陳雅豪,梅春暉,費為銀

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

最優(yōu)消費投資問題是金融學(xué)研究的重要方向之一.1969年,Merton[1]就連續(xù)時間情形下最優(yōu)投資選擇問題進(jìn)行了研究.隨后,Merton[2]在1971年通過引入伊藤引理和隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃的基本定理,發(fā)表了關(guān)于不確定性情形下最優(yōu)連續(xù)時間動態(tài)模型的文章,并建立了經(jīng)典的消費和投資模型.

此后,國內(nèi)外學(xué)者擴(kuò)展了Merton的研究.代理人用于基本生存需求的消費具有基本的意義,因為人只有維持生命的存在,才可能追求未來的發(fā)展.故在Merton經(jīng)典的消費和投資模型基礎(chǔ)上考慮加入生存消費等約束條件有現(xiàn)實意義.Gong和Li[3]在帶有生存消費約束的動態(tài)消費和資產(chǎn)分配模型中,借助動態(tài)規(guī)劃原理研究了通脹指數(shù)債券的作用,在CRRA效用函數(shù)下,推導(dǎo)出最優(yōu)消費和投資的顯示解,并且代理人投資于風(fēng)險資產(chǎn)的意愿與風(fēng)險偏好及股權(quán)溢價有關(guān).

針對現(xiàn)在的金融問題,單單利用Merton模型已經(jīng)無法較好地進(jìn)行解釋,于是一些學(xué)者逐步將現(xiàn)實因素以及市場的不確定因素考慮進(jìn)來，比如考慮帶有閑暇、勞動收入、退休選擇等因素的最優(yōu)消費投資問題研究.由于人們的平均壽命相比以前有了明顯的增長,不言而喻,個體為自身退休而進(jìn)行投資的需求就變得日益重要.Farhi[4]等在勞動閑暇框架下研究了最優(yōu)消費、投資組合與退休選擇問題,得到在提前退休情形下的投資者往往會增加儲蓄并減少代理人的有效相對風(fēng)險厭惡.Choi[5]等研究了一個無限壽命的代理人自愿退休的最優(yōu)消費-閑暇及投資組合問題,利用對偶方法得到退休時的臨界財富水平以及最優(yōu)投資策略的閉型解.Lee[6]等研究了帶有生存消費約束的最優(yōu)消費、投資與自愿退休選擇問題,運用動態(tài)規(guī)劃方法得到了顯式解.

然而,現(xiàn)如今通貨膨脹已成為世界各國普遍存在的經(jīng)濟(jì)問題,面對其帶來的壓力,代理人考慮通貨膨脹對消費投資的影響勢在必行.國內(nèi)外學(xué)者在通脹環(huán)境下對最優(yōu)消費和投資選擇問題也做出了大量研究.Brennan[7]等研究了通脹下動態(tài)投資組合最優(yōu)化問題,運用鞅方法給出了最優(yōu)投資策略的閉型解.Lim[8]研究了通脹風(fēng)險和生存約束條件下的最優(yōu)投資組合選擇問題,定量分析了通脹風(fēng)險和生存約束對最優(yōu)策略的影響.費為銀[9]等在遞歸效用的情形下,考慮投資者帶通脹的最優(yōu)消費和投資問題,利用動態(tài)規(guī)劃的思想,獲得了最優(yōu)消費與投資策略.Kwak[10]等研究了通貨膨脹風(fēng)險下一個家庭連續(xù)時間內(nèi)的最優(yōu)消費、投資和人壽保險決策問題,分析了參數(shù)對最優(yōu)策略的影響.

通過上述文獻(xiàn)綜合分析發(fā)現(xiàn)，研究者只是單單將實際問題如生存消費約束或退休選擇考慮到最優(yōu)消費和投資問題當(dāng)中，或者只考慮了通貨膨脹并沒有將其結(jié)合起來,研究的創(chuàng)新在于將通脹因素、生存消費約束、通脹指數(shù)債券與退休選擇結(jié)合起來,基于現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上考慮通脹因素,對現(xiàn)有的模型進(jìn)行進(jìn)一步推廣,利用動態(tài)規(guī)劃方法得到消費和投資策略的閉型解.并進(jìn)行數(shù)值模擬,分析通脹波動率對于代理人最優(yōu)消費、投資選擇的影響,給出合理的經(jīng)濟(jì)解釋,使得模型更加符合實際.

1 基本模型

首先,假設(shè)市場中有三種金融資產(chǎn):無風(fēng)險債券,通脹指數(shù)債券和風(fēng)險資產(chǎn)(股票),并且投資者必須選擇投資在各種資產(chǎn)的金額.

