[美] 達(dá)納·麥肯齊

1加1等于2，這或許是所有公式中最基本的一個(gè)。簡(jiǎn)單明了、亙古不變、毋庸置疑……但究竟是誰(shuí)第一個(gè)寫(xiě)下了這一公式？它與其他的算術(shù)公式來(lái)自何方？我們?nèi)绾沃浪鼈兪钦_的？這些問(wèn)題的答案其實(shí)遠(yuǎn)非一目了然。

令人驚訝的一點(diǎn)是，古代數(shù)學(xué)中有關(guān)加法討論的證據(jù)不多。人們發(fā)現(xiàn)的巴比倫陶土?xí)搴桶＜凹埳菸墨I(xiàn)中充斥著乘法與除法表，但卻沒(méi)有加法表，也沒(méi)有“1十1=2?？瓷先?，加法是太明顯的事實(shí)，用不著什么解釋，而乘法和除法的情況則不同。

原因之一或許是在許多文化中使用較為簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。例如，在埃及，人們把一個(gè)像324這樣的數(shù)字寫(xiě)成三個(gè)“一百”的符號(hào)、兩個(gè)“十”的符號(hào)和四個(gè)“一”的符號(hào)。要把兩個(gè)數(shù)字相加，人們就把它們所有的符號(hào)放置在一起，必要時(shí)把十個(gè)“一”換成一個(gè)“十”，以此類推。

這跟我們現(xiàn)在不時(shí)地把零錢(qián)放到一起，然后用較大面額的紙幣置換較小面額的錢(qián)幣非常相似。誰(shuí)也不需要記住1十1=2，因?yàn)閨和|的和顯然就是||。

在古代中國(guó)，算術(shù)計(jì)算是在算盤(pán)的某種前身——“計(jì)算板”上進(jìn)行的，其中用小棒為個(gè)、十、百等數(shù)位計(jì)數(shù)。同樣，加法就是直接把恰當(dāng)數(shù)目的小棒合并到一起，必要時(shí)進(jìn)位到下一欄。沒(méi)什么需要記憶的。然而乘法表（九九表）就是另一碼事了。這是一個(gè)重要的工具，因?yàn)槌朔?×9=72要比把9個(gè)8加起來(lái)快。

1十1 = 2

對(duì)此一個(gè)簡(jiǎn)單的解釋是在數(shù)軸上，2是1右面的下一個(gè)數(shù)字。然而，自20世紀(jì)早期以降，邏輯學(xué)家們更愿意通過(guò)集合論定義自然數(shù)。于是這公式的大體意思就是任何兩個(gè)不相交的只有一個(gè)元素的集合的并集是一個(gè)有兩個(gè)元素的集合。

另外一個(gè)觀念上極其重要的差別是，沒(méi)有任何一種古代文化，無(wú)論是巴比倫文化、埃及文化、中國(guó)文化或者任何其他文化有著與我們今天的現(xiàn)代概念完全一樣的“等式”的概念。

人們用一般的詞語(yǔ)寫(xiě)成的句子或者一些步驟來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)上的想法。

因?yàn)椋J(rèn)為某種文化“了解”某個(gè)等式或者另一種文化不了解這一等式，這種說(shuō)法不大靠得住。

現(xiàn)代形式的等式是在一段一千多年的時(shí)期中逐步產(chǎn)生的。在公元250年前后，亞歷山大港的丟番圖開(kāi)始使用一個(gè)字母的縮寫(xiě)（或以數(shù)學(xué)歷史學(xué)家的語(yǔ)言說(shuō)，即“縮略”標(biāo)記法），來(lái)代替經(jīng)常使用的詞如“和”“積”等等。用x與y這樣的字母來(lái)代表未知數(shù)量的想法很久以后才出現(xiàn)在歐洲，大約時(shí)間為16世紀(jì)后期。

