崔文

【摘要】新一輪的數(shù)學課程改革提出六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.如何將提升學生的核心素養(yǎng)落實到位，是當前中學教師亟需解決的問題.六大核心素養(yǎng)是在比較各國課程標準，研究國際數(shù)學教育發(fā)展，結(jié)合我國基礎教育的狀況下提出的，既繼承了上一輪課程改革的優(yōu)秀成果，又推動了我國數(shù)學教育的國際化.課堂教學將數(shù)學核心素養(yǎng)落實到位，學生才能理解數(shù)學.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；直觀想象；截面；球

筆者在市教學研討會上執(zhí)教了一節(jié)高三理科復習課《球與幾何體的切接問題》，在備課的過程中深入思考教學中如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)，提升學生對問題的理解和解決能力.立體幾何教學側(cè)重提升學生的直觀想象素養(yǎng)，備課中以高考真題為切入點，以數(shù)學方法為立足點，以提升數(shù)學核心素養(yǎng)為落腳點.

1分析高考真題，提煉關(guān)鍵信息年份題型（題號） 幾何載體考查知識點題目類型2017，全國Ⅲ（理）選擇題（8）球，圓柱體積圓柱內(nèi)接于球2016，全國Ⅰ（理）選擇題（6）球表面積三視圖問題2016，全國Ⅲ（理）選擇題（10）球，三棱柱體積球與棱柱的面相切2015，全國Ⅰ（理）選擇題（11）球，圓柱表面積三視圖問題2015，全國Ⅱ（理）選擇題（9）球，三棱錐體積，表面積三棱錐與球相接2014，大綱（理）選擇題（8）球，四棱錐表面積四棱錐內(nèi)接于球2013，全國Ⅰ（理）選擇題（6）球，正方體體積球與正方體的棱相切分析（1）真題中與球相關(guān)的題目側(cè)重考查學生的空間想象能力，對作圖能力要求較高.表現(xiàn)在：五年高考7題中3題有圖，其中2題為三視圖問題.說明高考題目要求學生必須能夠作出直觀圖，然后利用直觀圖分析問題，學生要有較強的幾何作圖能力；（2）以截面問題為主，需選擇恰當?shù)慕孛娼鉀Q問題，考查平面化的方法；（3）幾何載體多變，以體積或表面積的計算為主.

結(jié)論高考題目從“幾何作圖”和“分析圖形”兩個角度考查直觀想象核心素養(yǎng)，同時考查“邏輯推理”和“數(shù)學運算”兩個核心素養(yǎng).

2選擇典型例題，提煉數(shù)學方法

鑒于對高考真題的分析，例題的選擇具備以下兩點特征：（1）題目中通常無直觀圖；（2）能從多角度入手解決問題.

例1球O與棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各個面都相切，點M為棱DD1的中點，則平面ACM截球O所得截面的面積為（）.

A.4π3B. πC. 2π3D. π3

教學片段1：

師：同學們，你們解答這道題的困惑在哪里？

生（齊答）：不知道截面的位置.

師：截面的形狀是什么？

生（齊答）：圓.

小組合作交流：大家思考截面的準確位置在哪里？（教師展示直觀圖）

生1：截面的形狀是圓，在O1點處與直線AC相切.

師：如何求出這個截面圓的半徑？請小組討論一下.

生2：在截面O1DMO中，△O1OM為直角三角形，求出OO2的長度，然后利用勾股定理得出半徑O1O2的長度.

生3：在Rt△O1OM中，利用射影定理求.由OO12= O1O2×O1M得出半徑O1O2的長度.

生4：以O為坐標原點，OM為x軸，OO1為y軸，建立平面直角坐標系.求出直線O1M和直線OO2的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程得到O2的坐標，然后利用兩點間的距離公式得出半徑O1O2的長度.

師：很好！咱們同學利用解析法解決立體幾何問題，知識交匯，思路可嘉！請同學們思考，解決此類問題的關(guān)鍵是什么？

生5：首先，畫出直觀圖，選取合適的截面圖；然后，利用平面幾何知識解答.

師：點M的位置與所畫直觀圖正方體頂點字母順序的關(guān)聯(lián)程度很強，如果大家發(fā)現(xiàn)不容易看出截面圖時，就要重新畫圖，交換點M的位置.按照“畫出直觀圖——尋找截面圖——確定算法”三步走，此種類型的題目可快速解答！

設計意圖讓學生有意識地去尋找截面圖，認識球體中重要的三角形——球的半徑、球心到小圓面的距離、小圓的半徑構(gòu)成的直角三角形.體會勾股定理和射影定理在解決此類問題中的應用.使學生對高考題形成初步感知，掌握問題求解的一般思路，重點強化平面化方法.

鞏固反饋棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱AA1，DD1的中點，則直線EF被球O截得的線段長為（）.

A.22B.1C.1+22D.2

設計意圖強化學生在球中尋找截面和構(gòu)造重要直角三角形的意識，進一步明確“構(gòu)造直角三角形”是解決此類問題的基本方法.

例2（2009全國Ⅰ理15）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于（）.

教學片段2：

師：請同學們作出直觀圖，尋找截面，并確定算法.

2分鐘后.

師：你解答此題的困惑在哪里？

生6：球心和截面小圓的半徑找不到.

