安志云,李志堅(jiān)

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

近些年,在量子行走研究領(lǐng)域,無論是理論研究[1-4]還是實(shí)驗(yàn)研究[5-8]都取得了很大的進(jìn)展。作為經(jīng)典隨機(jī)行走的量子力學(xué)推廣,量子行走是一個(gè)簡單卻應(yīng)用廣泛的模型[9]。例如利用量子行走可以執(zhí)行量子搜索算法[10],可以模擬諸如光合作用中的能量傳輸?shù)纫恍?fù)雜的生物過程[11],可以探索拓?fù)湎嗖?shí)現(xiàn)人造拓?fù)浣^緣體材料[12]等等。量子行走與經(jīng)典隨機(jī)行走的不同之處在于量子態(tài)的相干性,這會使得量子行走呈現(xiàn)出傳播速度更快,位置方差隨時(shí)間平方變化的特點(diǎn),而經(jīng)典情況下位置方差則隨時(shí)間線性變化[1]。如果經(jīng)典系統(tǒng)存在相干性,量子行走的特性也可以通過經(jīng)典系統(tǒng)來模擬,比如在光學(xué)平臺上,就是用相干光而不是單光子態(tài)來實(shí)現(xiàn)量子行走的[13-14]。然而,一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)一般不是完全孤立的,也不是完美無缺的,其無可避免地會和外界環(huán)境相互作用,或者或多或少地存在一些缺陷。這些因素會導(dǎo)致系統(tǒng)退相干,改變量子行走的傳輸行為。鑒于此,研究量子行走受噪聲或無序環(huán)境的影響是一個(gè)非常重要的課題[15-17]。安德森在研究無序介質(zhì)的電導(dǎo)特性時(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn),處于靜態(tài)無序介質(zhì)中的一個(gè)量子粒子,在其演化過程中不能任意遠(yuǎn)地離開其初始位置[18]。這一被稱為安德森局域化的現(xiàn)象在一個(gè)粒子進(jìn)行量子行走時(shí)也被觀察到[19]。在分離時(shí)間量子行走中,這種無序效應(yīng)可以通過隨機(jī)改變硬幣算符來等效[20-21],也可以通過分立位置空間中不同格點(diǎn)間的連接邊漏連所產(chǎn)生[22-23]。前一種情況人們研究的較多,而后一種情況的研究相對較少。目前人們所研究的系統(tǒng)一般為位置空間無限大的開放系統(tǒng),研究的焦點(diǎn)主要集中在退相干、傳輸特性以及漸進(jìn)行為等不同方面[15-16,24-26]。本文中,我們研究具有反射邊界的一維有限長格點(diǎn)線上的分離時(shí)間量子行走,討論連接邊無序斷開對量子行走位置自由度和硬幣自由度的糾纏特性的影響。

1 一維有限長格點(diǎn)線上的分離時(shí)間量子行走

分離時(shí)間量子行走是經(jīng)典分離時(shí)間隨機(jī)行走的量子力學(xué)推廣,除了位置空間外,還需要一個(gè)硬幣空間,由硬幣空間中的硬幣態(tài)來決定在位置空間行走的方向。在經(jīng)典隨機(jī)行走中,一個(gè)硬幣只有正面朝上或反面朝上兩種狀態(tài),根據(jù)硬幣的這兩種狀態(tài),來決定粒子在一維位置空間中是向左走一步還是向右走一步。與此不同的是,量子行走中的硬幣在硬幣空間中除了處于上述兩種正交態(tài)外,還可以處于這兩種態(tài)的任意相干疊加態(tài)。分離時(shí)間量子行走的位置由格點(diǎn)位置態(tài){|x〉:x∈Ζ}描述,張開位置空間ΘP,正交的硬幣態(tài){|c〉:c=↑,↓}張開二維的硬幣空間Θc,整個(gè)希爾伯特空間是由ΘP和Θc構(gòu)成的直積空間。這樣,量子行走的基矢為|x,c〉=|x〉P?|c〉C,其任意時(shí)刻的量子態(tài)可表示為

(1)

其中Ac(x,t)為t時(shí)刻量子行走硬幣態(tài)為c且位于x處的概率幅。量子行走每一步演化

|ψ(t+1)〉=U|ψ(t)〉,

(2)

(3)

〈x|?|↑〉〈↑|+|x-1〉〈x|?|↓〉〈↓|).

(4)

(5)

對于空間和時(shí)間都均勻的量子行走,Hadamard算符和不同的初態(tài)選擇可以給出量子行走的所有可能結(jié)果[27],其t步演化后的狀態(tài)|ψ(t)〉可以由方程(3)的t次冪作用于初態(tài)|ψ(0)〉得到。

如果量子行走不是在一維無限長格點(diǎn)線上,而是在具有邊界的有限長格點(diǎn)線上行走,則量子行走在邊界處需要特別定義。其中一種定義是,在右邊界處,硬幣態(tài)為|↑〉的粒子停在邊界上不動,硬幣態(tài)翻轉(zhuǎn)變?yōu)閨↓〉;在左邊界處,硬幣態(tài)為|↓〉的粒子停在邊界上不動,硬幣態(tài)翻轉(zhuǎn)變?yōu)閨↑〉,我們把這種定義稱為反射邊界。相應(yīng)的條件平移算符變?yōu)?/p>

|n〉〈n|?|↓〉〈↑|+|-n〉〈-n|?|↑〉〈↓|,

(6)

(7)

Px=Tr[|x〉〈x|?ICUt|ψ(0)〉〈ψ(0)|(U+)t].

