• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      尋找球心
      ——四面體外接球問(wèn)題的關(guān)鍵

      2018-05-26 03:13:28河南省許昌高中教研處趙小強(qiáng)
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年9期
      關(guān)鍵詞:外心球心外接圓

      ☉河南省許昌高中教研處 趙小強(qiáng)

      縱觀高考題中空間幾何體外接球問(wèn)題,出現(xiàn)最多的就是四面體的外接球問(wèn)題了.各類問(wèn)題最終聚焦在球的半徑的計(jì)算上,但計(jì)算半徑的前提卻都要回答一個(gè)問(wèn)題——球心在哪兒?不同的問(wèn)題尋找球心的方法也不盡相同,下面我們就一起去看看四面體外接球球心的尋找攻略吧.

      一、四面體是正三棱錐

      例1 已知正三棱錐P-ABC,PA=a,AB=b,求正三棱錐的外接球的半徑R.

      解:過(guò)P作PH⊥平面ABC,垂足為H,則H是△ABC的重心(中心),則P-ABC的外接球球心O一定在直線PH上.

      (1)如圖1,當(dāng)O在線段PH上,連接HC,OC,則OP=OC=R.

      圖1

      (3)如圖2,當(dāng)O在PH延長(zhǎng)線上時(shí),

      綜上,正三棱錐的外接球半徑為

      圖2

      特別地,當(dāng)a=b時(shí),即四面體PABC為正四面體時(shí),

      二、四面體是三組對(duì)棱分別相等的四面體

      例2 已知四面體ABCD中,AB=CD=a,AD=BC=b,AC=BD=c,求四面體ABCD的外接球的半徑R.

      解:由于三組對(duì)棱分別相等,可以考慮把此四面體置入一個(gè)長(zhǎng)方體中,如圖3所示.

      則長(zhǎng)方體的外接球與四面體的外接球是同一個(gè)球(球可以由不共面的四點(diǎn)確定).

      設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為m,n,p.

      圖3

      三、四面體含有兩個(gè)共斜邊的直角三角形

      例3 已知四面體ABCD,∠BAD=∠BCD=90°,求四面體ABCD的外接球半徑R.

      解 :在Rt△BAD中,因?yàn)椤螧AD=90°,Rt△BCD中,∠BCD=90°,所以BD為公共斜邊,由直角三角形的性質(zhì),BD中點(diǎn)O到A,B,C,D四點(diǎn)距離相等,即O為四面體ABCD的外接球球心,所以

      四、四面體存在兩個(gè)面相互垂直

      這種問(wèn)題又可細(xì)分為兩種情況,第一種情況為有一條棱垂直于四面體的一個(gè)面.第二種情況為僅有兩個(gè)面垂直,而不存在棱與面垂直.

      例4 四面體ABCD,AD⊥平面BCD,AD=a,BC=b,CD=c,BD=d,求其外接球的半徑R.

      解:由于AD⊥平面BCD,所以把四面體ABCD補(bǔ)成直三棱柱AEF-DBC(如圖4),設(shè)M,N分別為△AEF,△BCD的外心,則球心O位于MN連線中點(diǎn),連接OC,NC,構(gòu)造Rt△ONC,則R=OC,NC為△BCD外接圓半徑r.

      ON=,在△BCD中運(yùn)用余弦定理及正弦定理可求出r.

      圖4

      特別地,①當(dāng)△BCD滿足∠BDC=90°時(shí),可得AD,BD,CD兩兩垂直,于是可把四面體ABCD視為長(zhǎng)方體一部分,從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)寬高分別為d,c,a的長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題可得

      ②當(dāng)△BCD滿足∠BCD=90°或∠DBC=90°時(shí),轉(zhuǎn)化為第三類問(wèn)題,從而可得

      例5 四面體ABCD,平面ABD⊥平面BCD.AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=e,求此四面體的外接球半徑R.

      解:設(shè)△BCD的外心為M,△ABD的外心為N,BD的中點(diǎn)為P,根據(jù)球的幾何性質(zhì),球心O必然在過(guò)M且垂直于平面BCD的直線與過(guò)N且垂直于面ABD的直線交點(diǎn)處.

      設(shè)△ABD外接圓半徑為r1,△BCD半徑為r2.

      以上,我們列舉了幾種特殊情形的四面體尋找外接球球心的方法.事實(shí)上,任何一個(gè)四面體均有外接球,而外接球球心都是在過(guò)相鄰兩面的外心且垂直于相應(yīng)面的垂線的交點(diǎn),也都是可以求出的,但由于運(yùn)算量太大,在命題時(shí)缺乏實(shí)際價(jià)值,我們一般不去考慮.H

      猜你喜歡
      外心球心外接圓
      直擊多面體的外接球的球心及半徑
      用向量法證明三角形的外心、內(nèi)心和垂心
      值得加味的三角形的“四心”
      復(fù)平面上三角形的外心公式的一種特殊形式
      歐拉不等式一個(gè)加強(qiáng)的再改進(jìn)
      將相等線段轉(zhuǎn)化為外接圓半徑解題
      ?如何我解決幾何體的外接球問(wèn)題
      僅與邊有關(guān)的Euler不等式的加強(qiáng)
      例析確定球心位置的策略
      對(duì)三角形外心和內(nèi)心的向量表示的探究
      玉树县| 德安县| 通化市| 南雄市| 石景山区| 延津县| 东港市| 霞浦县| 通榆县| 白山市| 海安县| 高台县| 上犹县| 安溪县| 米易县| 卢湾区| 香格里拉县| 金溪县| 深州市| 岳普湖县| 松溪县| 余江县| 林芝县| 惠州市| 淮阳县| 三原县| 日照市| 吉隆县| 金湖县| 永州市| 永靖县| 老河口市| 富民县| 广德县| 北宁市| 焦作市| 自贡市| 深圳市| 乌拉特后旗| 荆门市| 菏泽市|