師：換個角度想，直棱柱的外接球的球心位置在哪個平面內(nèi)？

生7：（討論后）球心在直棱柱高線的中垂面處.但是，具體的位置不好確定.

師：具體的說，直棱柱的外接球的球心在上、下底面外接圓圓心連線的中點處.

師：那么，球心到小圓面的距離是否可以直接得出？

生7：距離為1.就是直棱柱側(cè)棱長的一半.

生（齊）：哦……

師：我們已經(jīng)構(gòu)造了直角三角形，請同學們思考，如何求出△ABC外接圓的半徑？

生8：利用正弦定理求出.

設計意圖幾何體的結(jié)構(gòu)特征可以為解題提供思路.基于直棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征，本例中球心的位置可以“忽略”，球心到小圓面的距離就是直棱柱側(cè)棱長的一半，小圓的半徑就是底面三角形外接圓的半徑，用勾股定理求得直棱柱的外接球半徑即可.熟練之后，此類問題便可以“以想代算”.同時，本例與正弦定理關(guān)聯(lián)，拓寬了解題視野.

鞏固反饋已知三棱錐P-ABC，在底面△ABC中，∠CAB=60°，BC=3，PA⊥面ABC，PA=2，則此三棱錐外接球的半徑為（）.

設計意圖本題的幾何體可以補體為直棱柱，然后采用例2的方法，快速找到球心到小圓面的距離，簡化運算.讓學生在解題的過程中體會補形的思想與類比的方法，提倡并鼓勵一題多解.

3開展頭腦風暴，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

例3四面體ABCD中，共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，且其長別分為1、6、3，若四面體ABCD的四個項點同在一個球面上，則這個球的表面積為（）.

師：同學們思考，如何得到四面體ABCD外接球的半徑？

生9：因為四面體ABCD中，共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，可以構(gòu)造長方體，從而得出外接球的直徑為2R=12+（6）2+32=4.

師：非常好！請同學們思考，哪種類型的四面體外接球問題可以構(gòu)造長方體？

生10：共頂點的三條側(cè)棱兩兩垂直.

生11：共頂點的三個面互相垂直.

生12：底面為直角三角形，并且有一條側(cè)棱垂直于底面.

師：很好，還有嗎？

生（齊）：（沉默）沒有了.

師：（在長方體中板演）三條棱順次首尾相連，且互相垂直，能否構(gòu)造長方體？

生（齊）：……可以.

師：（在長方體中板演）三組相對棱長度分別相等的四面體，能否構(gòu)造長方體？

生（齊）：……可以.

師：其實，只要是從長方體中提取不共面的四個點構(gòu)成的四面體，都可以進行如此“逆”操作，補體為一個長方體.

師：請同學們對上述問題進行歸納研究，并分析此四面體的體積與補體得到的長方體的體積之間的關(guān)系？留作課后研究性學習，寫成小論文，展示交流.

設計意圖通過構(gòu)造幾何體得到問題的答案，本質(zhì)是“建立數(shù)學模型”和“解答數(shù)學模型”的過程，提升了學生的幾何直觀素養(yǎng)和數(shù)學建模素養(yǎng).留給學生1個問題，讓學生進行研究性學習，提升認真鉆研的科學精神.

鞏固反饋（快速搶答）已知正四面體的棱長為2a，求這個正四面體外接球的半徑.

設計意圖將構(gòu)造長方體的問題遷移到構(gòu)造正方體的問題之中，平淡出奇，凸顯“模型化”方法的解題魅力.

4幾點思考

4.1課堂教學要“以人為本”提升核心素養(yǎng).

“以人為本”就是以促進人的發(fā)展為本，注重學生數(shù)學思維品質(zhì)的發(fā)展和數(shù)學應用能力的提升.教會學生學會分析問題和解決問題特別重要，但是學生能夠思維發(fā)散，創(chuàng)造性地提出新的問題，更加符合新時期“創(chuàng)新型”人才培養(yǎng)的格局.立體幾何教學，學生的空間想象力的提升是第一任務，學生學會分析立體圖形，能主動構(gòu)造和使用幾何模型解題，幾何直觀素養(yǎng)才算得到提升.

4.2課堂教學要將“知識學習”與“素養(yǎng)提升”并重.

學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是可發(fā)展、可提升的.教師備課中例習題的選擇要盡量入口寬泛，講解時體現(xiàn)數(shù)學思想方法.如立體幾何的教學，教師授課時注重多采用“舉例”、“建?！?、“類比”等方式對知識整合，提升空間想象能力.同時，“補體法”、“分割法”、“等體積法”、“平面化方法”、添加各種輔助線（或輔助平面）等都屬于立體幾何中的算法問題，是立體幾何教學中要提升的“數(shù)學運算”素養(yǎng).

4.3課堂教學的一個重要任務是“數(shù)學育人”.

數(shù)學教學既要教會學生數(shù)學知識，還要教會學生用數(shù)學知識解決生活中的問題.即用數(shù)學的眼光看問題，用數(shù)學的理性思維分析問題，用數(shù)學的方法去解決問題.數(shù)學推理的嚴謹性影響人的一生，對樹立求真務實的價值觀非常有利.學生學習了有用的數(shù)學、能用的數(shù)學和會用的數(shù)學，數(shù)學教育的核心價值才能夠得到體現(xiàn).