式中，R是無風(fēng)險債券的名義利率；μs是風(fēng)險資產(chǎn)的平均回報；σs是風(fēng)險資產(chǎn)收益的波動率；Zt是概率空間(Ω,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

在許多情況下,通脹率的典型指標(biāo)可以用CPI(消費價格指數(shù))來表示,而消費價格指數(shù)可以視為一個價格水平過程如下:

式中，μp是預(yù)期通脹率；σp>0是波動率；Wt是不同于Zt的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.假定R、μp、μs、σp和σs為常數(shù).因為存在兩種不同的風(fēng)險源,并且兩種資產(chǎn)各包含一種風(fēng)險,所以市場是完備的.在我們的金融模型中,投資者可以通過投資指數(shù)債券來對沖通脹風(fēng)險.假設(shè)Wt和Zt的相關(guān)系數(shù)為ρ(-1<ρ<1),即d〈W,Z〉t=ρdt,那么存在一個與Zt互相獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動Ut,且滿足

{Ft}t≥0是由標(biāo)準(zhǔn)布朗運動{Zt,Ut}生成的自然流在概率測度P下的擴(kuò)張.

通脹指數(shù)債券滿足如下隨機(jī)過程：

其中r表示真實利率.

設(shè)Xt是代理人在時刻t的真實財富量,則實際財富過程由下列等式演變：

然后根據(jù)伊藤公式,得

(1)

2 優(yōu)化問題

現(xiàn)考慮代理人僅在退休前受到生存消費約束,以q>0表示一個退休前正的生存消費水平,代理人的目標(biāo)是使消費的預(yù)期折現(xiàn)效用最大化,并有如下約束:ct≥q,對于所有0≤t≤τ.

(2)

其中,

而δ>0是代理人的主觀折現(xiàn)率,l>0是代理人的勞動負(fù)效用常量,U(·)是經(jīng)典Merton問題的值函數(shù),由下式給出：

其中K是Merton常數(shù),定義為：

假設(shè)1 為了保證優(yōu)化問題(2)有定義,作出如下標(biāo)準(zhǔn)的假定:K>0

3 模型的解

對于t<τ,值函數(shù)V(x)的HJB方程為

(3)

V(x)=U(x).

(4)

通過消費/投資組合過程的HJB方程(3)的一階條件,有

c*=[V′(x)]-1/γ,

(5)

(6)

將式(5)與式(6)代入HJB方程(3)得

(7)

為了后文使用,定義兩個二次代數(shù)方程如下:

(8)

(9)

其中f(α)有兩個實根α1和α2滿足α1>1>α2>0并且g(β)=0有兩個實根β1和β2滿足β1>0,β2<-1,并且兩個代數(shù)方程根之間的關(guān)系如下：

采用文獻(xiàn)[27]三氯化鐵-鐵氰化鉀試劑法對20%vol和72%vol紅棗白蘭地的致濁物進(jìn)行定性分析，實驗結(jié)果，均呈現(xiàn)明顯的藍(lán)色斑點。表明致濁物中含有酚類物質(zhì)，所得結(jié)果與紅外吸收光譜相吻合。

(10)

定理1 優(yōu)化問題(2)的值函數(shù)V(x)為

其中

(11)

(12)

與此同時,

(13)

(14)

證明 相應(yīng)的證明類似于參考文獻(xiàn)[6]中定理4.2的證明方法.證畢.

定理2 最優(yōu)策略(c*,π*,τ*)分別為

并且,

其中ξt是以下代數(shù)方程的解

證明根據(jù)HJB方程(3)的一階條件、式(6),以及定理1中的值函數(shù)V(x),可以得出最優(yōu)策略.另由式(14),可得代理人在時刻t的財富水平Xt.證畢.

4 數(shù)值模擬

為了更好地理解財富水平和通脹因素對投資者的最優(yōu)消費和投資組合選擇的影響,在本節(jié)中,結(jié)合定理2,在給定參數(shù)取值的基礎(chǔ)上,通過Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,具體分析如下.通脹波動率σp對最優(yōu)投資π2的影響如圖1所示.設(shè)定的參數(shù)為w=0.4,l=0.8,q=0.05.r=0.03,R=0.03,δ=0.07,μs=0.09,σs=0.2,μp=0.035.研究通脹波動率對最優(yōu)投資的影響.

