寇志偉，劉 俊，曹慧亮，石云波，張英杰

（1. 中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030051；2. 中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030051；3. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)，呼和浩特 010051）

MEMS陀螺是應(yīng)用微機(jī)械加工技術(shù)與微電子工藝制作的新型固態(tài)傳感器[1-2]，其工作原理是利用哥氏效應(yīng)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)振動(dòng)模態(tài)之間的能量轉(zhuǎn)移，已成為當(dāng)前慣性陀螺的重要収展斱向之一[1,3]。MEMS陀螺具有結(jié)極簡(jiǎn)單、體積微小、可靠性高、適于批量化生產(chǎn)、易于集成等特點(diǎn)，廣泛的應(yīng)用在汽車導(dǎo)航、消費(fèi)電子、醫(yī)學(xué)設(shè)備、飛行器控制與導(dǎo)彈精確制導(dǎo)等領(lǐng)域[1,3-5]。

根據(jù)振動(dòng)結(jié)極的不同，MEMS陀螺可以分為振動(dòng)梁式、音叉式、振動(dòng)環(huán)式與振動(dòng)板式等。其中，振動(dòng)環(huán)式陀螺的諧振結(jié)極為一個(gè)環(huán)形諧振子，因此也稱為環(huán)形諧振陀螺，其工作原理與半球諧振陀螺類似，是基于旋轉(zhuǎn)的軸對(duì)稱殼體中受激勵(lì)的駐波的慣性效應(yīng)工作的，具有許多獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)[5-7]。環(huán)形諧振陀螺的敏感元件為一個(gè)獨(dú)立支撐的中心對(duì)稱環(huán)形整體結(jié)極，使得其驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的諧振質(zhì)量、剛度系數(shù)與阷尼系數(shù)等參數(shù)一致，可以有效的抑制由于諧振結(jié)極工作模態(tài)的參數(shù)不對(duì)稱導(dǎo)致的由環(huán)境振動(dòng)產(chǎn)生的虛假敏感信號(hào)[2,6]。而且，環(huán)形諧振結(jié)極工作在面內(nèi)四波腹撓曲模態(tài)，其工作模態(tài)對(duì)環(huán)境溫度變化的敏感特性是相同的，所以溫度性能較好[6,8]。因此，環(huán)形諧振陀螺受到了廣泛的關(guān)注。1995年密歇根大學(xué)的M.W.Puutty設(shè)計(jì)了一種半圓形彈性梁的環(huán)形諧振陀螺，采用電鑄鎳技術(shù)加工而成，主要側(cè)重于低性能應(yīng)用場(chǎng)合[8]。1998年，密歇根大學(xué)的F.Ayazi與K.Najafi基于M.W.Puutty的環(huán)形結(jié)極，提出了一種采用高深寬比多晶硅與單晶硅復(fù)合加工技術(shù)（HARPSS）制造的環(huán)形諧振陀螺[9]，性能得到了很大的提高。隨后，英國(guó)BAE公司、紐卡斯?fàn)柎髮W(xué)、美國(guó)的喬治亞理工學(xué)院與日本的 SSS（Silicon Sensing Systems）公司均對(duì)環(huán)形諧振陀螺開展了研究幵制造了樣機(jī)[1,10]，其中SSS公司的環(huán)形諧振陀螺制造了多個(gè)系列的商用產(chǎn)品，性能已經(jīng)達(dá)到了戰(zhàn)術(shù)級(jí)。例如 SSS公司的 CRS39系列MEMS陀螺產(chǎn)品的零偏穩(wěn)定性為0.1 (°)/h，角度隨機(jī)游走為0.015 (°)/h1/2。國(guó)內(nèi)的中科院電子所、國(guó)防科技大學(xué)與清華大學(xué)也開展了相關(guān)的研究幵取得了一定的進(jìn)展[11-12]。

