集合論
- 實(shí)在論視角下的大基數(shù)
= κ。是當(dāng)代集合論研究中的一個(gè)重要領(lǐng)域。對(duì)大基數(shù)的研究開始于豪斯道夫（F.Hausdorff）對(duì)正則的極限基數(shù)的研究，他發(fā)現(xiàn)這樣的基數(shù)必須滿足κ=?κ，因此是直觀上相當(dāng)“大”的基數(shù)；又因?yàn)椤癦FC+存在這樣的基數(shù)”能證明ZFC一致，故而其一致性強(qiáng)度比ZFC 更強(qiáng)。2大基數(shù)有時(shí)并不指其為很“大”的一個(gè)基數(shù)，而單指它的一致性強(qiáng)度很強(qiáng)，例如0?。我們說(shuō)大基數(shù)A 比B 強(qiáng)，若在ZFC+A 中能證明ZFC+B 一致。隨著大基數(shù)理論的發(fā)展，大基數(shù)根據(jù)一致性強(qiáng)度形成了
邏輯學(xué)研究 2023年2期2023-05-22
- 《開天辟地：宇宙演化理論》
來(lái)又有了康托的集合論，數(shù)學(xué)家們十分興奮激動(dòng)，認(rèn)為數(shù)學(xué)第一次有了“基礎(chǔ)牢靠”的理論。然而，當(dāng)初康托的集合論對(duì)“集合”的定義太原始了，以為把任何一堆東西放在一起，只要它們具有某種簡(jiǎn)單定義的相同性質(zhì)，再加以數(shù)學(xué)抽象后，就可以叫作“集合”了。沒(méi)想到如此“樸素”的想法也會(huì)導(dǎo)致許多悖論，羅素悖論就是其中之一。因此，在這些悖論解決之后，人們便將康托原來(lái)的理論稱為“樸素集合論”。實(shí)際上，集合可以分為在邏輯上不相同的兩大類，一類（A）可以包括集合自身，另一類（B）不能包括自
全國(guó)新書目 2022年7期2022-09-21
- 解決集合論悖論的雷歇爾方案
——兼論解決集合論悖論的方法論
r）創(chuàng)立的樸素集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其在數(shù)學(xué)發(fā)展中作用重大。但在19 世紀(jì)末20 世紀(jì)初，一些悖論卻先后在其中被發(fā)現(xiàn)，主要包括布拉里-福蒂（C.Burali-Forti）的最大序數(shù)悖論、康托爾的最大基數(shù)悖論和羅素（B.Russell）提出的羅素悖論。學(xué)界一般將它們統(tǒng)稱為集合論悖論。由于集合論悖論的出現(xiàn)直接導(dǎo)致了人們對(duì)集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可靠性質(zhì)疑，進(jìn)而引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)。因此，解決悖論成為了集合論學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家以及邏輯學(xué)家的共同訴求?；羲诡D（L.Hors
邏輯學(xué)研究 2022年4期2022-04-06
- 哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論嗎？
統(tǒng)問(wèn)題對(duì)通常的集合論公理系統(tǒng)ZFC的獨(dú)立性，并提出了一個(gè)解決它（以及其他類似的獨(dú)立性問(wèn)題）的研究方略，即尋找新公理加強(qiáng)ZFC，從而確定連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的大小，后人稱之為“哥德爾綱領(lǐng)”（G?del’s Program）[1]。這個(gè)綱領(lǐng)指引了20 世紀(jì)70 年代以來(lái)集合論中的一大批實(shí)踐，特別是以武丁（Hugh Woodin）、斯蒂爾（John Steel）等人為代表的集合論加州學(xué)派的一系列重要工作和成果。在這些成果的激勵(lì)下，今天有很多人甚至認(rèn)為，“集合論已經(jīng)發(fā)展到了
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會(huì) 2021年2期2022-01-01
- 也論形式主義與多宇宙觀
等人關(guān)于公理化集合論的形式主義，形式主義在現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論中一直在場(chǎng)。然而，自從哥德爾的兩個(gè)不完全性定理的發(fā)現(xiàn)揭示希爾伯特形式主義原版的研究綱領(lǐng)不可實(shí)現(xiàn)，形式主義在嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)哲學(xué)討論中始終處于相對(duì)弱勢(shì)的地位。盡管如此，形式主義對(duì)數(shù)學(xué)工作者仍然有著強(qiáng)烈的吸引力，盡管這一吸引力主要來(lái)自可以回避進(jìn)一步的追問(wèn)。正如Reuben Hersh寫道：“典型的‘?dāng)?shù)學(xué)工作者’是工作日的柏拉圖主義者，又是星期日的形式主義者。”[1]集合論多宇宙觀（set-theoretic
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會(huì) 2021年2期2021-07-13
- 集合論公理的選擇：兩種路徑
上個(gè)世紀(jì)公理化集合論發(fā)展起來(lái)后，集合論的ZFC系統(tǒng)已經(jīng)得到了普遍認(rèn)可。與此同時(shí)，關(guān)于集合論新公理的討論也一直不曾停止①誠(chéng)然，一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)不需要新公理，但這個(gè)問(wèn)題不在本文討論的范圍內(nèi)。本文要討論的是，目前集合論新公理討論中的幾種選項(xiàng)與它們各自的理由。。哥德爾在其《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)》一文中提到：“康托的猜想必然或者為真或者為假，從今日已知公理得到的不可判定性僅能表明，這些公理沒(méi)有包含對(duì)這一事實(shí)（this reality）的完全描述……集合論公理絕沒(méi)