圖1a與圖1b表示代理人在最低生存消費的狀態(tài).圖1a表示ρ為正數(shù)時的情形.由圖1a可知，隨著通脹波動率的增長,會刺激并活躍市場,代理人會借貸資金并且增加在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資;之后隨著通脹波動率不斷增大,市場環(huán)境惡化,代理人會放緩借貸投資的步伐,逐漸減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資.圖1b表示ρ為負(fù)數(shù)時的情形.由圖1b可知，隨著通脹波動率的增長,因為此時不可預(yù)期風(fēng)險資產(chǎn)收益與通脹風(fēng)險之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān),所以投資者會減少借貸,并減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資,為了緩解由于過高的通脹風(fēng)險可能帶來的損失.由于此段最優(yōu)投資不受相對風(fēng)險厭惡系數(shù)γ的影響，故圖形中只有一條曲線.

圖1c與圖1d表示在退休之前的狀態(tài).圖1c表示ρ為正數(shù)時的情形.由圖1c可知，首先,當(dāng)通脹波動率在可控范圍附近變動時,一定程度上規(guī)避由于通貨膨脹所帶來的財富購買力下降的不利情況，代理人會增加在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資，然而當(dāng)通脹波動率較大時,投資環(huán)境不確定性增強,從而投資在風(fēng)險資產(chǎn)上的頭寸慢慢減少,呈現(xiàn)出下降趨勢.另外,對于圖1c中3種不同的曲線,分別對應(yīng)于相對風(fēng)險厭惡系數(shù)為(γ=2,γ=3,γ=4),其它參數(shù)相同的情況下,當(dāng)相對風(fēng)險厭惡系數(shù)越大時,對于風(fēng)險厭惡的投資者會減少風(fēng)險資產(chǎn)上的頭寸,這是理性的做法.圖1d表示ρ為負(fù)數(shù)時的情形.由圖1d可知，同樣的從去趨勢上看,隨著通脹波動率的增長,經(jīng)濟(jì)代理人在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資迅速增加,之后隨著通脹波動率的繼續(xù)增大,代理人在風(fēng)險資產(chǎn)的投資頭寸不是趨于平緩了,而是以較快的速度減少.導(dǎo)致這種情況的原因是:一方面,還是因為通脹波動率的持續(xù)增大,會讓投資者對金融市場表現(xiàn)出更多的擔(dān)憂,從而會理性的做出投資決定——減少風(fēng)險資產(chǎn)頭寸;另一方面,因為此時不可預(yù)期風(fēng)險資產(chǎn)收益與通脹風(fēng)險之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān),所以投資者會減少風(fēng)險投資,為了減少由于過高的通脹風(fēng)險帶來的損失.在這兩方面的作用下，因此當(dāng)通脹波動率越來越大時,風(fēng)險頭寸減少的速度較正相關(guān)情況下更加迅速.

圖1e與圖1f表示在退休后的狀態(tài).圖1e表示ρ為正數(shù)時的情形.由圖1e可知，隨著通脹波動率的增長,代理人會一直增加在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資,這是因為代理人退休后已經(jīng)擁有足夠的資金,并可以通過投資風(fēng)險資產(chǎn)來獲取一定的收益.當(dāng)通脹波動率過大,投資環(huán)境惡化,從而代理人在風(fēng)險資產(chǎn)上的頭寸增加趨于平緩.圖1f表示ρ為負(fù)數(shù)時的情形.由圖1f可知，隨著通脹波動率的增長,代理人會一直減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資,由于此時不可預(yù)期風(fēng)險資產(chǎn)收益與通脹風(fēng)險之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān),另外加上退休后投資者的心理更希望擁有穩(wěn)定的投資收益，更加不愿意去冒著風(fēng)險進(jìn)行投資,所以減少在風(fēng)險資產(chǎn)上的頭寸,轉(zhuǎn)而投資收益較穩(wěn)定的無風(fēng)險資產(chǎn).

圖1 通脹波動率σp對最優(yōu)投資π2的影響

通脹波動率σp對最優(yōu)消費Ct的影響如圖2所示.在圖2中,設(shè)定的參數(shù)為w=0.4,l=0.8,q=0.05.ρ=0.03,r=0.03,R=0.03,δ=0.07,μs=0.09,σs=0.2,μp=0.035.研究通脹波動率對最優(yōu)消費的影響.在圖2中若考慮相關(guān)系數(shù)ρ是負(fù)數(shù),最優(yōu)消費呈現(xiàn)出的趨勢與正相關(guān)時一致.故這里給出相關(guān)系數(shù)是正數(shù)的情況.

圖2a表示代理人在最低生存消費的狀態(tài),因為代理人一直維持著最低生存消費,所以消費水平一直不變.由于此段最優(yōu)消費不受相對風(fēng)險厭惡系數(shù)γ的影響,故圖形中只有一條曲線.

