓?fù)錇門1X,T2X,T3X：

可以看到此時(shí)有T1X=T1，T2X=T2，T3X=T3。

由例3.2可以看出，f雙射下，對(duì)商拓?fù)淝竽娴玫降哪嫔掏負(fù)浜驮負(fù)涫且恢碌摹?/p>

實(shí)際上，在 f是雙射時(shí)，商拓?fù)浜驮負(fù)渫撸痪哂姓澈闲?，由此得到的一致性條件在商空間求解問題時(shí)不具有實(shí)際的意義。通過上述對(duì)定理3.1的證明，可以觀察到 f-1(f (V ) )=f-1(U)=V的條件，由此可以總結(jié)出建立在飽和集基礎(chǔ)上的一致性條件。

定理3.2設(shè)(X ,T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，根據(jù)商拓?fù)涞亩x得其商空間為(Y,TY),同時(shí)根據(jù)逆商拓?fù)涞亩x得到其對(duì)應(yīng)于商空間的逆商空間(X,TX),若?V∈T,有 f-1(f (V))=V,即T中任意開集為X的關(guān)于映射 f的飽和開集，則TX=T ，即(X ,T )的商空間的逆商空間與原空間一致。

證明（1）?V∈T,若 f-1(f (V ) )=V,設(shè)f(V)=U,f-1(U )=f-1( f (V ) )=V∈T，則有 f(V)=U∈TY；根據(jù)逆商拓?fù)涞亩x，如果有U∈TY，f-1(U )?X，則有f-1(U )∈TX；又因?yàn)?f-1(U)=V?X，所以 f-1(U)=V∈TX，可得T?TX。

（2）?V1∈TX,V1=f-1(U )，U∈TY，而 ?U∈TY，有f-1(U )∈T，即V1∈T，可得TX?T。

綜合（1）和（2）可得TX=T 。

定理3.2說明，對(duì)于給定論域上的拓?fù)淇臻gX而言，若原空間X中的開集關(guān)于映射 f都具備飽和性，其通過 f誘導(dǎo)出的商拓?fù)淝竽嫔讨蟮玫降纳掏負(fù)渑c原拓?fù)涫窍嗤模藭r(shí)逆商空間與原空間是一致的。

例3.3設(shè)(X ,T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 Y={a,b,c,d,e,f},T={?,{1},{3},{2},{9},{1,3},{1,2},{2,3},{1,9},{3,9},{2,9},{1,2,3},{1,3,9},{1,2,9},{2,3,9},{1,2,3,9},X},f:X→Y是一個(gè)滿射，其映射關(guān)系如表1所示，X上還有三個(gè)拓?fù)銽1,T2,T3，其中

表1 X與Y的映射關(guān)系

根據(jù)商拓?fù)涞亩x，TY={U?Y|f-1(U )∈T}，拓?fù)銽對(duì)應(yīng)的商拓?fù)銽Y={?,Y,{a},{c},{a,c}}，對(duì)商拓?fù)銽Y進(jìn)行求逆商運(yùn)算，其逆商拓?fù)錇門X={?,X,{1,2},{3},{1,2,3}}，可以看出TX?T。根據(jù)飽和集的定義可以得到X中{1,2},{3},{4,6},{5},{7,8,9},{10}及其并集均為X關(guān)于 f的飽和集。

根據(jù)商拓?fù)涞亩x同樣可以導(dǎo)出T1,T2,T3對(duì)應(yīng)的商拓?fù)銽1Y,T2Y,T3Y：根據(jù)TX={V?X|V=f-1(U),U∈TY},可以求出T1Y,T2Y,T3Y對(duì)應(yīng)的逆商拓?fù)錇門1X,T2X,T3X：

可以看到其中T1X=T1，T3X=T3，而T2X?T2。

從例3.3可以看出，若原拓?fù)淇臻g中的開集都具有飽和性，即?V∈T，滿足 f-1( f (V ) )=V的條件，其導(dǎo)出的商空間求逆商之后得出的逆商空間與原空間是一致的；若原空間中既包含關(guān)于映射 f的飽和開集也包含非飽和的開集，則在導(dǎo)出商拓?fù)涞倪^程中非飽和開集的部分就已經(jīng)被剔除了，再對(duì)其進(jìn)行求逆商的運(yùn)算之后得到的逆商拓?fù)渲话嗽臻g中關(guān)于映射 f的飽和集部分，此時(shí)逆商空間包含于原空間，是一個(gè)比原空間更粗的拓?fù)淇臻g。

由定理3.1、定理3.2可知，給定論域上的拓?fù)淇臻g中的元素滿足一定的條件時(shí)，對(duì)其通過商映射 f導(dǎo)出的商空間進(jìn)行逆商操作得到的逆商空間與原空間是一致的，即原拓?fù)淇臻g中的開集都具備飽和性時(shí)，逆商空間與原空間具有一致性。

4 粒度結(jié)構(gòu)可逆性分析

根據(jù)上述一致性的分析中可以觀察到原空間中的開集相對(duì)于某個(gè)映射的飽和性的問題，那么是否存在一個(gè)使得原空間中的開集都具有飽和性的條件，這里將進(jìn)一步說明。

定義4.1設(shè)( )X,T 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，根據(jù)商拓?fù)涞亩x得其商空間為(Y,TY)，同時(shí)根據(jù)逆商拓?fù)涞亩x得到其對(duì)應(yīng)于商空間的逆商空間(X,TX)，若TX=T，則稱原空間( )X,T 關(guān)于 f是可逆的。

定義4.2設(shè)X,Y是兩個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，定義X關(guān)于f的飽和子集族為集合W={V|f-1( )f()

V=V,V?X}。

例4.1( )

X,T 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，其中X={1,2,3,4,5,6}，f的映射關(guān)系如圖3。