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會(huì) 2021年2期2021-07-13
- 模糊集合論對(duì)羅素悖論的解決
現(xiàn)引起了人們對(duì)集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑，甚至導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。一切后續(xù)的集合論研究都不能回避這個(gè)悖論，于是出現(xiàn)了ZF集合論(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合論(von Neumann-Bernays-G?del set tehroy)等公理化集合論來(lái)解決悖論，它們都對(duì)樸素集合論作出了修正。ZF集合論給出的方案是將能夠?qū)е裸Ｕ摰母爬ㄔ瓌t限制為分離公理，即將“如果φ(x)是一個(gè)性質(zhì)，那么就存在一個(gè)集合{x|φ(x)}”修
- 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)文化素質(zhì)課程教學(xué)探索
然[摘 要] 集合論知識(shí)在數(shù)學(xué)體系中具有基礎(chǔ)性地位，是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)各個(gè)專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的教學(xué)，對(duì)于提高學(xué)生的文化素質(zhì)具有重要意義。通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的課程教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用集合論的基本原理思考和分析所從事專業(yè)當(dāng)中涉及的問(wèn)題，并能夠用集合論知識(shí)中所蘊(yùn)含的邏輯思維方法提升工程實(shí)際中數(shù)學(xué)描述和表達(dá)的深度與廣度。[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)基礎(chǔ);集合論;文化素質(zhì);邏輯思維;教學(xué)實(shí)踐[基金項(xiàng)目] 2020年度北京理工大學(xué)教改重點(diǎn)項(xiàng)目“新形勢(shì)下信息與通信工程研究生教
教育教學(xué)論壇 2021年17期2021-06-25
- 模態(tài)邏輯的集合論語(yǔ)義與互模擬不變性
介紹模態(tài)邏輯的集合論語(yǔ)義，我們?cè)诩蟼鬟f閉包上解釋模態(tài)語(yǔ)言。第二部分定義從模態(tài)語(yǔ)言到集合論語(yǔ)言的翻譯，引入集合傳遞閉包之間的互模擬的概念。第三部分討論集合論語(yǔ)言與一階關(guān)系語(yǔ)言之間的一些聯(lián)系，這是第四部分證明刻畫定理的基礎(chǔ)。第四部分，將證明集合論語(yǔ)義下的刻畫定理，即一個(gè)一階集合論公式等價(jià)于某個(gè)模態(tài)公式的集合論翻譯當(dāng)且僅當(dāng)它在集合互模擬關(guān)系下不變。也就是，模態(tài)語(yǔ)言是一階集合論語(yǔ)言的集合互模擬不變片段，它是對(duì)van Benthem 刻畫定理的推廣。1 模態(tài)邏輯的
邏輯學(xué)研究 2021年1期2021-04-22
- 羅素悖論與羅素定理
0)一個(gè)幽靈在集合論中徘徊，這個(gè)幽靈就是羅素悖論.羅素悖論可以用以下公式表示：?y?x(x∈y?x?x)從這個(gè)公式來(lái)看，羅素悖論來(lái)自于集合論的一個(gè)常用語(yǔ)句.這個(gè)常用語(yǔ)句就是用屬于符號(hào)∈構(gòu)成的語(yǔ)句.由于集合論的所有表達(dá)式都離不開這個(gè)常用語(yǔ)句，所以集合論的所有表達(dá)式都會(huì)無(wú)一例外地受到羅素悖論的困擾.有人認(rèn)為，子集公理能夠從集合論中排除羅素悖論.子集公理可以用以下公式表示：?x?y?z(x∈y?x∈z∧p(x))但是，即使有了子集公理，羅素悖論仍然無(wú)處不在.因?yàn)?/div>
數(shù)理化解題研究 2021年12期2021-01-31
- 結(jié)構(gòu)主義是一種有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)嗎？
構(gòu)主義起源于對(duì)集合論基礎(chǔ)主義（set-theoretic foundationalist position）的批評(píng)。以一階邏輯為代表的現(xiàn)代謂詞邏輯起源于弗雷格（G.Frege）為數(shù)學(xué)尋找基礎(chǔ)的努力。而策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論（Zermelo-Fraenkel set theory），在某種意義上，起源于弗雷格邏輯主義的災(zāi)難——羅素悖論。自那以后，公理化集合論被廣泛接受為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。人們是在下述意義上稱公理化集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的。首先，幾乎所有的數(shù)學(xué)概念邏輯學(xué)研究 2020年4期2020-12-21
- 無(wú)窮小存在的證據(jù)與康托集合論的錯(cuò)誤
們首先引述康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義如下：康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義：如果存在函數(shù)y=f(x)為集合A→B的雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。康托集合論的基本觀點(diǎn)是一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等。而這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理，本文稱它為康托集合論的基本定理，現(xiàn)在我們把這個(gè)定理及其證明引述如下：康托集合論的基本定理：令a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。證明：數(shù)學(xué)大世界 2020年4期2020-12-18