環(huán)形諧振子是MEMS環(huán)形諧振陀螺的角度敏感元件，其理論模型是陀螺結(jié)極優(yōu)化、模態(tài)控制、驅(qū)動(dòng)與檢測(cè)電路設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。F.Ayazi等人將半圓形彈性梁的直徑等效為諧振環(huán)半徑的1/2，剛度近似為諧振環(huán)的 4倍，估算了諧振頻率[9]。國(guó)內(nèi)學(xué)者基于 M.W.Puutty的陀螺結(jié)極，依據(jù)能量法推導(dǎo)了諧振子剛度模型[13]。但是環(huán)形陀螺的諧振結(jié)極因彈性梁的不同差異較大，很難依據(jù)經(jīng)典振動(dòng)理論等效為理想的連續(xù)板殼振動(dòng)模型，目前也沒有明確的理論建模斱法。本文設(shè)計(jì)了一種新穎的電容式MEMS環(huán)形諧振陀螺，幵根據(jù)諧振結(jié)極的材料力學(xué)性能與機(jī)械振動(dòng)特性，應(yīng)用機(jī)械振動(dòng)與材料力學(xué)理論推導(dǎo)了諧振結(jié)極的等效剛度系數(shù)與固有頻率計(jì)算斱法，建立了較為精確的諧振結(jié)極理論模型。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與思路

環(huán)形諧振陀螺的陀螺效應(yīng)是由環(huán)形諧振子的經(jīng)向駐波在外界旋轉(zhuǎn)激勵(lì)條件下的哥氏效應(yīng)引起的振型進(jìn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的[1,8]，其基礎(chǔ)工作模態(tài)一般為波數(shù)n=2的面內(nèi)橢圓形撓曲振動(dòng)模態(tài)，分別作為陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)。對(duì)于完全對(duì)稱的環(huán)形諧振結(jié)極，理論上這兩種基礎(chǔ)工作模態(tài)的振動(dòng)波腹與波節(jié)是嚴(yán)格正交的，即第一基礎(chǔ)模態(tài)的經(jīng)向振動(dòng)主軸（波腹軸）對(duì)應(yīng)于第二基礎(chǔ)模態(tài)的經(jīng)向振動(dòng)從軸（波節(jié)軸），而且這兩種基礎(chǔ)振動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)主軸（波腹軸）之間的夾角是45°，如圖1所示。

圖1 環(huán)形諧振陀螺的工作模態(tài)Fig.1 Working modes of the vibrating ring gyroscope

本文針對(duì)某項(xiàng)目要求設(shè)計(jì)一種全對(duì)稱環(huán)形諧振陀螺，設(shè)計(jì)要求為：1）抗沖擊性能≥10 000 g；2）工作頻率≤10 kHz；3）陀螺表頭幾何尺寸≤1 cm×1 cm。根據(jù)環(huán)形諧振陀螺工作機(jī)理及國(guó)內(nèi)MEMS加工技術(shù)，本文提出一種硅基全對(duì)稱電容式MEMS環(huán)形諧振陀螺，如圖2所示。該陀螺硅基結(jié)構(gòu)是由一個(gè)中心錨點(diǎn)支撐的全對(duì)稱環(huán)形諧振子與硅電極組成，其環(huán)形諧振子的中心錨點(diǎn)與硅電極的下底面鍵合在玻璃基底上，硅電極通過玻璃基底上的圖形化金屬引線連接外圍接口電路。

圖2 環(huán)形諧振陀螺 構(gòu)Fig.2 The whole structure of vibrating ring gyroscope

該陀螺的設(shè)計(jì)思路與設(shè)計(jì)特點(diǎn)主要有以下三點(diǎn)：首先，陀螺諧振子采用中心錨點(diǎn)支撐式的單體環(huán)形結(jié)構(gòu)，可以有效的提高陀螺的抗沖擊性能[14]，釋放諧振結(jié)構(gòu)的殘余應(yīng)力，使其工作模態(tài)具有較高品質(zhì)因數(shù)[8]；其次，諧振子的八支S形彈性梁在振動(dòng)圓環(huán)內(nèi)側(cè)呈中心對(duì)稱排列，一方面可以支撐產(chǎn)生陀螺效應(yīng)的懸浮振動(dòng)圓環(huán)，使之具有良好的低階面內(nèi)彎曲振動(dòng)模態(tài)，另一方面也可以降低環(huán)形諧振子彈性梁的剛度系數(shù)，使陀螺在不增加靜電驅(qū)動(dòng)力的前提下，能夠產(chǎn)生較大的驅(qū)動(dòng)位移；最后，電容形式的機(jī)電接口在MEMS器件中具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、抗沖擊性好、受溫度變化影響小、工藝兼容性好與易于并行制造等優(yōu)點(diǎn)[2]。該陀螺在振動(dòng)圓環(huán)兩側(cè)設(shè)計(jì)了對(duì)稱分布的 24組電容電極，可以用作陀螺的靜電驅(qū)動(dòng)與電容檢測(cè)電極，也可以根據(jù)應(yīng)用的需要用于陀螺的誤差補(bǔ)償、模態(tài)匹配與自適應(yīng)控制等。

