張玉寶，董 禮*，張國英

(1.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 內(nèi)蒙古 包頭 014010；2.鄂爾多斯市萊福士光科技有限公司，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017000)

1 引 言

太陽光是最重要的自然光源，具有光照比較連續(xù)、光譜失配度好、輻照均勻性好、準(zhǔn)直性高等優(yōu)點，但存在光照強(qiáng)度受時間和氣候的影響比較大、光譜分布不均勻、總的輻照度不能調(diào)節(jié)等缺點。許多學(xué)者都在研究太陽光譜模擬技術(shù)。在衛(wèi)星姿態(tài)控制和熱平衡實驗中，專門研制了中小型太陽模擬器[1]。在建材行業(yè)中，材料的耐輻照老化實驗也會用到太陽模擬器。農(nóng)業(yè)科學(xué)中的植物發(fā)育和培育良種以及人體健康保健也離不開太陽模擬技術(shù)[2]。但是之前并沒有非常準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)來定義太陽光光譜分布，國際組織(IEC)規(guī)定AM1.5[3]為標(biāo)準(zhǔn)太陽光譜輻射，其波長范圍是300～1100nm，總的輻照度為1000W/m2[4]。單色LED較傳統(tǒng)的汞燈表現(xiàn)出抗壓能力強(qiáng)、體積小、光效高、使用壽命長、波長可以覆蓋可見光部分[5]、單色性能好、半高全寬窄、發(fā)光為非相干光的優(yōu)點[6]。目前單色LED疊加擬合太陽光譜主要有以下兩個研究方向：一是范鐸等[7]將不同單色的LED排成陣列，改變經(jīng)過LED的電流的方法，如朱繼亦等用程控技術(shù)控制每個LED的開合以及驅(qū)動電流[8]。該方法操作繁瑣，不停地改變通過LED的電流會使LED的發(fā)熱嚴(yán)重，造成峰值波長和半高全寬(FWHM)產(chǎn)生偏移。二是甘汝婷等[9]通過反演法，在原有多光譜擬合的前提下加入適當(dāng)?shù)呐袆e條件，根據(jù)光譜特性對仿真的目標(biāo)光譜進(jìn)行分析判別，反演得到所需要的最佳LED波段和最小的LED單元數(shù)。該方法雖然準(zhǔn)確，但是得到的LED的單元數(shù)都不是整數(shù)，不適用于實際工程中，并且目前的技術(shù)還不能研制出等波長間隔的半高全寬非常窄的單色LED。徐廣強(qiáng)等[10]采用LED內(nèi)部光子在二維空間內(nèi)聯(lián)合態(tài)密度函數(shù)作為輻射模型基于最小二乘解求出擬合精度最高的LED的種類和數(shù)量，該方法擬合模型雖然準(zhǔn)確，但是卻將影響LED的重要參數(shù)半高全寬擬合了，實際上沒有用到半高全寬的具體數(shù)值。

本文主要側(cè)重于工程實踐，利用市面上Epitex公司SMBB系列的大功率單色LED并建成大功率單色LED的數(shù)據(jù)庫，將已知的LED峰值波長和半高全寬作為已知數(shù)據(jù)，擬合AM1.5標(biāo)準(zhǔn)太陽光譜中可見光波長的光譜。采用修正高斯模型為單色LED的發(fā)光模型，基于有效集算法通過求解超定方程組的最小二乘解篩選有效集中的數(shù)據(jù)，得到擬合精度最高的LED的種類和數(shù)目。并且使用的單色LED的半高全寬并不相同，這樣就可以靈活地找到目標(biāo)光譜的波峰和波谷的位置，然后再根據(jù)殘差圖分析擬合的精度和擬合模型的精度，并且為了驗證模型和方法的合理性進(jìn)行了優(yōu)化驗證實驗。擬合精度雖然沒有反演法的精度高，但是具有很高的可行性，并為實際的工程實踐提供了理論指導(dǎo)。

2 光譜構(gòu)造原理及擬合方法

2.1 LED的光譜輻射模型

根據(jù)LED光源的物理特性可知，對于單個LED在其光軸方向上單位立體角內(nèi)的輻射功率隨光譜的分布模型可用修正高斯函數(shù)[11]來近似，具體關(guān)系式如下：

S(λ)=

(1)