- 論“民族精神家園”與“人類命運(yùn)共同體”文藝價(jià)值互約
，要么體現(xiàn)為“集合論”，但是在全球化時(shí)代，面對(duì)前所未有的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，一種基于“文明正義”和“命運(yùn)共同體”的“互約論”觀念“脫穎而出”。構(gòu)造“人類命運(yùn)共同體”作為全球治理的“中國(guó)方案”，必然要求精神建構(gòu)作為庇護(hù)和支撐，進(jìn)而必然要求文藝作為民族和人類生存的重要精神意識(shí)形式，在整個(gè)建構(gòu)事態(tài)中最大限度地展現(xiàn)其社會(huì)進(jìn)步驅(qū)動(dòng)能量。問(wèn)題的復(fù)雜性在于，傳統(tǒng)世界格局所顯形的垂直民族結(jié)構(gòu)與文明形態(tài)的非平等關(guān)系，導(dǎo)致民族精神建構(gòu)與人類精神建構(gòu)諸多知識(shí)沖突與意義緊張，因而也就延及文藝論壇 2020年1期2020-07-14
- 集合論多宇宙觀與形式主義
百多年前的公理集合論有著兩重身份（[22]）：其一，它是數(shù)理邏輯的四大分支之一1數(shù)理邏輯的另外三個(gè)主要分支是模型論、遞歸論以及證明論。，因此也是數(shù)學(xué)的一個(gè)專門領(lǐng)域；其二，常規(guī)數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象可以被表示為各種集合，所使用到的方法以及預(yù)設(shè)也可以溯源到集合論公理，概言之，許多數(shù)學(xué)命題可以被視為各種集合論公理系統(tǒng)2最典型的集合論公理系統(tǒng)是ZFC，此外，在研究中還會(huì)涉及到ZFC 的各種子系統(tǒng)、擴(kuò)張系統(tǒng)，甚至與ZFC 不一致的系統(tǒng)，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的邏輯學(xué)研究 2020年5期2020-04-13
- 康托和柯西究竟誰(shuí)對(duì)
們首先引述康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義如下：定義 如果存在函數(shù)y=f(x)為集合A →B 的雙射函數(shù)，那么集合A 和B 為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。前面已經(jīng)指出，康托集合論的基本觀點(diǎn)是，一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等，而這正是康托集合論的一個(gè)定理，本文稱這個(gè)定理為康托集合論的基本定理。現(xiàn)在，我們把這個(gè)定理及其證明引述如下：康托集合論基本定理 令a，b 為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b] 的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。證明：令數(shù)學(xué)大世界 2020年2期2020-03-07
- 數(shù)學(xué)確定性的喪失的原因
思想性的到來(lái)。集合論中每一個(gè)超無(wú)限的元素都對(duì)應(yīng)于有一個(gè)超無(wú)限的子集合的元素，它是無(wú)始無(wú)終的。數(shù)學(xué)元素從有限到無(wú)限，無(wú)可爭(zhēng)議。但是，到無(wú)限以外卻難以理解和想像，特別是延續(xù)的過(guò)程還是像從有限到無(wú)限一樣。從有限到無(wú)限的過(guò)程是自然的和連續(xù)的，無(wú)窮無(wú)盡的元素一點(diǎn)一點(diǎn)被歸納到其中，即使再多也無(wú)所謂。很難理解和想像同樣的過(guò)程在無(wú)限之上還能夠再繼續(xù)下去，并以超越無(wú)限的形式展現(xiàn)在我們的面前。我們相信能夠繼續(xù)這一過(guò)程的理由是存在子集合的元素不能夠和原集合元素建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系科教導(dǎo)刊·電子版 2020年22期2020-01-10
- 論“無(wú)窮事物”的定量認(rèn)知（Ⅷ） ——新、舊無(wú)窮集合論和數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中的三個(gè)不同特征
析理論”和“新集合論”的產(chǎn)生——我們將以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“第一、二、三代數(shù)學(xué)分析理論”（標(biāo)準(zhǔn)分析前的數(shù)學(xué)分析、標(biāo)準(zhǔn)分析、非標(biāo)準(zhǔn)分析）稱之為“現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析理論（舊數(shù)學(xué)分析理論）”，將以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的新數(shù)學(xué)分析理論稱之為“第四代數(shù)學(xué)分析理論”[1-6]，將以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮集合論稱之為“第一代無(wú)窮集合論（舊無(wú)窮集合論）”，將以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的新無(wú)窮集合論稱之為“第二代無(wú)窮集合論”[7-13].1 “半阿基米德性”研喀什大學(xué)學(xué)報(bào) 2020年3期2020-01-09
- 無(wú)窮性的悖論與公理集合論思想述略
