張永貴，黃中秋

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

6R工業(yè)機(jī)器人是指6個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的工業(yè)機(jī)器人。6自由度關(guān)節(jié)機(jī)器人在切削加工過(guò)程中系統(tǒng)剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于CNC系統(tǒng)的剛度[1]。機(jī)器人剛度是描述機(jī)器人在外作用力下抵抗變形的能力[2]。當(dāng)機(jī)器人操作臂末端受到外力作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生變形，從而造成切削加工中的誤差，而變形量與機(jī)器人的剛度和作用力的大小有關(guān)[3-4]。機(jī)器人的剛度包括伺服剛度和機(jī)械剛度，本文只討論由機(jī)械剛度引起的機(jī)器人操作末端的變形[5-6]問(wèn)題。通過(guò)疊加機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度和臂桿剛度在機(jī)器人操作臂末端引起的變形，建立對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)角的補(bǔ)償模型，并通過(guò)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)角的補(bǔ)償，減少因機(jī)器人剛度問(wèn)題所造成的機(jī)器人在切削加工中的誤差[7]。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

參照文獻(xiàn)[8]對(duì)MOTOMAN UP50機(jī)器人的研究結(jié)果，根據(jù)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，運(yùn)用D-H法建立機(jī)器人各連桿的附體坐標(biāo)系，如圖1所示。各連桿的參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H參數(shù)值

圖1 機(jī)器人D-H坐標(biāo)系

定義機(jī)器人不同位姿時(shí),坐標(biāo)系{i+1}與坐標(biāo)系{i}的變換矩陣為:

Rot(xi+1,αi+1)Trans(xi+1,ai+1)

(1)

式中：oi為機(jī)器人第i個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；θi,di,αi,ai分別為機(jī)器人零位時(shí)的參數(shù)值。

(2)

2 不同坐標(biāo)系間靜力的變換

設(shè)有一個(gè)作用在某個(gè)物體上的力F，它使物體發(fā)生假想的微分位移D，做出虛功δW。虛擬位移的極限趨向無(wú)窮小，所以系統(tǒng)的能量不變。力F所做的虛功為：

δW=FTD

(3)

式中：D為虛擬位移的微分運(yùn)動(dòng)矢量；F為力矢量，表示作用在該點(diǎn)的力和力矩。

用坐標(biāo)系{c}來(lái)描述此物體上某個(gè)不同的點(diǎn)，有：

δW=FTD=cFTcD

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]第三章式(3.97)有：

cD=JD

(5)

從而有

FT=cFTJ

(6)

對(duì)式(6)稍加變換即可得：

cF=[JT]-1F

(7)

式中：J為雅可比矩陣。

式(7)即為各坐標(biāo)系之間靜力的變換公式。

3 機(jī)器人剛度模型建立

3.1 機(jī)器人關(guān)節(jié)撓度在操作臂末端的映射

借用文獻(xiàn)[9]的方法可以得到機(jī)器人關(guān)節(jié)變形在機(jī)器人臂桿末端的撓度映射，即：

(8)

式中：kθ為關(guān)節(jié)剛度。

針對(duì)MOTOMAN UP50機(jī)器人，引用文獻(xiàn)[9]的公式求得其關(guān)節(jié)剛度kθ=diag(8.86×109,5.50×109,1.85×1010,3.30×108,2.10×109,8.81×109)N·mm/rad。在此，首先分析機(jī)器人在位姿q=[30 60 30 45 30 60]、末端載荷F=[100 150 50 0 0 0]時(shí)的末端變形，然后求得在只考慮關(guān)節(jié)變形時(shí)操作臂末端的撓度Δδθ(保留4位小數(shù))：

Δδθ=[-0.017 9 0.029 4 0.033 2 0.000 0 0.000 0 0.000 0]

(9)

3.2 機(jī)器人臂桿撓度在操作臂末端的映射

通過(guò)計(jì)算可得到機(jī)器人在操作臂末端受到F=[100 150 50 0 0 0]N的力時(shí)，臂桿1,2,3,4及臂桿6的撓度變形，見(jiàn)表2～表6。表中的γ為繞z軸的轉(zhuǎn)角，β為繞y軸的轉(zhuǎn)角，φ為繞x軸的轉(zhuǎn)角，Δl為在x軸方向的位移。

表2 臂桿1的撓度變形

表3 臂桿2的撓度變形

表4 臂桿3的撓度變形

表5 臂桿4的撓度變形

表6 臂桿6的撓度變形

因?yàn)楸蹢U5的剛度可以視為無(wú)限大，所以臂桿5在結(jié)構(gòu)中沒(méi)有撓度變形。根據(jù)各個(gè)臂桿的撓度變形可得臂桿變形在操作空間所產(chǎn)生的廣義撓度Δδl為：