(8)

?(|↑〉+i|↓〉)],

(9)

Fig.1 Probability distributions of quantum walk on a lattice segmentwith reflecting boundary are plotted for different time steps圖1 反射邊界下，一維量子行走在有限長格點(diǎn)線上演化不同步數(shù)時(shí)的概率分布圖

2 一維無序反射分離時(shí)間量子行走

在上一節(jié)的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步考慮相鄰格點(diǎn)間的連接邊隨機(jī)斷開,從而引入無序的情況。我們賦予相鄰兩格點(diǎn)x和x+1的連接邊一個(gè)從0到1取值的隨機(jī)數(shù)p(x),如果p(x)小于等于某一臨界值p0,則表示格點(diǎn)x和x+1之間的連接邊是相連的,否則,如果p(x)大于臨界值p0,則表示兩格點(diǎn)之間是斷開的。p0稱為逾滲概率,其大小決定著整條格點(diǎn)線中連接邊斷開的多少。p0越小,表示斷開的邊越多。p0=1意味著每條邊都是連通的,而p0=0則表示每條邊都是斷開的。每斷開一條連接邊,相當(dāng)于在格點(diǎn)線中多增加了一對邊界,此時(shí)的條件平移算符可相應(yīng)地表示為

〈x|?|↑〉〈↑|+δf(x),0|x〉〈x|?|↓〉〈↑|]+

|n〉〈n|?|↓〉〈↑|+|-n〉〈-n|?|↑〉〈↓|.

(10)

引入隨機(jī)無序后,有限長格點(diǎn)線上的連接邊所對應(yīng)的隨機(jī)數(shù)在位置空間形成一種分布。因?yàn)槊總€(gè)隨機(jī)數(shù)的大小決定著粒子能不能傳輸,因此可稱這一分布為逾滲分布。對于分離時(shí)間量子行走,按照逾滲分布在位置和時(shí)間上的變化不同,可以把無序分為兩種類型。一種是量子行走演化的每一步在位置空間的逾滲分布是相同的,也就是說每一步演化的條件平移算符都是相同的,這樣的無序稱之為靜態(tài)無序;另一種是量子行走在演化的每一步都重新選取逾滲分布,每一步演化的條件平移算符不同,則稱這樣的無序?yàn)閯討B(tài)無序。由于靜態(tài)無序下量子行走的演化算符與時(shí)間步無關(guān),演化t步后,其量子態(tài)|ψ(t)〉仍可由演化算符U的t次冪作用于初態(tài)|ψ(0)〉得到,即|ψ(t)〉=Ut|ψ(0)〉,但對于動態(tài)無序下的量子行走,其每一步的演化算符不同,t步后的量子態(tài)只能通過|ψ(t)〉=U(t)U(t-1)…U(1)|ψ(0)〉一步一步作用而來。

3 無序反射下分離時(shí)間量子行走的糾纏動力學(xué)

通過有限長格點(diǎn)線上相鄰格點(diǎn)間的連接邊隨機(jī)斷開引入無序后,接下來我們主要研究量子行走分別從局域化初態(tài)和非局域化初態(tài)開始演化,在靜態(tài)無序和動態(tài)無序的影響下,量子行走位置自由度和硬幣自由度之間的糾纏隨時(shí)間的變化。量子糾纏是用來進(jìn)行量子信息處理和量子計(jì)算的重要物理資源,它可以是不同子系統(tǒng)之間的糾纏,也可以是不同自由度之間的糾纏。由于量子糾纏是量子系統(tǒng)特有的性質(zhì),在經(jīng)典系統(tǒng)中沒有與之對應(yīng)的物理量。一般情況下,由于周圍環(huán)境、噪聲以及無序等一些因素的影響,會使量子系統(tǒng)退相干,從而導(dǎo)致糾纏的減小或完全消失。然而,在量子行走中,文獻(xiàn)[3]指出通過隨機(jī)的改變硬幣算符引入無序反而會在長時(shí)間極限下產(chǎn)生最大糾纏。受此啟發(fā),本文中我們通過與之不同的方式引入無序效應(yīng),結(jié)果也表現(xiàn)出無序增強(qiáng)糾纏的現(xiàn)象。

E=-Tr(ρPlog2ρP)=-Tr(ρClog2ρC).

