神秘的非歐幾何——非歐世界

劉瑋

不同曲面上的三角形內(nèi)角和不同，平行公理也不同，它們是不同的幾何世界。平面上的幾何是歐幾里得幾何，雙曲面上是羅巴切夫斯基幾何，球面上是黎曼幾何。

浩天：“黎曼幾何還是好理解的，我們就生活在地球上。在海上航行的人明顯可以看出海平面的彎曲，但是不能說我們的空間也這么彎曲了吧？羅氏幾何的雙曲空間很難想象?！?/p>

“歷史上數(shù)學(xué)家們提出過許多模型來實(shí)現(xiàn)羅氏幾何?！冰i飛把羅氏幾何模型向浩天作了簡介。

第一個是貝爾特拉米模型，就是右頁表中的模型，即由曳物線（什么是曳物線？感興趣的同學(xué)可在“中學(xué)科技”微信公眾號回復(fù)“曳物線”，獲得解釋）旋轉(zhuǎn)而成的偽球面，偽球面上的測地線就是非歐幾何中的直線。

第二個模型是克萊因給出的，他將無窮大的歐氏平面用一個有限的圓來表示，圓的邊界就是無窮遠(yuǎn)，圓中的任意一條弦都是一條直線。他是這么定義兩點(diǎn)間距離的：

顯然，如果A點(diǎn)非常接近圓邊界上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)A'，則A、B兩點(diǎn)間的距離就會趨于無窮大。同理，若B點(diǎn)接近邊界，A、B兩點(diǎn)間的距離也會趨于無窮大。這樣的圓就是一個非歐平面。

版畫家埃舍爾的作品《圓的極限IV》就是根據(jù)克萊因模型畫的，相當(dāng)于鋪砌整個歐氏平面的無數(shù)黑色魔鬼和白色天使被壓縮在克萊因的圓形非歐平面里，其實(shí)每一個魔鬼或天使大小都相等。

第三個當(dāng)屬最優(yōu)美自然的龐加萊模型。與克萊因模型一樣，龐加萊模型的非歐平面也是一個圓，邊界同樣是無窮遠(yuǎn)，但與克萊因模型不同的是，龐加萊模型把圓中垂直于圓周的圓?。▓A的直徑是這種圓弧的特例）視為非歐幾何中的直線。

從圖中可以直觀地看出，羅氏幾何中的三角形ABC內(nèi)角和小于π，過直線外的一點(diǎn)有不止一條非歐直線與已知直線不相交。

埃舍爾的作品《圓的極限III》是根據(jù)龐加萊模型畫的，相當(dāng)于鋪砌整個歐氏平面的無數(shù)條魚被變形到龐加萊模型的圓形非歐平面里。

浩天：“這有什么意義呢？這只不過是數(shù)學(xué)家想像的理想數(shù)學(xué)模型！我們生活的世界到底屬于哪一種幾何體系？何不實(shí)際測量一下呢？”

鵬飛：“1919年，英國物理學(xué)家愛丁頓帶領(lǐng)一支天文學(xué)遠(yuǎn)征隊(duì)來到非洲普林西比島，對正在發(fā)生日全食的太陽附近的恒星位置進(jìn)行觀測，并在夜間再次觀測這些恒星的位置，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩顆星的角距離在有太陽和沒有太陽的情況下，相差1.61±0.3角秒，而愛因斯坦的理論計(jì)算值為1.75角秒（愛因斯坦廣義相對論認(rèn)為，在大質(zhì)量天體附近，時空被彎曲，空間不再是平直的歐式空間）。此后又作了各種觀測，都得到了相近的結(jié)果?！?p>

“根據(jù)光線彎曲的形狀看，大質(zhì)量天體附近的空間應(yīng)該是橢圓空間，適用黎氏幾何，三角形內(nèi)角和大于π。”浩天說，“而在兩個大質(zhì)量天體中間，空間向兩個方向彎曲，是個雙曲空間，適用羅氏幾何，三角形內(nèi)角和小于π?！?/p>

鵬飛感嘆道：“宇宙中充滿了星系和天體，我們的宇宙在大范圍來看沒有平坦的地方，只在小區(qū)域內(nèi)才有可能滿足歐幾里得幾何?！?/p>

“天人合一！”浩天脫口而出，“我們的宇宙空間正如我們的身體表面，沒有哪個地方是絕對平坦的，腦袋滿足黎氏幾何，而脖子則滿足羅氏幾何，鼻尖是黎氏空間，鼻根卻是羅氏空間……哈哈，太有意思了！”