Δδl=[ 0.042 5 0.020 4 -0.012 4 0.000 0 0.000 0 0.000 0]

(10)

3.3 機(jī)器人操作臂末端剛度

通過(guò)疊加操作末端的關(guān)節(jié)撓度和臂桿撓度從而得到機(jī)器人的總撓度，即：

Δδ=Δδθ+Δδ1

(11)

已知機(jī)器人操作臂末端的廣義力F和總撓度Δδ，則機(jī)器人總的空間剛度K為：

(12)

4 切削加工機(jī)器人操作臂末端位移誤差的計(jì)算

4.1 操作臂末端銑削力的計(jì)算

根據(jù)材料力學(xué)可知銑削力F的計(jì)算公式為：

(13)

式中：CFz為銑削力的切削系數(shù)；d0為銑刀直徑；ae為銑削深度；af為每齒進(jìn)刀量；ap為銑削寬度；z為銑刀齒數(shù)；kFz為修正系數(shù)。

根據(jù)銑削條件取CFz=160，d0=8mm，ae=8mm，ap=5mm，af=0.2mm/齒，z=4，kFz=3.54，代入式(13)中可得F=2 551N。

從而可得到各銑削分力分別為：Fx=1 020.4N,Fy=2 040.8N,Fz=2 295.9N。

4.2 操作臂末端誤差的計(jì)算

將求出的各銑削分力代入式(12)即可計(jì)算出機(jī)器人末端誤差Δx為(保留四位小數(shù))：

(14)

5 機(jī)器人的關(guān)節(jié)角補(bǔ)償模型的建立

雅可比矩陣是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣，假如有一組變量為xj的方程Yi(其中i,j=1,2,…,6)為：

Yi=fi(x1,x2,…,xj)

(15)

由Yi的微分變化所引起的xj的微分變化為：

(16)

同樣，根據(jù)上述關(guān)系，對(duì)機(jī)器人的位置方程求微分，可以寫(xiě)出以下方程：

Δx=JΔθi

(17)

因此在已知機(jī)器人末端誤差Δx時(shí)，可以根據(jù)式(17)來(lái)求關(guān)節(jié)補(bǔ)償量Δθi，即：

Δθi=J-1Δx

(18)

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以及數(shù)據(jù)分析

6.1 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立的關(guān)節(jié)角補(bǔ)償模型是否有效，從機(jī)器人示教器讀取機(jī)器人不同位姿時(shí)的關(guān)節(jié)位置和操作臂末端姿態(tài)。觀察點(diǎn)的位姿，如表7所示(由于篇幅限制，只列出8組數(shù)據(jù))。

表7 觀察點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置和末端位置

根據(jù)表7中的關(guān)節(jié)角θi由式(17)、(18)可計(jì)算出各關(guān)節(jié)角的補(bǔ)償值Δθi，見(jiàn)表8。

表8 關(guān)節(jié)角補(bǔ)償值 rad

對(duì)關(guān)節(jié)角進(jìn)行補(bǔ)償后得到的觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)見(jiàn)表9。

表9 關(guān)節(jié)角補(bǔ)償后觀察點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置和末端位置

補(bǔ)償前與補(bǔ)償后觀察點(diǎn)末端位置變化見(jiàn)表10。

表10 末端位置變化

6.2 數(shù)據(jù)分析

由式(14)可知，由于機(jī)器人自身剛度的原因會(huì)造成機(jī)器人在切削加工中，其刀具在x,y,z3個(gè)方向上分別少走了0.557 1mm、0.677 5mm、0.955 1mm，因此產(chǎn)生了加工誤差。為了補(bǔ)償加工誤差，通過(guò)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)角進(jìn)行補(bǔ)償來(lái)修正。而根據(jù)表10可知，補(bǔ)償關(guān)節(jié)角后，其刀具在x,y,z3個(gè)方向上分別平均多走了0.555 462 5mm、0.674 787 5mm、0.955 725 0mm，從而可得刀具在x,y,z3個(gè)方向上的補(bǔ)償效果分別為99.71%、99.60%、99.93%，由此可知補(bǔ)償是有效的。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)MOTOMAN UP50機(jī)器人進(jìn)行了剛度分析及操作臂末端切削力的分析，建立了機(jī)器人的剛度模型和末端切削力模型，并根據(jù)其剛度模型和末端切削力模型建立了機(jī)器人的誤差補(bǔ)償模型，為誤差補(bǔ)償提供了新的思路。通過(guò)關(guān)節(jié)角補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該補(bǔ)償方法的可行性。

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