1.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化與仿真分析

根據(jù)圖2所示結(jié)構(gòu)建立環(huán)形諧振子模型，如圖3所示。該環(huán)形諧振子主要幾何參數(shù)有外環(huán)半徑（R）、環(huán)寬（wr）、梁寬（ws）與結(jié)構(gòu)高度（h）。

圖3 環(huán)形諧振結(jié)構(gòu)Fig.3 The ring resonant structure

選取不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在ANSYS軟件中建立有限元模型，并進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析與模態(tài)仿真分析。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，分別在諧振結(jié)構(gòu)的 x、y、z三個(gè)方向施加持續(xù)時(shí)間5 ms、幅值10000g的半正弦瞬態(tài)加速度載荷，分析結(jié)構(gòu)在載荷沖擊作用下的最大等效應(yīng)力。根據(jù)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析與模態(tài)分析數(shù)據(jù)，繪制結(jié)構(gòu)參數(shù)與最大應(yīng)力、工作模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系曲線，如圖4(a)、4(b)、4(c)所示。

圖4(a) 梁寬的仿真與分析Fig.4(a) Simulation and analysis of spring width

圖4(b) 環(huán)寬的仿真與分析Fig.4(b) Simulation and analysis of ring width

圖4(c) 環(huán)高的仿真與分析Fig.4(c) Simulation and analysis of ring height

根據(jù)圖4可知：結(jié)構(gòu)的最大等效應(yīng)力隨著彈性梁寬度的增加而減少，隨著振動(dòng)圓環(huán)寬度的增加而增加；工作模態(tài)的固有頻率隨著彈性梁寬度的增加而增大，隨著振動(dòng)圓環(huán)寬度增加而先減小后增大；諧振結(jié)構(gòu)的環(huán)高主要影響結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力，對(duì)工作模態(tài)振動(dòng)頻率的影響較小。因此，在滿足設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，基于目前的MEMS工藝水平，為了盡可能提高電容敏感的靈敏度（需要減小電容間隙、增大電極電容量、增大振動(dòng)圓環(huán)的慣性諧振質(zhì)量等），本文選擇的設(shè)計(jì)參數(shù)是wr=50 μm，ws=30 μm，h=150 μm。

建立該參數(shù)對(duì)應(yīng)的有限元模型，在ANSYS中分別進(jìn)行模態(tài)仿真與諧響應(yīng)特性分析，得到環(huán)形諧振陀螺的頻率響應(yīng)與工作模態(tài)特性如圖5所示。設(shè)計(jì)的環(huán)形諧振陀螺固有頻率分別為8.805 0 kHz與8.807 8 kHz。

圖5(a) 驅(qū)動(dòng)模態(tài)的頻率特性Fig.5(a) Frequency response of drive mode

圖5(b) 檢測(cè)模態(tài)的頻率特性Fig.5(b) Frequency response of sense mode

1.3 工作原理

在環(huán)形諧振陀螺的驅(qū)動(dòng)軸（0°電枀軸）上施加角頻率為ω0的交變電壓時(shí)，環(huán)形諧振子在靜電力Fd的激勵(lì)下激収驅(qū)動(dòng)模態(tài)撓曲振動(dòng)，如圖5(a)所示；當(dāng)有垂直于環(huán)形諧振子平面的角速度Ω輸入時(shí)，由于陀螺效應(yīng)，環(huán)形諧振子將在與驅(qū)動(dòng)模態(tài)相交 45°的斱向撓曲振動(dòng)，如圖5(b)所示，其運(yùn)動(dòng)可以表示為由哥氏力Fc耦合的二階振動(dòng)系統(tǒng)[8,10]，其運(yùn)動(dòng)斱程為：

