周 宇，孔 敏，張 磊

(1.皖西學院 機械與車輛工程學院，安徽 六安 237012；2.皖西學院 智能照明與顯示技術(shù)工程中心，安徽 六安 237012)

齒輪傳動是機械傳動中最重要的傳動之一[1](P186)，本文研究的設(shè)計方法，是利用工程計算軟件PTC Mathcad Prime針對齒輪傳動按最小體積進行優(yōu)化設(shè)計，并把設(shè)計結(jié)果定義為輸出以參數(shù)形式傳遞給三維設(shè)計軟件Creo Parametric，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)。Mathcad是美國參數(shù)公司推出，現(xiàn)已廣泛應用于工程力學、數(shù)字信號處理等領(lǐng)域[2]，其特點是：具有易于使用的界面，結(jié)合了實時數(shù)學符號、單位智能和強大的計算功能[3]。

1 在Mathcad中建立齒輪優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型

使用優(yōu)化設(shè)計解決工程實際問題，必需根據(jù)設(shè)計對象的要求建立相應的數(shù)學模型，其包括目標函數(shù)、設(shè)計變量和約束條件[4]。

1.1 目標函數(shù)和設(shè)計變量的確定

對齒輪傳動來說，希望在傳遞指定功率、轉(zhuǎn)速和滿足壽命要求下使各級齒輪具有最小體積，以期減小設(shè)備的體積和質(zhì)量[5](P195)。

已知兩級齒輪傳動的齒輪體積總和為[5](P195)：

(1)

式中，d1，d2，d3，d4是高、低速級齒輪的分度圓直徑，b2和b4是高、低速級中大齒輪的寬度；β1和β2是兩級齒輪的螺旋角，u1和u2是高、低速級傳動比，mn1和mn2是高、低速級齒輪的法面模數(shù)；z1和z3是高、低速級的小齒輪齒數(shù)。

式(1)中屬于獨立變量的有：mn1，z1，u1，β1，mn1，z3，u2，β2。引入齒寬系數(shù)φ1和φ2，經(jīng)整理，得以齒輪體積總和為最小目標的Mathcad表達式：

(2)

1.2 約束條件

1.2.1 以赫茲應力作為接觸疲勞強度計算的基礎(chǔ)應力，得高速級的齒面接觸疲勞強度的約束條件[1](P201)，[6]

(3)

1.2.2 將載荷作用于齒頂、并由一對齒輪承擔時的齒根彎曲應力作為基礎(chǔ)應力，得適用于中等精度齒輪傳動彎曲疲勞強度的約束條件[1](P199)

(4)

低速級的齒面接觸和齒根彎曲疲勞強度的約束條件同高速級。

1.2.3 模數(shù)的約束

根據(jù)傳遞的功率、扭矩和實踐可估計：

(5)

1.2.4 齒數(shù)的約束

閉式齒輪傳動中，小齒輪的齒數(shù)應滿足[1](P205)

(6)

1.2.5 幾何干涉約束

根據(jù)高速級大齒輪與低速軸不干涉條件[7](P148)，[8]

(7)

式中，da4是高速級大齒輪的齒頂圓直徑，E高速級大齒輪齒頂圓與低速軸線之間的距離[8]。

1.2.6 傳動比分配合理的約束[5]

為使高低速級齒輪具有相近的浸油深度，傳動比應滿足

(8)

2 優(yōu)化設(shè)計實例

設(shè)計一硬齒面二級展開式減速器。已知輸入功率P1=10 kW，轉(zhuǎn)速n1=960 r/min，總傳動比i=7.5，由電動機驅(qū)動，工作壽命15年，每年工作300天，兩班制，帶式輸送機工作平穩(wěn)，轉(zhuǎn)向不變。要求按減速器體積最小來確定總體方案中各齒輪的主要參數(shù)。

在Mathcad中進行優(yōu)化設(shè)計的一般方法是通過插入求解命令塊完成，其包括估值模塊、約束模塊和求解器模塊，按式(2)～(7)，定義如下求解命令塊。

估值模塊：

約束模塊：

求解器模塊：

求得：

把模數(shù)圓整為標準值，得減速器高、低速級齒輪傳動的4個齒輪優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，優(yōu)化結(jié)果與按文獻[1]所述的傳統(tǒng)設(shè)計結(jié)果對比如表1所示。

表1 優(yōu)化設(shè)計和傳統(tǒng)設(shè)計結(jié)果

把表1中的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果代入式(2)，得經(jīng)優(yōu)化設(shè)計后的齒輪傳動裝置體積：

傳統(tǒng)設(shè)計結(jié)果帶入式(2)，得：

結(jié)果表明，應用Mathcad優(yōu)化設(shè)計可使體積減少約10%。

3 Mathcad與CREO的集成

Mathcad與CREO的集成，是通過在Creo中創(chuàng)建Prime分析實現(xiàn)[9]。以高速級小齒輪為例，根據(jù)設(shè)計結(jié)果，在Mathcad中定義齒數(shù)z1，法面模數(shù)mn1，螺旋角β1和齒寬b1為分配輸出，如圖1所示。

圖1 定義Prime到Creo的輸出

在PTCCreo Parametric中建立Prime分析和如下數(shù)值傳遞關(guān)系：

式(7)～(10)實現(xiàn)了把圖1的4項輸出參數(shù)傳遞給CreoParametric，建立的齒輪三維模型如圖2所示。

實驗結(jié)果表明，利用Mathcad進行優(yōu)化設(shè)計相對傳統(tǒng)的設(shè)計方法，可有效減少齒輪傳動裝置的體積。又通過Mathcad與Creo集成的解決方案，把Mathcad的設(shè)計結(jié)果傳遞給Creo建模，實現(xiàn)設(shè)計與制造數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)，提高了生產(chǎn)的效率。

圖2 齒輪三維模型

參考文獻：

[1]濮良貴，紀名剛.機械設(shè)計(第九版)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]周宇.基于卓越工程師培養(yǎng)目標下應用Mathcad實現(xiàn)《機械設(shè)計》教學創(chuàng)新[J].大學教育，2017(10)：66-67.

[3]PTC.PTC Mathcad[EB/OL].https://www.ptc.com/cn/products/mathcad/，2017-11-20.

[4]劉向東，屈鈞利.錨桿PDC鉆頭主要幾何參數(shù)的優(yōu)化研究[J].煤礦機械，2010，31(1)：29-31.

[5]汪萍.機械優(yōu)化設(shè)計[M].武漢：中國地質(zhì)大學出版社，2013.

[6]張慧鵬.基于MATLAB的二級圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計[J].機械設(shè)計與制造，2010(4)：79-80.

[7]陳秀寧.機械優(yōu)化設(shè)計[M].杭州：浙江大學出版社，2010.

[8]董恰.基于1stOpt的二級圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計[J].機械傳動，2012，36(7)：69-71.

[9]趙慧勇，羅永革，張勝蘭.基于Pro/ENGINEER MathCAD分析的變速器一擋齒輪組設(shè)計[J].CAD/CAM與制造業(yè)信息化，2011(1)：46-48.