其中S(λ)是單個LED輻射強(qiáng)度，λc是峰值波長，Δλ是半高全寬，C是相對振幅。

2.2 光譜的匹配

由于太陽光光譜可以看成是多個單色LED疊加而成的，不同的單色LED疊加的數(shù)學(xué)模型可表示為:

(2)

式中f(λ)為目標(biāo)光譜曲線，Sn(λ)表示不同單色LED的光譜，kn為擬合系數(shù)。

為了方便計算記向量S1=[S1(λ1),S1(λ2),S1(λ3),…,S1(λi)]T，LED的光譜矩陣可以改寫成A=(S1,S2,S3,…,Sn)，記系數(shù)矩陣X=(k1,k2,k3,…,kn)T，目標(biāo)光譜矩陣為Y=[f(λ1),f(λ2),f(λ3),…,f(λi)]T，將其表示成矩陣的形式為：

(3)

將其簡化表示成：

AX=Y,

(4)

實際中目標(biāo)AM1.5太陽光譜在380～780nm波長范圍內(nèi)有34個散點，即λi為34。若計算得出的k的數(shù)值小于34，那么該問題就屬于非線性的超定方程問題[12]。非線性超定方程一般沒有解析解，但是可以求出它的廣義最小二乘解X*,使其滿足：

‖Y-AX*‖2=min‖Y-AX‖2且x∈R*，

(5)

在非線性最小二乘問題中常用相關(guān)指數(shù)R2來評價擬合情況的好壞，相關(guān)指數(shù)是一個取值在0～1之間的數(shù)，越接近1表示擬合的精度越高，擬合的方案越好，其定義為：

(6)

誤差可以由誤差的平方和SSE(Sum of squares for error，σSSE)和殘差(Residual，e)表示，計算公式如下：

(7)

e=y-ya.

(8)

3 有效集法

現(xiàn)實中存在很多有界約束優(yōu)化問題，模型如下：

minf(x) s.t.l≤x≤u,

(9)

其中f(x)是優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，l為下界，u為上界。

有效集法是求解式(9)的一種十分成功的方法，求解時定義在點x*(最優(yōu)解點)處的有效集為：

S(x*)=L(x*)∪U(x*),

(10)

其中

(11)

有效集法[13]的基本思想就是從問題的某個初始點x0出發(fā)，隨著算法的進(jìn)行，在每一步迭代產(chǎn)生一個有效集的估計值S(xk)，將問題轉(zhuǎn)化為等式約束問題，即進(jìn)行尋優(yōu)迭代過程，通過反復(fù)多次篩選，使得S(xk)→S(x*)，獲得問題的最優(yōu)解。有效集法是一種增量的迭代方法，迭代的過程就是不斷地在識別有效集和工作集的過程，當(dāng)工作集和有效集都被識別時，優(yōu)化問題得到了最優(yōu)解[14]。有效集方法的最大難點就是初始點的選擇，初始點選取的好壞會直接影響到迭代的次數(shù)和結(jié)果，MATLAB軟件能很好地解決這一問題。

首先導(dǎo)入已知的AM1.5可見光波段數(shù)據(jù)λ和f(λ)，將調(diào)研得到的Epitex公司的大功率單色LED峰值波長λp和半高全寬Δλ導(dǎo)入數(shù)據(jù)庫作為有效集，然后將已知的大功率單色LED的峰值波長λp半高全寬Δλ帶入擬合公式(1)，將相關(guān)指數(shù)R2最大寫成最優(yōu)化函數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)。由于解的結(jié)構(gòu)是非負(fù)的，定義初始值x0(非負(fù))，利用MATLAB編程得出滿足R2最大的解，輸出最優(yōu)解x*和相應(yīng)使用的大功率LED的峰值波長λp和半高全寬Δλ。

4 最佳擬合結(jié)果及其分析

通過MATLAB軟件對AM1.5可見光波段進(jìn)行光譜擬合，得到最優(yōu)的LED的峰值波長、半高全寬和擬合系數(shù)(P)，數(shù)據(jù)如表1所示。

最優(yōu)的比例組合采用24種單色LED，其中紫色4種、藍(lán)色4種、綠色4種、橙色2種、紅色10種，得出殘差平方和SSE為0.3643，相關(guān)指數(shù)R2為0.8502。圖1和圖2為最優(yōu)解下的單色LED匹配AM1.5的光譜圖和殘差圖。