而等號(hào)這個(gè)今天實(shí)際上每個(gè)等式中都有的成分則直到1557年才第一次出場(chǎng)亮相。

在羅伯特·雷科德所著《勵(lì)志石》一書(shū)中，作者雄辯地解釋道：“而且，為了避免對(duì)‘等于這個(gè)詞的乏味重復(fù)，我建議，可以像我在工作中經(jīng)常做的那樣，用兩條等長(zhǎng)的平行孿生短線代替之，其形如===；因?yàn)檫@是比任何其他事物都更相等的東西。”（雷科德的原文用古體英語(yǔ)，其中“Gemowe”的意思是“孿生”。注意，雷科德的等號(hào)比我們今天用的長(zhǎng)得多。）

所以，盡管數(shù)學(xué)家?guī)浊陙?lái)都心照不宣地知道1十1=2，但直到16世紀(jì)的某一天為止，這一等式或許并沒(méi)有寫(xiě)成我們今天的形式。而且直到19世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們都一直沒(méi)有探究過(guò)我們相信這一等式的原因。

在整個(gè)19世紀(jì)中，數(shù)學(xué)家開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，他們的前輩過(guò)分經(jīng)常地依賴于一些隱藏的假定，而這些假定并不總是可以很容易地證明為真的（而且有時(shí)候是錯(cuò)誤的）。打破古代數(shù)學(xué)堅(jiān)冰的第一道裂縫出現(xiàn)于19世紀(jì)初葉，即非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

19世紀(jì)晚期，更具哲學(xué)傾向的數(shù)學(xué)家如利奧波德·克羅內(nèi)克、朱塞佩·皮亞諾、大衛(wèi)·希爾伯特和伯特蘭·羅素等，開(kāi)始非常認(rèn)真仔細(xì)地檢查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。他們?cè)诳紤]：哪些東西是我們真正能夠確信無(wú)疑地知道的。我們是否能夠?yàn)閿?shù)學(xué)找到一套基本假定，并可以證明它們是自洽的呢？

德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克認(rèn)為，自然數(shù)1，2，3，……是上帝的恩賜。因此不言自明，像等式1十1=2這類算術(shù)定律是可靠的。但大部分邏輯學(xué)家反對(duì)他的觀點(diǎn)，他們認(rèn)為集合這一概念比整數(shù)更為基本。“1十1=2”這一陳述到底意味著什么？從根本上說(shuō)，這意味著，當(dāng)含有一個(gè)元素的集合與同樣含有一個(gè)元素的集合合并時(shí)，所得到的并集總是含有兩個(gè)元素。

但要讓這種說(shuō)法說(shuō)得通，我們就需要回答一連串新問(wèn)題，例如集合的意義是什么、有關(guān)集合我們知道些什么、為什么我們會(huì)知道這些，等等。

1910年，數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德與哲學(xué)家伯特蘭·羅素共同發(fā)表了一部題為《數(shù)學(xué)原理》的三卷本巨著。該書(shū)篇幅浩大、立論深?yuàn)W，很可能是試圖重鑄算術(shù)，將之歸為集合理論的一個(gè)分支。人們自然不會(huì)把這部書(shū)拿給一個(gè)八歲大的孩子看，以此向他解釋1十1=2的緣由。在第一卷洋洋362頁(yè)之后，懷特海德和羅素終于得到了一個(gè)命題，他們說(shuō)：“當(dāng)算術(shù)加法得到了定義，隨之便可以得出1十1=2的結(jié)論?！弊⒁?，他們其實(shí)還沒(méi)有解釋什么是加法。直到第二卷，他們才有空考慮這一問(wèn)題。定理“1十1=2”真正出現(xiàn)在第二卷的86頁(yè)。他們以幽默的筆觸在那里輕描淡寫(xiě)地寫(xiě)道：“上述命題偶爾會(huì)有用處?！?/p>

本文不擬在此嘲笑懷特海德和羅素，因?yàn)樵谂c集合論中出人意料的困難做斗爭(zhēng)的人們中，他們屬于兩位先驅(qū)者。例如，羅素發(fā)現(xiàn)，對(duì)集合的某些操作是不允許的，其中包括不可能定義一個(gè)“所有集合的集合”，因?yàn)檫@一概念會(huì)導(dǎo)致自相矛盾。這是在數(shù)學(xué)中從來(lái)都不允許的事情：某一陳述永遠(yuǎn)不會(huì)同時(shí)正確又同時(shí)錯(cuò)誤。