圖3 f的映射關(guān)系

根據(jù)映射 f:X→Y的像與逆象的關(guān)系，根據(jù)飽和集的定義 f-1( f (V ) )=V，可以得到X中相對(duì)于 f的飽和集有：

{1},{2,3},{4,5,6},{1,2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6},X

X中關(guān)于 f的飽和子集構(gòu)成集合為：

W={{1},{2,3},{4,5,6},{1,2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6},X}

T={?,{1},{2,3},{4,5,6},{1,2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6},X}

論域X上還存在其三個(gè)拓?fù)銽1，T2和T3，其結(jié)構(gòu)如下：

T1={?,{1},{2,3},{1,2,3},X}

T2={?,{2},{4,5,6},{2,4,5,6},X}

T3={?,{1},{2},{4,5},{1,2},{1,4,5},{2,4,5},{1,2,4,5},X}

定理4.1(X ,T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，如果?U∈T，有U∈W，則拓?fù)淇臻gX關(guān)于 f是可逆的。

證明 W是X的飽和子集族，如果?U∈T,有U∈W,則T中的開集相對(duì) f都是飽和的，根據(jù)定理3.2，(X ,T)的商空間的逆商空間與原空間一致，則拓?fù)淇臻gX關(guān)于 f是可逆的。

例4.1中論域X上有四個(gè)不同的拓?fù)淇臻gT,T1，T2和T3,其中?U∈T,有U?W,T是可逆的；?U∈T1,有U?W,故T1也是可逆的；T2中存在開集{2}?W,故T2是不可逆的；T3中的開集均不在X相對(duì)于 f的飽和子集族中，故T3也是不可逆的。

從例4.1中可以看出，同一論域X上的不同拓?fù)渲械拈_集相對(duì)于一個(gè)映射 f的飽和性不同，這也決定了拓?fù)淇臻g相對(duì)于映射 f的可逆性。

定理4.2( )

X,T 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是一個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)映射。當(dāng)且僅當(dāng) f是雙射時(shí)，無論拓?fù)銽的結(jié)構(gòu)如何，拓?fù)淇臻g( )X,T 關(guān)于 f是可逆的。

證明 f為雙射也即一一映射時(shí)，?V∈X，有

f-1( )

f()

V =V，即X的任意子集相對(duì)于 f都是飽和的，那么?U∈T，U是開集，U?X，即T中的開集相對(duì)于 f都是飽和的，根據(jù)上述定理4.1，其拓?fù)淇臻g關(guān)于f是可逆的。

如果 f不是雙射，而只是一般的滿射，那么上述定理4.2并不成立。在已知拓?fù)淇臻g( )X,T 的結(jié)構(gòu)，以及滿射 f:X→Y時(shí)，其拓?fù)淇臻g相對(duì)于 f的可逆性就已經(jīng)確定，通過判斷T中是否含有相對(duì)于 f而言的不飽和集，即可得知( )X,T 是否可逆。

那么在僅知道論域X及滿射 f:X→Y，而不知道原拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu)的時(shí)候，可以構(gòu)造論域X上相對(duì)于 f具有可逆性的拓?fù)洹?/p>

定理4.3X,Y是兩個(gè)集合，f:X→Y是一個(gè)滿映射，構(gòu)造集合

B={U?X*|f-1( )f()

U =U,X*?X}以集合B作為拓?fù)浠傻耐負(fù)潢P(guān)于 f都是可逆的。

證明 設(shè)由拓?fù)浠鵅生成的拓?fù)錇門，T等于B中元素所有并的族。由B的定義可知，B中的元素相對(duì)于 f是飽和的，那么由B生成的拓?fù)銽中的開集都是相對(duì)于 f的飽和開集，根據(jù)定理3.2，T是可逆的。

拓?fù)淇臻gX中的飽和開集即是在原拓?fù)涞缴掏負(fù)涞倪^程中能夠保持的性質(zhì)。而拓?fù)淇臻g的不可逆的原因來自于求商空間時(shí)部分性質(zhì)的丟失，在已知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及論域X到Y(jié)的映射時(shí)，問題的性質(zhì)就已經(jīng)確定，即可以判斷原問題的可逆性。而在未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)，可以通過構(gòu)造飽和集組成的拓?fù)浠删哂锌赡嫘再|(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由此可以得到原問題在求解過程中不變的性質(zhì)。

5 總結(jié)

基于商空間理論的粒計(jì)算模型是目前粒度計(jì)算領(lǐng)域中使用的最多的模型。商空間理論在問題的商空間中進(jìn)行求解，對(duì)商空間求逆可得其逆商空間，本文通過分析，證明了滿足定理3.1，3.2的條件時(shí)，逆商空間與原空間具備一致性。

原空間中具有相對(duì)于映射的不飽和集導(dǎo)致了逆商空間與原空間不一致。在已知映射及原空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí),可以判斷其可逆性；在已知論域以及論域到其商集的滿射時(shí)，可以構(gòu)造出具有可逆性質(zhì)的拓?fù)?即可通過商空間將問題還原。對(duì)原空間可逆性的研究即商空間方法求解過程中性質(zhì)的保持，這對(duì)于抓住問題的一些不變性質(zhì)有所幫助。

商空間領(lǐng)域中對(duì)于逆商空間的研究較少，本文通過研究原問題空間結(jié)構(gòu)中的元素，從其飽和性出發(fā)，得出了與之相關(guān)的一致性條件。是否存在其他一致性條件還在進(jìn)一步的研究中，例如對(duì)于映射條件的約束，是否可以通過多個(gè)滿射函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使得逆商空間滿足一致性，達(dá)到在求解問題的高效性上有所突破的目的，也是進(jìn)一步需要進(jìn)行的研究工作。

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