在圖1上可以清楚地看出，空心圓圈為已知的AM1.5的散點，實心圓點為擬合求出的數(shù)據(jù)點，曲線為擬合曲線。眾所周知，擬合曲線是由無數(shù)的擬合點連接得到的，擬合點的精確程度決定了擬合曲線的精確程度。以往研究者的模型都比較復(fù)雜，沒有精確到某一個波段或是某一點，本文將AM1.5標(biāo)準(zhǔn)太陽光譜可見光數(shù)據(jù)作為已知，畫出散點，可以清楚地看出每一個波長對應(yīng)的光譜輻照度，也求出了每一個散點波長對應(yīng)的擬合數(shù)據(jù)，這樣做出來的曲線更加真實可信。

圖1 最佳24種單色LED的光譜匹配圖Fig.1 Spectral matching diagram of the best 24 monochromatic LED

表1 最優(yōu)解的24種LED的組合比例Tab.1 Ratio of the 24 LED combinations of the optimal solution

圖2 各波長處的殘差圖Fig.2 Rsidual plots of each wave’s merit

根據(jù)已知的AM1.5散點可大致分成三段：第一段在380～550 nm波段，相鄰小波段間峰起伏變化比較突出，且峰值間隔較小，急促的起落使得目標(biāo)曲線中出現(xiàn)許多難以復(fù)制的個性細(xì)節(jié)。該波段內(nèi)AM1.5呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，且上升的速度比較快，在390～400 nm上升的幅度最大，到了450～550 nm趨于平穩(wěn)狀態(tài)，在480 nm達(dá)到了最大光譜輻照度，且在530～540 nm下降最快。該波段的仿真誤差較大，有兩種原因造成這樣的結(jié)果：一方面，AM1.5作為目標(biāo)譜線其中包含眾多明顯峰以及不明顯的隱藏峰，這些峰的高低起伏影響到擬合光譜的準(zhǔn)確性；另一方面，由于相鄰波長間隔較小，且波峰波谷的起落較大，擬合曲線不能同時滿足較大的跳動程度。此外，380～550 nm波段內(nèi)使用了11種大功率單色LED，在450～550 nm誤差較大的波段使用的單色LED的半高全寬都比較大，說明在光譜變化比較陡峭的波段不適合使用半高全寬值較大的LED。進(jìn)而再看該波段內(nèi)的殘差圖，殘差值都分布在0.2 W·m-2·μm-1范圍內(nèi)，在460 nm左右的誤差較大，這是由于440～460 nm急劇上升的目標(biāo)光譜導(dǎo)致的。第二段為550～690 nm波段，該波段內(nèi)的散點分布比較均勻，沒有急促的上升或者下降，擬合的效果最好。另外從殘差圖可以看出，該波段內(nèi)的殘差也非常小，有的殘差逼近于0，說明擬合點和目標(biāo)點基本沒有誤差。在550～690 nm波段使用了7種單色的LED，并且這7種單色LED的半高全寬值較小，說明光譜變化平穩(wěn)的波段更適合使用半高全寬較小的單色LED，組合中LED的半高全寬越小越有利于呈現(xiàn)目標(biāo)光譜的細(xì)節(jié)變化。另外使用橙色600 nm半高全寬15 nm和紅色660 nm半高全寬16 nm的單色LED數(shù)量較多，但卻沒有影響到擬合的精度，說明擬合的精度并不會受使用的單色LED數(shù)量的影響。第三段為690～780 nm波段，該波段內(nèi)的散點分布比較密集，在750 nm處出現(xiàn)了聚堆的現(xiàn)象，且在760 nm處達(dá)到了最低的光譜輻射強(qiáng)度。由殘差圖分析可知，該波段的擬合情況居中，共使用了6種單色LED，使用最大的LED的波長值為780 nm。在762.5 nm擬合的誤差較大，達(dá)到了0.314 1 W·m-2·μm-1，由擬合的結(jié)果可知在760 nm AM1.5驟降，并且在767.5 nm又驟升，這種急促的驟降和驟升使擬合結(jié)果出現(xiàn)了較大的誤差。但是該程序為了保證整體擬合效果最佳，權(quán)衡了整體和局部的關(guān)系，以犧牲762.5 nm的部分細(xì)節(jié)來保證整體的擬合達(dá)到最優(yōu)。