列著述，建立了集合論，他首次引進(jìn)無(wú)窮集合的概念，并證明了實(shí)數(shù)集合的不可數(shù)性，創(chuàng)立“超窮數(shù)”理論，提出了自然數(shù)集的基數(shù)與實(shí)數(shù)集基數(shù)之間不存在中間基數(shù)的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”；為了將有窮集合的元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無(wú)窮集合，他以一一對(duì)應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念。證明了一般的N維空間可以與直線建立一一對(duì)應(yīng)。這一結(jié)果連他自己也感到莫名驚詫，他說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)了它，但簡(jiǎn)直不敢相信”?？低袪柹羁探沂玖藷o(wú)窮的本質(zhì)特性，從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)新分支的建立和發(fā)展。康托爾昭通學(xué)院學(xué)報(bào) 2019年5期2020-01-08
- 因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了不同種類的無(wú)窮大，他進(jìn)了精神病院
的一個(gè)核心——集合論打下了基礎(chǔ)。不過(guò)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們各種不適應(yīng)無(wú)窮大新品種的概念，他們各種嘲笑康托爾。同時(shí)期的數(shù)學(xué)家有多么不理解他的研究呢？比如，法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊這樣評(píng)價(jià)康托爾的集合論：“后世的人會(huì)把集合論看做一個(gè)人曾經(jīng)生過(guò)的一場(chǎng)病?！庇直热纾?881年哈勒·維騰貝格大學(xué)（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·海涅（Eduard Heine）去世后，康托爾推薦了三個(gè)數(shù)學(xué)家頂替他的位子視野 2019年19期2019-10-18
- 根據(jù)微積分理論來(lái)認(rèn)識(shí)康托集合論的錯(cuò)誤
會(huì) 張喜安康托集合論的基本觀點(diǎn)是：一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等。這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理，現(xiàn)在我們稱這個(gè)定理為康托集合論的基本定理，為了論述得方便，我們把這個(gè)定理及其證明引述如下：康托集合論的基本定理 令a，b為實(shí)數(shù)，并且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然y=f(x)為[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。這個(gè)定理表數(shù)學(xué)大世界 2019年23期2019-08-30
- 論集合論的模型
。1908年，集合論第一次被策梅洛（E.Zermelo）公理化，后經(jīng)過(guò)斯柯倫（T.Skolem）和弗蘭克爾（A.Fraenkel）的改進(jìn)，形成了ZF，在ZF的基礎(chǔ)上添加AC，就得到ZFC。公理化集合論ZFC的誕生，使得元數(shù)學(xué)成為可能，因?yàn)樗械臄?shù)學(xué)都能在ZFC中被形式化。元數(shù)學(xué)即對(duì)數(shù)學(xué)自身的研究。但是根據(jù)哥德爾（K.G?del）的不完全性定理，ZF或ZFC系統(tǒng)是不完全的，因此，對(duì)于我們抱有疑慮的公理AC或假設(shè)GCH，它們?cè)谛问较到y(tǒng)ZF或ZFC中的證明或證偽邏輯學(xué)研究 2019年1期2019-04-01
- 數(shù)學(xué)悖論發(fā)展概述
羅素發(fā)現(xiàn)的一個(gè)集合論悖論。羅素在解決集合論問(wèn)題時(shí)將集合分為兩種：第一種是自身元素的集合，第二種集合為不是自身元素的集合。接下來(lái)，假設(shè)S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x∣x ∈S}”。則S是否包含于S？如果假設(shè)S包含于S，則不符合題中x ∈S，所以S包含于S不成立；假設(shè)S不包含于S，于是就符合x ∈S，可推出S包含于S，但因?yàn)榧僭O(shè)中S不包含于S，與S包含于S矛盾，所以假設(shè)也不成立。在悖論提出后，人們紛紛尋找著解決的辦法，有些人希望對(duì)康托爾的集合論中國(guó)校外教育 2019年5期2019-01-31
- 康托集合論的錯(cuò)誤的證據(jù)
張喜安一、康托集合論的錯(cuò)誤的直接證據(jù)康托集合論的基本觀點(diǎn)為一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等，這個(gè)觀點(diǎn)即為康托集合論的一個(gè)定理，為了指出康托集合論的錯(cuò)誤的直接證據(jù)，現(xiàn)在將康托集合論的這個(gè)定理及其證明引述如下：定理 令a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。證明 令 f（x）=a+（b-a）x，顯然 f為 [0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c?？低姓J(rèn)為上述定理的證明數(shù)學(xué)大世界 2018年20期2018-11-30
- 范疇論對(duì)集合論的超越 ——“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”研究的比較分析