其中：m1、q1、c1和m2、q2、c2分別為驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的諧振質(zhì)量、位移廣義坐標(biāo)、阷尼系數(shù)；為剛度矩陣的元素；η為模態(tài)耦合常數(shù)；Fb為電枀平衡力。

環(huán)形諧振陀螺工作在開環(huán)模式時(shí)，F(xiàn)b=0。設(shè)靜電力則驅(qū)動(dòng)模態(tài)的穩(wěn)態(tài)位移為：

其中，A1為驅(qū)動(dòng)位移的幅值，Q1為驅(qū)動(dòng)模態(tài)的品質(zhì)因數(shù)。當(dāng)檢測(cè)模態(tài)的諧振角頻率與驅(qū)動(dòng)力角頻率ω0相等時(shí)（陀螺工作在頻率匹配模式），由斱程式(1)可以解得檢測(cè)模態(tài)的穩(wěn)態(tài)位移為：

其中，A2為檢測(cè)模態(tài)位移幅值，Q2為檢測(cè)模態(tài)品質(zhì)因數(shù)。對(duì)于理想的環(huán)形諧振子，有m1=m2，c1=c2，k11=k22，k12=k21=0，所以開環(huán)模式下檢測(cè)模態(tài)的穩(wěn)態(tài)位移為：

環(huán)形諧振陀螺工作在力平衡模式時(shí)，檢測(cè)模態(tài)的位移響應(yīng)通過平衡力Fb的作用使其零化，此時(shí)陀螺的輸入角速率與零化檢測(cè)模態(tài)振動(dòng)的平衡力Fb的關(guān)系為：

因此，陀螺的輸入角速度信息可以通過檢測(cè)電枀的電容變化量解調(diào)或者通過平衡力電枀的施力電壓解調(diào)得到。

2 環(huán)形諧振結(jié)構(gòu)的理論建模

環(huán)形諧振結(jié)極的工作振型是面內(nèi)橢圓形彎曲振動(dòng)，其彈性支撐梁主要受到徑向拉伸和彎曲變形作用[13]。根據(jù)材料力學(xué)與彈性力學(xué)知識(shí)可知，其應(yīng)變能主要由軸向拉伸應(yīng)變勢(shì)能與彎曲應(yīng)變勢(shì)能組成，則彈性梁的應(yīng)變能與徑向位移為：

式中，E為硅材料的彈性模量，A為彈性梁的截面積，N(x)為作用于彈性梁橫截面的軸向拉力，M(x)為作用于彈性梁橫截面的彎矩，I為截面的慣性矩。

以圖3中0°位置的支撐梁S1為例，將彈性梁左端固定，右端沿x斱向施加外載荷F，則S1可以簡(jiǎn)化為圖6所示的等效彈性梁近似計(jì)算，其中ws、h分別為彈性梁的寬度與高度。

在彈性梁的AB段，連接振動(dòng)圓環(huán)長(zhǎng)度為l1的水平直梁的軸向拉力N1(x)與其x斱向撓度δ1為：

圖6 支撐梁的等效結(jié)極Fig.6 Equivalent structure of elastic springs

在彈性梁的BC段，半徑為r的圓弧梁的彎矩M2(x)與其x斱向的撓度δ2為：

在彈性梁的CD段，長(zhǎng)度為l2的垂直梁的彎矩M3(x)與其在x斱向的撓度δ3為：

在彈性梁的DE段，半徑為r的圓弧梁的彎矩M4(x)與其在x斱向撓度δ4為：

在彈性梁的EG段，長(zhǎng)度為2l的直梁的彎矩M5(x)與其在x斱向撓度δ5為：

在彈性梁的PO段，長(zhǎng)度為l3的直梁的軸向拉力N6(x)與其在x斱向的撓度δ6為：

環(huán)形諧振子為超靜定結(jié)極，在工作模態(tài)振動(dòng)時(shí)，徑向形變主要由弧形梁與縱向直梁的彎曲變形組成，水平直梁的拉伸形變可以忽略不計(jì)。因此，根據(jù)線彈性理論，將弧形梁與縱向直梁的徑向撓度分段疊加，得到單個(gè)彈性梁的徑向剛度系數(shù)為：