(11)

(12)

糾纏熵的取值范圍為E(t)∈[0,1],對于最大糾纏態(tài)E(t)=1,而對于可分離態(tài)E(t)=0。

3.1 局域化初態(tài)的糾纏動力學(xué)

Fig.2 Variations of entanglement with time steps are plotted for different values of percolation probability p0when the quantum walk starting from a local initial state is on the lattice segment with (a) static percolation and (b) dynamical percolation; (c) the entanglement evolution with longer time steps in the case without percolation p0=1圖2 選取不同的逾滲概率p0，量子行走從局域初態(tài)開始演化時(shí)，硬幣自由度和位置自由度之間的糾纏隨演化步數(shù)的變化(a)靜態(tài)逾滲;(b)動態(tài)逾滲；(c)沒有逾滲即p0=1時(shí)，糾纏演化更長時(shí)間的變化圖

3.2 非局域初態(tài)的糾纏動力學(xué)

為了研究量子行走的傳輸性質(zhì),一般選取局域初態(tài),由此可以清楚地討論它在位置空間的擴(kuò)展性質(zhì)。然而,在許多量子信息處理中,初態(tài)往往是非局域的,如量子搜索的初態(tài)就是在位置空間等概率分布的非局域態(tài)。下面我們在有限長格點(diǎn)線上選取這種等概率分布的初態(tài),來研究無序及初態(tài)對量子行走糾纏動力學(xué)的影響。

(13)

選取不同的逾滲概率,圖3(a)和(b)分別給出靜態(tài)無序和動態(tài)無序下,平均糾纏〈E(t)〉隨時(shí)間的變化曲線。與圖2相比,量子行走的統(tǒng)計(jì)平均糾纏動力學(xué)發(fā)生了很大變化。首先,在沒有無序的情況下,量子糾纏大幅變小,而且由于演化一開始邊界就對量子行走有反射作用,使得干涉效應(yīng)在糾纏動力學(xué)變化過程中表現(xiàn)得不再明顯;其次,在靜態(tài)無序下,量子行走的糾纏在某一常數(shù)值附近的振蕩幅度更大,雖然和圖2(a)一樣,隨著逾滲概率的增加,這一常數(shù)值也增大,但不同的是這一常數(shù)值可以大于沒有無序時(shí)的糾纏值,表現(xiàn)出靜態(tài)無序也能增強(qiáng)糾纏的特性;最后,對于動態(tài)無序量子行走,兩種初態(tài)導(dǎo)致的糾纏動力學(xué)變化的趨勢基本相同,都能在長時(shí)間極限下趨向于最大糾纏,只是非局域初態(tài)使得糾纏增加的更快。

Fig.3 Variations of entanglement with time steps are plotted for different values ofpercolation probability p0 when the quantum walk starting from a non-localinitial state is on the lattice segment with (a) static percolation and (b) dynamical percolation圖3 選取不同的逾滲概率p0，量子行走從非局域初態(tài)開始演化時(shí)，硬幣自由度和位置自由度之間的糾纏隨演化步數(shù)的變化 (a)靜態(tài)逾滲 (b)動態(tài)逾滲

4 結(jié)論

本文首先引入具有反射邊界的一維有限長格點(diǎn)線上的分離時(shí)間量子行走,在邊界處粒子(行走者)不能繼續(xù)行走,但其硬幣態(tài)卻要發(fā)生反轉(zhuǎn),這樣定義的條件平移算符仍具有幺正性;接著通過兩種方式隨機(jī)地?cái)嚅_相鄰格點(diǎn)間的連接邊引入無序效應(yīng),一種方式是靜態(tài)的,量子行走的每一步所斷開的連接邊分布是相同的,另一種方式是動態(tài)的,量子行走的每一步都重新隨機(jī)斷開連接邊;最后選取局域和非局域的兩種不同初態(tài),研究了靜態(tài)無序和動態(tài)無序?qū)α孔有凶哂矌抛杂啥群臀恢米杂啥戎g的動力學(xué)糾纏的影響。多次計(jì)算后的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果表明,局域初態(tài)下,邊界反射導(dǎo)致的干涉效應(yīng)能夠在沒有無序的動力學(xué)糾纏中清楚地顯現(xiàn)。引入無序后,每斷開一條連接邊,相當(dāng)于增加了一對邊界,使得波函數(shù)干涉圖樣越來越無規(guī)律,從而反射邊界產(chǎn)生的效應(yīng)被覆蓋。這種情況下,只有動態(tài)無序能夠使得糾纏在某時(shí)刻大于沒有無序時(shí)的糾纏值,表現(xiàn)出糾纏增強(qiáng),而對于靜態(tài)無序則不會出現(xiàn)糾纏增強(qiáng)的結(jié)果。當(dāng)初態(tài)為非局域態(tài)時(shí),沒有無序時(shí)的糾纏值大幅減小,致使靜態(tài)無序和動態(tài)無序都能夠增強(qiáng)糾纏。特別是,無論哪種初態(tài),動態(tài)無序都能夠在無窮長時(shí)間極限下產(chǎn)生最大糾纏,而且這一特性與無序強(qiáng)度沒有關(guān)系。

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