供了堅(jiān)固保障。集合論對(duì)數(shù)學(xué)概念的統(tǒng)一解釋奠定了其在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的核心地位，范疇論對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋啟發(fā)了新的基礎(chǔ)研究思路，撼動(dòng)了ZFC*策梅洛-弗蘭克爾的公理化集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory)，包含選擇公理(AC)時(shí)記為ZFC。長(zhǎng)期以來(lái)的基礎(chǔ)定位。那么范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)是什么？范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有怎樣的研究特點(diǎn)？根據(jù)研究性質(zhì)，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能否充分地闡釋集合論？以這些問(wèn)題為契機(jī)，我們可以分析范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)于集合論數(shù)學(xué)山西大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版） 2018年2期2018-05-09
- 集合悖論再議
論文,標(biāo)志著《集合論》的創(chuàng)立。1900年,希爾伯特在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上說(shuō),“集合論是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”。然而,1903年，羅素(英國(guó)，1872-1970年)提出一個(gè)簡(jiǎn)明的集合悖論，打破了人們的希望，引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)新的爭(zhēng)論和研究。1908年,策梅洛提出了7條公理組成的集合論體系,稱為Z公理系統(tǒng);1922年,弗蘭克爾又加進(jìn)一條公理,還把公理用符號(hào)邏輯表示出來(lái),形成了集合論的ZF公理系統(tǒng);再后來(lái)還有伯奈斯和哥德爾改進(jìn)的ZFC公理系統(tǒng)。這些系統(tǒng)由于嚴(yán)格山西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào) 2018年3期2018-01-29
- 對(duì)充要條件教學(xué)的再認(rèn)知
中學(xué)數(shù)學(xué)第一章集合論可以說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有了集合論規(guī)范的表述，才有了后來(lái)各種數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).集合論教學(xué)中，子集、交集、并集、全集、補(bǔ)集是集合中最基本的五大要點(diǎn)，形成了集合論的基礎(chǔ).比如：子集關(guān)系是運(yùn)用到各種知識(shí)銜接的重要知識(shí).以命題為例：“若p，則q”指的是就是集合論中的子集關(guān)系，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)中卻鮮有將知識(shí)串聯(lián)在一起思考.因此教師教學(xué)需要打通這些知識(shí)的單一性，形成教學(xué)的全方位處理，形成知識(shí)的綜合理解成為關(guān)鍵.一、概念的認(rèn)識(shí)充要條件的概念在教材中僅僅是中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年1期2018-01-23
- 一種模糊集合論的公理化方法
50)一種模糊集合論的公理化方法李 娜，楊 帆(南開大學(xué) 哲學(xué)院， 天津 300350)模糊集合論是模糊理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其公理化可以從不同的邏輯語(yǔ)言出發(fā)。經(jīng)典邏輯是較為簡(jiǎn)潔的一種方法。夏平基于扎德的模糊集概念創(chuàng)立了第一個(gè)公理化模糊集合論Za。這個(gè)公理化是ZF的。將它擴(kuò)張為NBG是一種自然的考慮。這樣的擴(kuò)張將作為從非經(jīng)典邏輯如模糊邏輯出發(fā)建立集合論的一個(gè)基礎(chǔ)。模糊集合論；公理化；NBGAbstract: Fuzzy set theory (FST) is t- 對(duì)集合論的辯證思考
職業(yè)技術(shù)學(xué)院對(duì)集合論的辯證思考趙雁 樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院集合論被認(rèn)為是20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，它在近代數(shù)學(xué)中有重要的地位。從集合的一些基本常識(shí)，認(rèn)識(shí)一下初等數(shù)學(xué)“樸素集合論”的理論基礎(chǔ)是不夠嚴(yán)密的。從哲學(xué)高度來(lái)看，對(duì)集合論作歷史觀察，可以幫助我們有更多的思考。無(wú)限集 集合論 公理化1 無(wú)限集之謎什么是無(wú)限集：就是含有無(wú)限個(gè)元素的集合。無(wú)限與無(wú)限集不只是數(shù)學(xué)的課題，同時(shí)也是哲學(xué)的問(wèn)題。并長(zhǎng)期困擾著哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家。它的定義十分簡(jiǎn)單、明確。但對(duì)“無(wú)限”的認(rèn)識(shí)哲學(xué)家走數(shù)碼世界 2017年7期2017-07-25
- 論集合中的元素的確定性、互異性和無(wú)序性