接下來對標(biāo)準(zhǔn)光源CIE-D65[15]也進(jìn)行了擬合分析，在380～780 nm可見光范圍內(nèi)，每隔10 nm選一個散點作為目標(biāo)散點，由結(jié)果可知使用了25種大功率的單色LED，如表2所示，共用5種紫光、4種藍(lán)光、4種綠光、1種黃光、2種橙光、9種紅光。得出殘差平方和SSE為0.091 0，相關(guān)指數(shù)R2高達(dá)0.940 5。表2為模擬D65標(biāo)準(zhǔn)光源所用到的最優(yōu)的LED的峰值波長、半高全寬和擬合系數(shù)(P)。圖3和圖4分別為最優(yōu)解下的單色LED匹配標(biāo)準(zhǔn)光源D65的光譜圖和殘差圖。

采用的單色LED數(shù)據(jù)庫與AM1.5的相同，這一次的擬合指數(shù)高達(dá)0.940 5，說明目標(biāo)光譜的變化程度直接影響著擬合的準(zhǔn)確程度，且使用了25種單色LED，使用的單色LED的種類越多擬合精度越高。由殘差圖分析可知在380～500 nm波段的誤差比較大，在500～720 nm波段的誤差最小，在720～780 nm誤差居中。由誤差分析可知D65和AM1.5在450 nm左右的誤差都比較大，且在450 nm使用LED種類也相同，可能是單色LED峰值波長和半高全寬數(shù)據(jù)不全造成的。接下來為了驗證最佳組合的可靠性和可優(yōu)化性，進(jìn)行如下優(yōu)化分析實驗。

表2 最優(yōu)解的25種LED的組合比例Tab.2 Ratio of the 25 LED combinations of the optimal solution

圖3 D65與25種單色LED的光譜匹配圖Fig.3 Spectral matching diagram between D65 and 25 monochromatic LED

圖4 D65各波長處的殘差Fig.4 Residual plots of D65 wave strengths

5 優(yōu)化擬合實驗分析

最佳的單色LED組合雖然能很好地擬合AM1.5和標(biāo)準(zhǔn)光源D65，但是使用的單色LED種類較多，另外為了驗證最佳組合的可靠性和方案的可優(yōu)化性，分別在最佳組合中依次增加或減少單色LED的種類，每次增加或減少單色LED的種類為1種。增加試驗中添加的單色LED種類為隨機(jī)，但與最佳組合中已選用的單色LED種類不重復(fù)，減少試驗中，每次刪除擬合中對整體貢獻(xiàn)最小的單色LED，添加或減少LED后運(yùn)行優(yōu)化程序，得到相關(guān)指數(shù)與LED種類變化的關(guān)系見圖5。

在遞增實驗中，隨機(jī)增加不同種類的單色LED并沒有提高相關(guān)指數(shù)R2的值，說明在最優(yōu)解的條件下隨機(jī)增加單色LED并不能改變混合光譜對AM1.5光譜的擬合效果。在遞減實驗中，從24種單色LED減少到14種單色LED，LED種類數(shù)與相關(guān)指數(shù)R2符合Logit函數(shù)分布，而Logit函數(shù)模型可以預(yù)測模型和方案的準(zhǔn)確性，說明利用大功率單色LED模擬AM1.5方案是可行的。具體在遞減實驗中，當(dāng)減少的LED的種類較少時，對擬合的影響比較小。圖6中的(a)～(d)給出了在最優(yōu)的組合減少到22種、20種、17種、16種時，混合光譜對AM1.5擬合情況。從擬合結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)最佳組合的24種LED直到減少到19種時，擬合指數(shù)R2變?yōu)?.842 6，僅僅減小了0.007 6，擬合情況基本與最優(yōu)解相近，能很好地呈現(xiàn)目標(biāo)光譜的細(xì)節(jié)變化。但是在接下來19種繼續(xù)往下減時，每減少一種單色LED，R2的值都有明顯的降低，最嚴(yán)重的是從17種減少到16種時，R2的值從0.618 2下降到0.394 1,下降了0.224 1。而且在16種LED以后，擬合的相關(guān)指數(shù)R2只有0.35左右，已經(jīng)不能很好地擬合AM1.5，混合光譜只能在整體的變化趨勢上滿足AM1.5光譜，對目標(biāo)光譜沒有呈現(xiàn)任何的細(xì)節(jié)變化。對比這幾種擬合情況還可以發(fā)現(xiàn)在540 nm和760 nm的擬合情況都不好，殘差值都比較大，綜合本方案考慮，本方案為了滿足整體的擬合效果最好，權(quán)衡整體和局部的關(guān)系，犧牲部分細(xì)節(jié)處來保證整體擬合效果最好。