圖2b表示代理人在退休前的狀態(tài),結(jié)合圖1c,通脹波動率在一開始的合理范圍內(nèi),有著刺激投資的作用,那么代理人更加愿意把較多的資產(chǎn)投資在風(fēng)險資產(chǎn)上進(jìn)行增值保值;另一方面,從投資者心理上考慮,由于通脹的出現(xiàn),導(dǎo)致貨幣購買力下降,這時會降低投資者的消費欲望,從而使得消費減少.之后當(dāng)通脹波動率不斷增大時,投資者的消費不會進(jìn)一步減少,而是隨著通脹波動率的增長，投資者對于這種因素帶來的不確定性的承受能力漸漸提升,并不會因為一點點的波動就會很迅速地改變自己的決策,更有一種持觀望態(tài)度在里面,緩慢增加消費漸漸的去適應(yīng)當(dāng)前的市場環(huán)境,以期能夠在這種市場中做出更加正確的決策.另外,對于圖2b中3種不同的曲線,分別對應(yīng)于相對風(fēng)險厭惡系數(shù)(γ=2,γ=3,γ=4).其他參數(shù)相同的情況下,這個階段的投資者對于投資是很小心的,處于一種高風(fēng)險厭惡的狀態(tài),所以當(dāng)相對風(fēng)險厭惡系數(shù)越大時,投資風(fēng)險資產(chǎn)的頭寸就會變少,相應(yīng)的消費就會增多.

圖2c表示代理人在退休后的狀態(tài).由圖2c可知，一開始由于通脹波動率的增加,購買力下降,消費呈現(xiàn)下降趨勢;隨著通脹波動率的繼續(xù)增加,消費呈現(xiàn)增加趨勢,這是因為代理人對于購買力下降這種現(xiàn)象的承受能力也在持續(xù)增長,因此對消費的態(tài)度并不會像開始時那般抗拒,再者退休后代理人已經(jīng)累積了足夠的財富,從而有充足的資金用于消費.另外,對于圖2c中3種不同的曲線,分別對應(yīng)于相對風(fēng)險厭惡系數(shù)(γ=2,γ=3,γ=4).風(fēng)險厭惡系數(shù)越大,代理人更加不愿意把資產(chǎn)用于消費,因為通貨膨脹最直觀的影響就是貨幣貶值購買力下降,此時更加穩(wěn)妥的辦法是可以將資產(chǎn)用于無風(fēng)險債券來保障最基本的收益以及防范未來的風(fēng)險.

圖2 通脹波動率σp對最優(yōu)消費Ct的影響

圖3 通脹波動率對最優(yōu)退休時間的影響

5 小結(jié)

將通脹因素、生存消費約束、通脹指數(shù)債券與退休選擇結(jié)合起來,是一類具有理論與現(xiàn)實研究價值的投資組合問題.研究在通脹環(huán)境下建立模型,并利用隨機(jī)分析推導(dǎo)真實環(huán)境下的財富過程,這更符合當(dāng)前的金融市場,具有現(xiàn)實意義.借助動態(tài)規(guī)劃方法和隨機(jī)控制理論,得出了投資者的最優(yōu)消費投資與退休策略.研究發(fā)現(xiàn)存在一個臨界財富水平,當(dāng)投資人的財富達(dá)到該臨界水平時,選擇退休.這在直觀上也是很吸引人的,因為隨著代理人的財富水平提高,閑暇較之收入更加重要.并且在研究最后通過數(shù)值分析分別考慮了通脹波動率和財富水平對經(jīng)濟(jì)代理人最優(yōu)消費、投資的影響.結(jié)果表明,適當(dāng)?shù)耐洸▌勇视欣诮?jīng)濟(jì)發(fā)展,使得投資者投資的積極性增強;然而隨著通脹波動率持續(xù)增長,經(jīng)濟(jì)環(huán)境逐漸惡化,投資者對于投資風(fēng)險資產(chǎn)會產(chǎn)生更多的擔(dān)憂,不愿意繼續(xù)進(jìn)一步增加投資,反而會慢慢地減少投資來預(yù)防通脹風(fēng)險可能帶來的損失.因此,探討通貨膨脹環(huán)境下,代理人帶有生存消費約束的最優(yōu)消費、投資與退休決策具有一定的實際經(jīng)濟(jì)意義和理論價值,研究結(jié)果可以為投資者提供參考.

研究是在前人工作的基礎(chǔ)上考慮通脹因素.在研究中考慮加入通脹指數(shù)債券對沖投資風(fēng)險,更加貼近現(xiàn)實,具有現(xiàn)實的經(jīng)濟(jì)意義.另外,由于近年來在許多學(xué)者考慮通脹服從均值回復(fù)過程的最優(yōu)投資組合策略問題，所以將原模型推廣到到均值回復(fù)通脹環(huán)境中也是一個值得研究的方向.

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