基本概念，它是集合論的研究對(duì)象，集合論的基本理論直到19世紀(jì)才被創(chuàng)立。最簡(jiǎn)單的說(shuō)法，即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是“一堆東西”。集合里的“東西”，叫作元素。若x是集合A的元素，則記作x∈A。一個(gè)集合中可以有很多個(gè)元素，而這些元素的構(gòu)成都有一定的特性：確定性、互異性、無(wú)序性。1 集合中元素的性質(zhì)1.1 元素的確定性每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒(méi)有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個(gè)性質(zhì)主數(shù)碼世界 2017年7期2017-07-25
- 康托集合論為什么是錯(cuò)誤的理論
會(huì) 張喜安康托集合論為什么是錯(cuò)誤的理論四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安康托集合論的基本觀點(diǎn)是，一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，或者說(shuō)部分可以和全體相等，而這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理的結(jié)論。因此，只要我們能夠證明康托集合論的上述定理是錯(cuò)誤的，那么，我們也就證明了康托集合論是一個(gè)錯(cuò)誤的理論。本文首先根據(jù)客觀事實(shí)對(duì)康托的上述定理提出質(zhì)疑，然后詳細(xì)地證明上述康托集合論的定理的證明是錯(cuò)誤的，最后我們得出結(jié)論，康托集合論是錯(cuò)誤的理論。還有一點(diǎn)值數(shù)學(xué)大世界 2017年13期2017-02-25
- 理發(fā)師悖論
呢？在數(shù)學(xué)中，集合論的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)得以“絕對(duì)嚴(yán)格”的基礎(chǔ)?？闪_素悖論恰恰揭示了在集合論中存在著不可避免的矛盾，因此這個(gè)悖論動(dòng)搖了數(shù)學(xué) “絕對(duì)嚴(yán)格”的基礎(chǔ)，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。仿照理發(fā)師悖論，你可以設(shè)想出許許多多類似的悖論。如：有一個(gè)機(jī)器人，它只為一切不維修保養(yǎng)自己的機(jī)器人進(jìn)行維修，那么，誰(shuí)來(lái)維修它自己？有一個(gè)目錄，它只為一切不列入本身的目錄編目，那么，這個(gè)目錄應(yīng)編入哪個(gè)目錄？家教世界·創(chuàng)新閱讀 2016年11期2016-12-27
- 整體不一定大于部分
爾創(chuàng)立了著名的集合論。在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊，但不久這一開創(chuàng)性成果就被廣大數(shù)學(xué)家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。集合論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們以為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性終于實(shí)現(xiàn)了，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的不矛盾性歸結(jié)為集合論的不矛盾性?？墒?，英國(guó)科學(xué)家羅素認(rèn)為集合論是自相矛盾的，沒(méi)有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說(shuō)是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，初中生學(xué)習(xí)·低 2016年10期2016-11-25
- 連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題與薄實(shí)在論
學(xué)問(wèn)題。但通行集合論公理在判定這個(gè)問(wèn)題上的無(wú)力使得它衍生出一個(gè)相應(yīng)的哲學(xué)問(wèn)題，即連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題有沒(méi)有意義的問(wèn)題。對(duì)于這后一個(gè)，哲學(xué)意義上的“連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題”，數(shù)學(xué)哲學(xué)家們給出了各種不同的回答，其中尤以哥德爾（Kurt G?del）所代表的柏拉圖主義立場(chǎng)最為有影響。事實(shí)上，與此立場(chǎng)密切相關(guān)的所謂“哥德爾綱領(lǐng)”（G?del's Program），在很大程度上塑造了當(dāng)代集合論的實(shí)踐。然而不可否認(rèn)的是，柏拉圖主義存在種種困難，最為人熟知的便是關(guān)于抽象對(duì)象的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題，亦即邏輯學(xué)研究 2016年2期2016-10-09
- 數(shù)理邏輯中一個(gè)撤消百年的悖論
悖論，igR是集合論中一個(gè)由錯(cuò)誤前提導(dǎo)致的自相矛盾，它是數(shù)學(xué)推理中違反邏輯排中原則必然導(dǎo)致荒謬的典型。百年來(lái)，它在相關(guān)學(xué)科中仍在宣傳，其實(shí)這個(gè)所謂悖論百年前已經(jīng)被策梅洛撤消，這是一段值得反思的歷史。1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅洛（E.Zermelo）為集合論基礎(chǔ)研究建立一組公理系統(tǒng)，以其中的“劃分公理”解釋了當(dāng)時(shí)被稱為羅素悖論的矛盾的起因，將其排除出集合論研究范疇，從而解除了它給數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)帶來(lái)的威脅。但此后，對(duì)那個(gè)所謂的悖論不合事實(shí)的宣傳在一個(gè)世紀(jì)中并沒(méi)科學(xué) 2016年3期2016-05-30
- 數(shù)學(xué)集合論思想對(duì)集體觀念研究的借鑒價(jià)值