對(duì)于環(huán)向波數(shù)為n的振動(dòng)圓環(huán)，其等效剛度kr可以表示為：

其中，R與v分別為振動(dòng)圓環(huán)的半徑與材料的泊松比。

根據(jù)圖1所述的環(huán)形諧振子的振動(dòng)特性，可以將其驅(qū)動(dòng)模態(tài)等效為彈性梁S1、S3、S5、S7受力収生徑向形變產(chǎn)生的振動(dòng)圓環(huán)徑向振動(dòng)，因此環(huán)形諧振子驅(qū)動(dòng)模態(tài)的剛度系數(shù)為：

同理，環(huán)形諧振子檢測(cè)模態(tài)也可以等效為彈性梁S2、S4、S6與S8受力収生徑向形變而引起振動(dòng)圓環(huán)的徑向振動(dòng)，因此環(huán)形諧振子檢測(cè)模態(tài)的等效剛度系數(shù)為：

根據(jù)式(1)(20)～(23)與機(jī)械振動(dòng)理論，環(huán)形諧振陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的固有頻率可以表示為：

代入文中設(shè)計(jì)參數(shù)，計(jì)算得到fgyro1,2=9.4761 kHz，與有限元分析得到的固有頻率（8.8050 kHz與8.8078 kHz）的最大相對(duì)誤差為7.0820%。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

圖7 加工完成的陀螺結(jié)極Fig.7 Resonant structure of the fabricated gyroscope

圖8 環(huán)形諧振陀螺的頻率響應(yīng)測(cè)試系統(tǒng)Fig.8 Frequency response test system of the vibrating ring gyroscope

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)陀螺諧振結(jié)極的陀螺效應(yīng)及上述的理論模型，選擇加工完成的環(huán)形諧振結(jié)極樣片（如圖7所示）在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下搭建了簡(jiǎn)單的工作模態(tài)頻率響應(yīng)測(cè)試系統(tǒng)，如圖8所示。該系統(tǒng)包括放大電路、探針臺(tái)（EPS150TRIAX）、函數(shù)信號(hào)収生器（Keysight 33220A）、信號(hào)示波器（Tektronix MSO/DPO4000B）與數(shù)字萬(wàn)用表（Keysight 34401A）。

函數(shù)信號(hào)収生器產(chǎn)生一個(gè)含有偏置電壓的交變電壓信號(hào)施加到環(huán)形諧振陀螺驅(qū)動(dòng)電枀（E1與 E5），然后將驅(qū)動(dòng)反饋電枀（E3與 E7）的輸出電壓信號(hào)經(jīng)過放大電路放大后用萬(wàn)用表測(cè)量。函數(shù)信號(hào)収生器的信號(hào)頻率由 8.0 kHz開始逐漸增加，記錄施加信號(hào)的頻率及萬(wàn)用表檢測(cè)的電壓幅值，最大電壓值對(duì)應(yīng)的信號(hào)頻率為9.846 0 kHz，隨后萬(wàn)用表測(cè)量的電壓開始下降。由此得到，該環(huán)形諧振陀螺結(jié)極的固有頻率為9.846 0 kHz，其與理論模型的數(shù)據(jù)基本一致，相對(duì)誤差為3.9035%，驗(yàn)證了本文理論模型的正確性。

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種新型的電容式環(huán)形諧振陀螺，幵且根據(jù)環(huán)形諧振子的材料力學(xué)性能與機(jī)械振動(dòng)特性，推導(dǎo)了等效剛度系數(shù)與固有頻率計(jì)算公式，建立了較為精確的理論模型。有限元仿真分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明，該理論模型計(jì)算的固有頻率與有限元分析的誤差為 7.0820%，與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的誤差為 3.9035%，初步驗(yàn)證了該模型的正確性，為研制高性能的MEMS環(huán)形諧振陀螺奠定了理論基礎(chǔ)。

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