☉河南省許昌高中教研處 趙小強(qiáng)
縱觀高考題中空間幾何體外接球問(wèn)題,出現(xiàn)最多的就是四面體的外接球問(wèn)題了.各類問(wèn)題最終聚焦在球的半徑的計(jì)算上,但計(jì)算半徑的前提卻都要回答一個(gè)問(wèn)題——球心在哪兒?不同的問(wèn)題尋找球心的方法也不盡相同,下面我們就一起去看看四面體外接球球心的尋找攻略吧.
例1 已知正三棱錐P-ABC,PA=a,AB=b,求正三棱錐的外接球的半徑R.
解:過(guò)P作PH⊥平面ABC,垂足為H,則H是△ABC的重心(中心),則P-ABC的外接球球心O一定在直線PH上.
(1)如圖1,當(dāng)O在線段PH上,連接HC,OC,則OP=OC=R.
圖1
(3)如圖2,當(dāng)O在PH延長(zhǎng)線上時(shí),
綜上,正三棱錐的外接球半徑為
圖2
特別地,當(dāng)a=b時(shí),即四面體PABC為正四面體時(shí),
例2 已知四面體ABCD中,AB=CD=a,AD=BC=b,AC=BD=c,求四面體ABCD的外接球的半徑R.
解:由于三組對(duì)棱分別相等,可以考慮把此四面體置入一個(gè)長(zhǎng)方體中,如圖3所示.
則長(zhǎng)方體的外接球與四面體的外接球是同一個(gè)球(球可以由不共面的四點(diǎn)確定).
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為m,n,p.
圖3
例3 已知四面體ABCD,∠BAD=∠BCD=90°,求四面體ABCD的外接球半徑R.
解 :在Rt△BAD中,因?yàn)椤螧AD=90°,Rt△BCD中,∠BCD=90°,所以BD為公共斜邊,由直角三角形的性質(zhì),BD中點(diǎn)O到A,B,C,D四點(diǎn)距離相等,即O為四面體ABCD的外接球球心,所以
這種問(wèn)題又可細(xì)分為兩種情況,第一種情況為有一條棱垂直于四面體的一個(gè)面.第二種情況為僅有兩個(gè)面垂直,而不存在棱與面垂直.
例4 四面體ABCD,AD⊥平面BCD,AD=a,BC=b,CD=c,BD=d,求其外接球的半徑R.
解:由于AD⊥平面BCD,所以把四面體ABCD補(bǔ)成直三棱柱AEF-DBC(如圖4),設(shè)M,N分別為△AEF,△BCD的外心,則球心O位于MN連線中點(diǎn),連接OC,NC,構(gòu)造Rt△ONC,則R=OC,NC為△BCD外接圓半徑r.
ON=,在△BCD中運(yùn)用余弦定理及正弦定理可求出r.
圖4
特別地,①當(dāng)△BCD滿足∠BDC=90°時(shí),可得AD,BD,CD兩兩垂直,于是可把四面體ABCD視為長(zhǎng)方體一部分,從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)寬高分別為d,c,a的長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題可得
②當(dāng)△BCD滿足∠BCD=90°或∠DBC=90°時(shí),轉(zhuǎn)化為第三類問(wèn)題,從而可得
例5 四面體ABCD,平面ABD⊥平面BCD.AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=e,求此四面體的外接球半徑R.
解:設(shè)△BCD的外心為M,△ABD的外心為N,BD的中點(diǎn)為P,根據(jù)球的幾何性質(zhì),球心O必然在過(guò)M且垂直于平面BCD的直線與過(guò)N且垂直于面ABD的直線交點(diǎn)處.
設(shè)△ABD外接圓半徑為r1,△BCD半徑為r2.
以上,我們列舉了幾種特殊情形的四面體尋找外接球球心的方法.事實(shí)上,任何一個(gè)四面體均有外接球,而外接球球心都是在過(guò)相鄰兩面的外心且垂直于相應(yīng)面的垂線的交點(diǎn),也都是可以求出的,但由于運(yùn)算量太大,在命題時(shí)缺乏實(shí)際價(jià)值,我們一般不去考慮.H