119)?數(shù)學(xué)集合論思想對(duì)集體觀念研究的借鑒價(jià)值蔣萬(wàn)勝，劉璐(陜西師范大學(xué) 新聞與傳播學(xué)院，陜西 西安 710119)數(shù)學(xué)集合論主要利用集合之間的運(yùn)算關(guān)系來(lái)說(shuō)明物件與集合之間的關(guān)系。效仿數(shù)學(xué)集合論的研究方式，建立個(gè)人觀念與集體觀念的集合，是研究個(gè)人觀念與集體觀念之間關(guān)系的新途徑。運(yùn)用集合論思想對(duì)集體觀念進(jìn)行研究，有助于從數(shù)理的角度揭示集體觀念與個(gè)人觀念之間的關(guān)系。集體觀念并非個(gè)人觀念的簡(jiǎn)單相加，集體觀念源于個(gè)人觀念的擴(kuò)散與提升。將數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于人文社會(huì)新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào) 2016年5期2016-03-02
- 基于哲學(xué)邏輯的集合論研究
基于哲學(xué)邏輯的集合論研究李 娜(南開大學(xué)哲學(xué)院,天津300350)20世紀(jì)60年代之后,涌現(xiàn)出了嘗試以非經(jīng)典邏輯為基礎(chǔ)邏輯來(lái)拯救集合論的熱潮。在這一時(shí)期,誕生了模態(tài)集合論、弗協(xié)調(diào)集合論、直覺(jué)主義集合論等一些基于哲學(xué)邏輯的集合理論。模態(tài)邏輯是在經(jīng)典邏輯的基礎(chǔ)上增加模態(tài)算子形成的一種二階邏輯,因此,它是一種比經(jīng)典邏輯強(qiáng)的邏輯。模態(tài)集合論相對(duì)于公理化集合論是一種加強(qiáng)了基礎(chǔ)邏輯的公理化集合論。與ZF公理化集合論用公理限制集合的方法不同,弗協(xié)調(diào)集合論也是一種改變了集浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社會(huì)科學(xué)版)預(yù)印本 2016年7期2016-01-20
- 如何從集合論觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)教學(xué)
韓桂玲摘要：集合論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了基礎(chǔ)作用，也使幾個(gè)數(shù)學(xué)分支統(tǒng)一到一起。集合論貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)中，無(wú)論是概念還是方法，集合論都有著不可替代的作用。關(guān)鍵詞：集合論數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法集合論在數(shù)學(xué)中有獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，如各種數(shù)學(xué)理論是建立在集合論的基礎(chǔ)上的，（實(shí)數(shù)理論是奠定在集合論的基礎(chǔ)上），各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念（比如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、函數(shù)等）都是借助集合定義出來(lái)，從這個(gè)意義上來(lái)講，集合論可以說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)周刊·中旬刊 2015年8期2015-08-15
- 如何從集合論觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)教學(xué)
075000）集合論在數(shù)學(xué)中有獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，如各種數(shù)學(xué)理論是建立在集合論的基礎(chǔ)上的，（實(shí)數(shù)理論是奠定在集合論的基礎(chǔ)上），各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念（比如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、函數(shù)等）都是借助集合定義出來(lái)，從這個(gè)意義上來(lái)講，集合論可以說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。一、集合論的概念與數(shù)學(xué)教學(xué)中集合概念的關(guān)系1874年，康托爾越過(guò)“數(shù)集”的限制，開始提出“集合”的概念。他對(duì)“集合”給出了這樣的定義：把若干確定的有區(qū)別的（具體的或抽象的）事物合并起來(lái)，看作學(xué)周刊 2015年23期2015-08-07
- 整體不一定大于部分
爾創(chuàng)立了著名的集合論。在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。集合論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們以為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性終于實(shí)現(xiàn)了，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的不矛盾性歸結(jié)為集合論的不矛盾性?？墒?，英國(guó)科學(xué)家羅素認(rèn)為集合論是自相矛盾的，沒(méi)有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說(shuō)是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，初中生之友·中旬刊 2015年6期2015-06-10
- 基于類比與集合論的《金匱要略》篇章分析
