田忌賽馬與一次性博弈

丁立新

田忌賽馬可以通過博弈論來解讀，具體案例如下：

“齊使者如粱，孫臏以刑徒陰見，說齊使。齊使以為奇，竊載與之齊。齊將田忌善而客待之。忌數(shù)與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠，馬有上、中、下輩。于是孫臏謂田忌日：“君弟重射，臣能令君勝。”田忌信然之，與王及諸公子逐射千金。及臨質(zhì)，孫臏日：“今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟。”既馳三輩畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金。于是忌進孫臏于威王。威王問兵法，遂以為師?！?出自《史記》卷六十五：《孫子吳起列傳第五》

田忌的與齊威王賽馬，田忌的馬分上中下三等，齊威王的馬也分上中下三等，比賽時齊威王的上等馬對田忌的上等馬，齊威王的中等馬對，齊威王的下等馬對田忌的下等馬，結(jié)局是3比O負。如果齊威王的最差的馬也比田忌最好的馬跑得快，那么比賽毫無懸念，這里有一個信息就是，田忌的上等馬比齊威王的中等馬強，田忌的中等馬齊威王的下等馬強。如果知道了這個信息就有可能進行新的組合。勝者用1表示，負者用0表示。

第一次賽馬用圖示表示如下（組合1）：

齊威王

田忌

結(jié)局（田忌）

上等馬——上等馬

O

中等馬——中等馬

O

下等馬——下等馬

O

第二次賽馬用圖表示如下（組合2）：

齊威王

田忌

結(jié)局（田忌）

上等馬——下等馬

O

中等馬——上等馬

1

下等馬——中等馬

1

我們把所有的組合羅列如下：

從田忌的角度，齊威王出上等馬的時候，田忌的對應(yīng)有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是0.

如果齊威王出中等馬的時候，田忌的對應(yīng)有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是1次或者說是三分之一，前提是由田忌的上等馬應(yīng)對。

如果齊威王出下等馬的時候，田忌的對應(yīng)有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是2次，或者說是三分之二，前提是田忌的上等馬對應(yīng)齊威王的下等馬或田忌的中等馬對應(yīng)齊威王的下等馬。

以上的第二次賽馬對田忌來說是最佳組合，還可以有羅列以下幾種組合：

組合3：

齊威王

田忌

結(jié)局（田忌）

上等馬——上等馬

O

中等馬——下等馬

O

下等馬——一中等馬

1

組合4：

齊威王

田忌

結(jié)局（田忌）

上等馬——下等馬

O

中等馬——中等馬

O

下等馬——上等馬

1

組合5：

齊威王

田忌

結(jié)局（田忌）

上等馬——中等馬

O

中等馬——上等馬

1

下等馬——下等馬

O

從田忌賽馬的博弈中我們可以得到的啟示是，即使自己沒有優(yōu)勢的資源，只要有相對的優(yōu)勢仍然可以取勝。一個人是這樣，一個企業(yè)是這樣，一個國家也可以是這樣。反過來，即使有絕對的優(yōu)勢如果措施不當也可能失敗。

中國的乒乓球比賽，從前發(fā)生過一些讓球事件，目的是讓最強的選手（相對于外國選手）來對付外國的選手，如果在半決賽時都是中國選手，那么就可以人為確定哪一個勝出，并不是通過比賽結(jié)果確定，也就是有一個人必須輸，那么，勝出的人對外國選手勝出的幾率增大。

進一步論述，假設(shè)有A、B兩個中國選手進入半決賽，外國的選手為C已經(jīng)確定。A與B比賽的歷史記錄是A失敗的幾率大，但是A與C的比賽歷史記錄獲勝的幾率大而B獲勝的歷史記錄幾率小。

如果比較A與B

B>A

如果A、B、C三者比較

A>C

B

在這種情況下，如果事先讓球的話，勝率明顯增大，是一個理想選擇。這是從球隊的整體利益或國家的整體利益看的。但是對于讓球者就失去了機會，雖然他獲勝的幾率小，但是并不是沒有，這也有悖于體育精神。如果從純粹的理論來看，讓球者如果能分享最終的比賽成果可能會公平一些。在體育比賽中適當?shù)氖褂貌┺牡姆椒úo不可。

在軍事上集中優(yōu)勢兵力有的也可以歸為博弈。明末明朝的軍隊遠遠地大于清的兵力，明分五路進攻清，清則集中兵力對應(yīng)明的一路大軍，最后清沒有失敗。

從田忌賽馬的案例中會給我們很多啟示，但是，這個案例是不能重復的，非重復博弈，也就是說只能用一次。從案例中，田忌知道齊威王每次出什么馬，也就是說對于田忌信息是對稱的，對于齊威王來講信息就不是對稱的了，也就是說每次比賽齊威王知道自己出什么馬卻不知道田忌出什么馬。田忌可以根據(jù)齊威王的出馬情況決定自己出什么馬，比賽的規(guī)則明顯對田忌有利。

如果改變規(guī)則，由田忌先出馬，如果齊威王也了解田忌馬的等級，那么田忌必輸無疑。從利益最大化的角度看，齊威王肯定要求田忌先出馬。如果彼此雙方都不了解對方馬的等級，隨機出馬，比賽的結(jié)果只能服從概率分布了。在體育比賽、戰(zhàn)爭及商業(yè)，了解信息是十分必要的，可以改變自己的不利地位。

目前也仍然有賽馬，規(guī)則不是用田忌賽馬時的規(guī)則了，每方出一匹馬，跑在前面即獲勝。田忌賽馬作為一次性博弈不能重復，但是也不能說這樣的博弈沒有意義。畢竟是孫臏發(fā)現(xiàn)了制度（游戲規(guī)則）的漏洞取得了比賽的勝利。從另一個角度看，對制度也是一個完善的過程。戰(zhàn)爭與企業(yè)的經(jīng)營亦然。軍事家就是發(fā)現(xiàn)敵人的漏洞而采取對策。企業(yè)家發(fā)現(xiàn)市場的缺陷而采取行動。很多成功是不能復制和重復的，這就是一次性博弈的魅力。