圖5 遞增和遞減實驗中相關(guān)指數(shù)與LED種類變化的關(guān)系Fig.5 Relationship between correlation index and species variation of LED in increasing and descending experiments

圖6 遞減實驗中不同組合擬合AM1.5光譜圖Fig.6 AM1.5 spectra of different combinations in the descending experiment

仿真實驗結(jié)果表明：雖然市場上的大功率單色LED還存在著部分波長的缺失，大功率LED的數(shù)據(jù)庫還不夠完善，受制造水平的限制也不能制造出任意半高全寬的單色LED，但仿真結(jié)果表明應(yīng)用現(xiàn)有的單色LED峰值波長和半高全寬的數(shù)據(jù)庫已經(jīng)可以很好地模擬出AM1.5標(biāo)準(zhǔn)太陽光譜和D65標(biāo)準(zhǔn)光源，這對今后進(jìn)行人工健康照明和植物生長補(bǔ)光有著重要的意義。

6 結(jié) 論

本文主要從工程實踐的角度出發(fā)，調(diào)研了Epitex公司的大功率單色LED的峰值波長和半高全寬的數(shù)據(jù)。將得到的大功率單色LED峰值波長和半高全寬數(shù)據(jù)做成一個數(shù)據(jù)庫。利用修正的高斯模型作為擬合模型，求出單個LED擬合數(shù)據(jù)，將目標(biāo)的AM1.5和標(biāo)準(zhǔn)光源D65的光譜輻照度作為目標(biāo)散點，最后將相關(guān)指數(shù)R2最大作為優(yōu)化目標(biāo)，通過有效集算法控制擬合的系數(shù)為非負(fù)，利用MATLAB軟件編程來求解超定方程組，求出R2最大時的最小二乘解(即為最優(yōu)的單色LED種類組合)。得出了最優(yōu)解下的擬合圖形和殘差圖；在擬合優(yōu)化實驗中增加和減少單色LED的種類，得出了不同的擬合圖形，其主要結(jié)論如下：

(1)采用現(xiàn)有的單色大功率LED可以實現(xiàn)對目標(biāo)光譜AM1.5和標(biāo)準(zhǔn)光源D65很好的擬合。在擬合AM1.5中最佳組合包含24種不同種類的LED，擬合得到的相關(guān)指數(shù)達(dá)到了0.850 2，在擬合標(biāo)準(zhǔn)光源D65中最佳組合包含25種不同種類的LED，擬合的相關(guān)指數(shù)高達(dá)0.940 5。通過擬合圖形和殘差圖對AM1.5進(jìn)行分段分析，得到在光譜變化比較平穩(wěn)的波段適合半高全寬較小的LED，在光譜變化比較陡峭的波段不適合半高全寬較大的LED。

(2)為了驗證方案的可行性和可優(yōu)化性，對擬合方案進(jìn)行了優(yōu)化分析，通過增加和減少LED實驗看出不同的單色LED種類決定了擬合效果的好壞。增加實驗中，增加最優(yōu)組合以外的單色LED并不能提高擬合指數(shù)。在減少實驗中，當(dāng)LED種類從24種減少到19種時，R2值變?yōu)?.842 6，僅僅減小了0.007 6；在從17種減少到16種LED時，R2的值從0.618 2下降到0.394 1，此時16種單色LED已經(jīng)不能很好地擬合出目標(biāo)光譜。優(yōu)化實驗中，LED種類數(shù)目與相關(guān)指數(shù)R2符合Logit函數(shù)分布，進(jìn)一步說明利用大功率單色LED模擬AM1.5方案是可行的。

在實際工程中，應(yīng)該根據(jù)實際的精度需要來調(diào)整LED的種類和數(shù)量，盡量只通過改變LED點亮的個數(shù)來調(diào)整擬合光譜，僅在必要時使用電流作為微弱的調(diào)整。頻繁地調(diào)整電流會使LED的溫度升高，會對擬合光譜的形狀造成很大的影響。本文使用的有效集算法在求解界約束優(yōu)化問題中具有高效性和收斂速度較快的特點，對大規(guī)模的支持向量機(jī)和高效算法有重要的意義。相信隨著科技的進(jìn)步，基于LED的類日光照明技術(shù)將越來越完善，能更好地滿足人類日常生活和生產(chǎn)的需要。

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