淺談微分中值定理在證明中的應(yīng)用

李娜

摘 要 本文結(jié)合幾道有關(guān)中值定理方面的典型例題，針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)的分析，從三個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)和歸納。

關(guān)鍵詞 微分中值定理 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：O172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.02.025

Application of Differential Mean Value Theorem in Proof

LI Na

（Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract In this paper， some typical examples of the mean value theorem are discussed， and the difficulties in learning are analyzed in detail and summarized from three aspects.

Keywords differential mean value theorem； rolle's theorem； lagrange's mean value theorem； cauchy mean value theorem； construction method

在“高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課中，微分中值定理是微分學(xué)部分應(yīng)用的基礎(chǔ)，是用微分法研究函數(shù)性態(tài)的重要工具，是從研究函數(shù)的局部性質(zhì)到研究函數(shù)的整體性質(zhì)的橋梁，因此能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用微分中值定理就顯得尤為重要。

微分中值定理是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理等的統(tǒng)稱，利用微分中值定理可以證明方程根的存在性，證明等式或不等式的成立。由于它的應(yīng)用難度較大，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容時(shí)一頭霧水，下面從幾個(gè)方面對(duì)微積分定理在證明中的應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)的分析。

1 利用中值定理證明方程根的唯一性

例 證明方程有且只有一個(gè)小于1的正根。

析 “有”表示方程的根存在，需用到零點(diǎn)定理，“只有一個(gè)”表示方程的根是唯一的，需用到羅爾定理來(lái)做。

證 （1）存在性 令，則在[0，1]上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理可知， （0，1），使得。

即是方程的小于1的正根。

（2）唯一性（反證法） 設(shè)方程另有一根（0，1），且使得。不妨設(shè)，由于在上滿足羅爾定理的條件，至少存在一個(gè)，使得。這與矛盾。

故方程有且只有一個(gè)小于1的正根。

2 利用中值定理證明等式的成立

例 證明恒等式，。

析 要想證明該等式成立， 需分兩步來(lái)證：首先需證等式左邊的函數(shù)是一個(gè)常值函數(shù)，然后證明這個(gè)常數(shù)就是等式右邊的數(shù)值。

證 設(shè)，則

。由拉格朗日中值定理的推論可知， 。又因當(dāng)時(shí)，，故，。

例 設(shè)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，證必有一點(diǎn)，使得。

析 要使成立，即需成立。變形得，即。因此需要構(gòu)造輔助函數(shù)，利用羅爾定理來(lái)進(jìn)行證明。

證 設(shè)，則在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且（0）=（1）=0，由羅爾定理可知（0，1）， 使得。又因，得，也即成立。

例 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在一點(diǎn)，使得。

析 所證結(jié)論可看作

，也即。故需利用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明。

證 設(shè)，在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理可知，使得。又因，得，得證。

例 設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在一點(diǎn)，使得

析 要證，即證。因此需設(shè)，利用柯西中值定理進(jìn)行證明。

證 設(shè)，則均在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。。由柯西中值定理可知，，使得。

代入整理即得，即，證畢。

3 利用中值定理證明不等式的成立

例 證明不等式 成立。

析 對(duì)于此類的不等式，一般都是從中間項(xiàng)入手，結(jié)合拉格朗日中值定理進(jìn)行證明。之所以可以用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明不等式的成立，主要是因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ淼慕Y(jié)論中含有不確定的。

證 設(shè)則在[0， ]上連續(xù)，在（0， ）內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理可知， ，使得。又因 。即。

又，成立。

例 設(shè)在（a，b）內(nèi)，試證：對(duì)于（a，b）內(nèi)的任意2個(gè)不同點(diǎn)，有。

析 一般來(lái)說(shuō)，題設(shè)條件中具有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)時(shí)，往往需要應(yīng)用泰勒公式（介于和之間）來(lái)證。

證 將在處展開(kāi)，得

，其中介于和之間。

上式中分別取及，得

上面兩式相加，得

由于，故。

即成立。

注 若題中條件改為，而其余條件不變，則結(jié)論改為。

微分中值定理的應(yīng)用是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，因此在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，需要學(xué)生去多多觀察。用心體會(huì)，化難為易，便會(huì)收獲滿滿。

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