但這卻導(dǎo)致了另外一個(gè)問(wèn)題。羅素和懷特海德小心地避免了“所有集合的集合”可以導(dǎo)致的自相矛盾，但我們能不能完全肯定，他們的公理就不會(huì)把我們引向其他尚未發(fā)現(xiàn)的自相矛盾呢？

1931年，這一問(wèn)題的答案以令人驚訝的方式出現(xiàn)。當(dāng)時(shí)奧地利邏輯學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽(tīng)柊l(fā)表了一篇題為《試論〈數(shù)學(xué)原理〉中的形式上不可判定的陳述及相關(guān)系統(tǒng)》的論文，直指懷特海德和羅素著作之非。哥德?tīng)栕C明，永遠(yuǎn)無(wú)法證明任何足以推導(dǎo)算術(shù)規(guī)則的集合論規(guī)則是自洽的。換言之，總有可能在某一天，某人將就1+1=3提出一項(xiàng)完全有理有據(jù)的證明。不僅如此，這項(xiàng)可能性永遠(yuǎn)都會(huì)存在；只要我們把我們的算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就永遠(yuǎn)無(wú)法絕對(duì)保證我們使用的算術(shù)是自洽的。

其實(shí)，數(shù)學(xué)家們并沒(méi)有因?yàn)樗阈g(shù)有自相矛盾的可能性而寢食難安。一個(gè)可能的原因是，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家強(qiáng)烈地感覺(jué)到，數(shù)字，以及我們研究的大量其他數(shù)學(xué)創(chuàng)造物，都代表了超越了人類思維的客觀現(xiàn)實(shí)。如果是這樣，出現(xiàn)能夠證明1十1既等于2又等于3這類矛盾陳述的可能性就微乎其微。邏輯學(xué)家們將之稱為“柏拉圖主義者”的觀點(diǎn)。

“典型的數(shù)學(xué)家在工作日里是柏拉圖主義者，而在星期天是形式主義者?！狈评铡ご骶S斯和魯本·赫斯在他們1981年出版的《數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)》一書(shū)中這樣寫(xiě)道。換言之，當(dāng)我們必須做出正式陳述時(shí)，我們將不得不承認(rèn)，我們無(wú)法斷言數(shù)學(xué)中不存在矛盾；但我們不會(huì)因此而中斷我們的數(shù)學(xué)工作。

應(yīng)該補(bǔ)充的一點(diǎn)可能是，那些不是數(shù)學(xué)家的科學(xué)家在一周的每一天中都是柏拉圖主義者。他們從來(lái)沒(méi)有一刻懷疑過(guò)1+1會(huì)不等于2。而且他們這樣做或許自有道理。對(duì)算術(shù)自洽性的最佳辯護(hù)是：人類使用算術(shù)凡5000年，但我們還從來(lái)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)過(guò)任何矛盾之處。對(duì)算術(shù)的客觀性與普適性的最佳辯護(hù)是這一事實(shí)：當(dāng)任何其他語(yǔ)言、宗教或信仰系統(tǒng)相比，在穿越文化與實(shí)踐界限方面算術(shù)最為成功。

的確，搜尋地外生命的科學(xué)家經(jīng)常假定，我們能夠解碼的第一份來(lái)自地外世界的信息將以數(shù)學(xué)形式發(fā)送，因?yàn)閿?shù)學(xué)是最為廣泛接受的宇宙通用語(yǔ)言。

我們知道1十1=2，這是因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^(guò)普遍接受的集合論原理證明這一點(diǎn)，或者因?yàn)槲覀兪前乩瓐D主義者。但我們不知道我們知道這一點(diǎn)，因?yàn)槲覀儫o(wú)法證明集合論是自洽的。這或許就是當(dāng)那個(gè)八歲孩子問(wèn)我們“為什么”的時(shí)候我們所能給出的最好答案。（本文摘選自《無(wú)言的宇宙》）