點(diǎn)估計(jì)的一種敏捷算法

王 燦

（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130）

1 引言

參數(shù)估計(jì)包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種方法，而點(diǎn)估計(jì)又是區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ).目前比較常用的點(diǎn)估計(jì)方法有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法等，其中矩法雖然簡(jiǎn)單，但其局限性比較大，對(duì)期望不存在的隨機(jī)變量無(wú)法使用；最大似然法依據(jù)“一次實(shí)驗(yàn)就發(fā)生的事件有較大的概率”的思想，是目前應(yīng)用比較廣泛的方法.但對(duì)分布律或概率密度復(fù)雜的隨機(jī)變量而言，此種方法的計(jì)算量就比較大.但其衍生出的派生估計(jì)法[1]就在一定程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算.

2 算例

為了使計(jì)算更加簡(jiǎn)便，先給出正態(tài)分布的最大似然估計(jì)量和派生估計(jì)量，并結(jié)合定理把已知分布類型的隨機(jī)變量逼近成正態(tài)分布N（μ,σ2），再化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這樣在原來(lái)派生估計(jì)法的基礎(chǔ)上，只需要選擇）作為派生估計(jì)量即可.

例 1設(shè) X～N（μ,σ2），μ,σ2為未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，樣本值為x1,x2,…,xn，求 μ,σ2的估計(jì)量.

解法一最大似然估計(jì)法

X的概率密度為：

似然函數(shù)為：

取對(duì)數(shù)有：

對(duì)參數(shù)求導(dǎo)有：

解法二派生估計(jì)法

則互相獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此把看作來(lái)自總體的樣本，由正態(tài)分布N（μ,σ2）參數(shù)均值和方差的最大似然估計(jì)，得

兩種解法所得結(jié)果相同，但派生法更簡(jiǎn)單.

例 2已知 X～B(n,p)，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，求未知參數(shù)p的派生估計(jì)量.

解因?yàn)?X～B(n,p)，由 De Moivre-Laplace定理，得

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)參數(shù)均值的派生估計(jì)量得

例3已知X～U(0,θ],證明未知參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量不是無(wú)偏的，但其派生估計(jì)量是無(wú)偏的.

解由已知得似然函數(shù)為顯然 L(θ)隨 θ 的增加而減少，故 L(θ)在 max{x1,x2,…,xn}處取得最大值，于是θ的最大似然估計(jì)量為θ^=max{x1,x2,…,xn}，

推得的概率密度為

故最大似然估計(jì)量=max{X1,X2,…,Xn}不是無(wú)偏的；

因?yàn)?X～U(0,θ]，由中心極限定理得

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)參數(shù)均值的派生估計(jì)量得

故派生估計(jì)量=2是無(wú)偏的.

3 結(jié)語(yǔ)

以上實(shí)例表明，把中心極限定理應(yīng)用到參數(shù)估計(jì)理論中是很好的思路，不僅可以簡(jiǎn)化很多分布類型的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)計(jì)算過(guò)程，且得到的估計(jì)結(jié)果還可能具有更好的性質(zhì).

〔1〕 孫祝嶺.點(diǎn)估計(jì)的一種新方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010(11)：163-164.

〔2〕 顧蓓青，王蓉華，徐曉嶺，吳生榮.極大似然估計(jì)的間接求法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010(10)：153-155.

〔3〕 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.149-156.