函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性三者之間的關(guān)系

摘要：函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性三者之間有著必然的聯(lián)系，如果知道其中兩個(gè)就能得出另外一個(gè)，這對我們研究函數(shù)的性質(zhì)很有幫助。本文結(jié)合例題對此做一簡要探討。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；奇偶性；周期性；對稱性；關(guān)系

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）02-0112

函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性三者之間有著必然的聯(lián)系，如果知道其中兩個(gè)就能得出另外一個(gè)，這對我們研究函數(shù)的性質(zhì)很有幫助。

知識背景：1. 奇函數(shù)的抽象性質(zhì)：f（-x）=-f（x）；2. 偶函數(shù)的抽象性質(zhì)：f（-x）=f（x）；3. 周期函數(shù)的抽象性質(zhì)：f（x+T）=f（x）；4. 對稱函數(shù)的抽象性質(zhì)：若f（a-x）=f（a+x）或f（2a-x）=f（x），則函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱；若f（a-x）+f（a+x）=0或f（2a-x）+f（x）=0，則函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱。

一、由函數(shù)的奇偶性和周期性得到函數(shù)的對稱性

例1. 若函數(shù)是奇函數(shù)，周期為2a，求證：函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱。

解析：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且周期為2a，∴f（-x）=f（x）且f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=-f（x+2a），∴f（x）=-f（x+2a），即f（x+2a）+f（x）=0，∴函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱。

例2. 若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，周期為2a，求證：函數(shù)f（x）關(guān)于x=a直線對稱.

解析：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)且周期為2a，∴f（-x）=f（x）且f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=f（x+2a），即f（2a-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a對稱。

二、由函數(shù)的奇偶性和對稱性得到函數(shù)的周期性

例3. 若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于直線x=a對稱，求證：函數(shù)f（x）的周期為4a.

解析：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x=a對稱，∴f（-x）=-f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=-f（x），∴f（2a+x）=-f（x），∴f（4a+x）=f（x），即函數(shù)的周期為T=4a.

同理：若f（x）函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，可求出函數(shù)的周期為2a。

例4. 若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖像關(guān)于直線x=a對稱，求證：函數(shù)f（x）的周期為2a。

解析：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)且圖像關(guān)于直線x=a對稱，∴f（-x）=f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=f（-x），∴f（2a+x）=f（x），即函數(shù)的周期為2a。

同理：若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，可求出函數(shù)的周期為4a。

三、由函數(shù)的周期性和對稱性得到函數(shù)的奇偶性（有特定條件：周期是對稱值的2倍）

例5. 已知函數(shù)f（x）的周期為2a，圖像關(guān)于直線x=a對稱，求證：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。

解析：∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱，∴f（2a-x）=f（x），∴f（2a+x）=f（-x），又∵f（x）的周期為2a，∴f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

例6. 已知函數(shù)f（x）的周期為2a，圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。

解析：∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，∴f（2a-x）+f（x）=0，∴f（2a+x）=-f（-x），又∵f（x）的周期為2a，∴f（x+2a）=f（x），∴f（x）=-f（-x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。

以上結(jié)論較多，只要同學(xué)們知道函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性三者之間有著聯(lián)系，并掌握推導(dǎo)方法即可。

作者簡介：趙文龍，安徽省來安縣第三中學(xué)，高中一級教師，滁州市中青年骨干教師，來安縣政府授予“來安縣名教師”榮譽(yù)稱號。曾在《數(shù)理天地》《中學(xué)生數(shù)理化》《學(xué)習(xí)方法報(bào)》報(bào)刊雜志上分別發(fā)表文章《三角函數(shù)變換的技巧》《不要小看反比例函數(shù)》《對兩種變量的討論》。

（作者單位：安徽省來安縣第三中學(xué) 239200）