基于類比與集合論的《金匱要略》篇章分析吳清榮，賈春華*(北京中醫(yī)藥大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，北京 100029)摘要：《金匱要略》記載雜病，采用臟腑辨證法則，將搜集可見(jiàn)及潛在的癥狀體征，運(yùn)用援物比類等法，經(jīng)過(guò)分析判斷尋求病因真相。條文編排上，系以整體系統(tǒng)性之邏輯類比形式，便利各項(xiàng)病證作異同比較；在治法上，有“同病異治”或“異病同治”之相對(duì)運(yùn)用，俾益于學(xué)習(xí)指導(dǎo)及臨癥應(yīng)用參考。各篇章內(nèi)容雖集雜病而成，然從其中結(jié)構(gòu)分析，條文之間彼此具備相關(guān)從屬關(guān)系，經(jīng)過(guò)逐條比對(duì)之后，可見(jiàn)吉林中醫(yī)藥 2015年7期2015-04-15
- “文化集合論”:內(nèi)在矛盾與可能之途
9)一、“文化集合論”的緣起“文化”這種說(shuō)法在中國(guó)古已有之，如“觀乎天文，以察時(shí)變;觀乎人文，以化成天下”，以及“圣人之治天下也，先文德而后武力。凡武之興，為不服也，文化不改，然后加誅”等。但這里的“文化”指的是“文治教化”，與現(xiàn)代意義上的“文化”并非同一所指。今天所說(shuō)的“文化”實(shí)際上轉(zhuǎn)譯自“culture”，其原形是拉丁語(yǔ)的“cultura”，意指“耕作或耕作方式;才能的培養(yǎng);古跡的維護(hù);人際關(guān)系的經(jīng)營(yíng)以及宗教儀式”［1］等。真正作為學(xué)術(shù)概念的“文化”最文化學(xué)刊 2015年1期2015-03-20
- 對(duì)集合論公理化方法悖性的審思
41003）對(duì)集合論公理化方法悖性的審思王習(xí)勝（安徽師范大學(xué)政治學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）公理化集合論理論的創(chuàng)立，解決了康托爾素樸集合論因其概括原則的前提預(yù)設(shè)而導(dǎo)致的一系列悖論。在公理化集合論中人們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)新的悖論，學(xué)界因此而視其為成功的解悖方案。公理化的本質(zhì)是重構(gòu)集合論的演繹系統(tǒng)，演繹方法具有保真性，能夠?qū)С隹煽恐R(shí)。公理化集合論的兩個(gè)準(zhǔn)等價(jià)的系統(tǒng)卻是從相互矛盾的前提建構(gòu)得來(lái)的。如果這兩個(gè)公理系統(tǒng)導(dǎo)出的結(jié)論是可靠的，就說(shuō)明可靠知識(shí)可以由不可靠的公理- 是誰(shuí)把數(shù)學(xué)推向了深淵？
么康托爾樸素的集合論則幾乎把數(shù)學(xué)推向了深淵?？低袪柍錾诙韲?guó)的圣彼得堡，猶太后裔，后來(lái)遷居到德國(guó)。在而立之年，他提出了令人高深莫測(cè)的無(wú)窮大概念，這個(gè)無(wú)窮大不是微積分里的無(wú)窮大，是表述集合元素多少的。集合的概念不需要我多做解釋，相信學(xué)過(guò)一點(diǎn)數(shù)學(xué)的人都知道。眾所周知，有限集存在有多少元素的問(wèn)題，例如一個(gè)班級(jí)有多少人？班級(jí)的人數(shù)成為這個(gè)班級(jí)的“基數(shù)”或“勢(shì)”，任何有限集都可以數(shù)出它的元素來(lái)，可如果問(wèn)自然數(shù)有多少？有理數(shù)有多少？實(shí)數(shù)有多少？誰(shuí)能回答？康托爾的目的就求知導(dǎo)刊 2014年1期2014-02-24
- 數(shù)學(xué)存在的語(yǔ)言建構(gòu)——結(jié)構(gòu)主義的研究范式
分的算術(shù)化導(dǎo)致集合論的建立，從而形成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派:邏輯主義、形式主義與直覺(jué)主義，進(jìn)而引發(fā)了更為普遍的哲學(xué)思潮。以邏輯實(shí)證主義為代表的分析哲學(xué)運(yùn)動(dòng)主張，邏輯是哲學(xué)的唯一合法的研究領(lǐng)域，形而上學(xué)問(wèn)題源于語(yǔ)言的誤用，沒(méi)有任何意義而應(yīng)當(dāng)從哲學(xué)中清除出去，數(shù)學(xué)哲學(xué)成為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的邏輯分析，成為關(guān)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的邏輯句法學(xué)與邏輯語(yǔ)義學(xué)。20世紀(jì)30年代哥德爾不完全性定理的提出，從邏輯上闡明了對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的邏輯分析無(wú)法完全封閉形成自我滿足的有限世界，數(shù)學(xué)語(yǔ)言除了具有邏輯的- 單調(diào)類定理的一個(gè)集合論證明
調(diào)類定理的一個(gè)集合論證明王小特（陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，咸陽(yáng) 712000）本文利用集合論中的序數(shù)理論和超限歸納法，給出概率測(cè)度論中一個(gè)集族生成的最小σ代數(shù)，最小λ類和最小單調(diào)類的具體形式，并給出單調(diào)類定理一個(gè)直接的證明.單調(diào)類定理；集合論；最小σ代數(shù)；最小λ類；最小單調(diào)類1 引言與預(yù)備我們首先介紹概率測(cè)度論中的一些概念.定義1.1［1］設(shè)Ω為一個(gè)集合，C為Ω的一個(gè)子集族.①Ω∈C； ②A，B∈C，B?A得A－B?C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.大學(xué)數(shù)學(xué) 2012年4期2012-11-02
- 構(gòu)造性數(shù)學(xué)與構(gòu)造集合論
良基集合的經(jīng)典集合論基礎(chǔ)之上的，即公理系統(tǒng)ZFA(ZFC-+AFA)。Rathjen斷言 Barwise和 Moss的大部分工作都可以建立在包含非良基集合的構(gòu)造性全域(constructive universe)的基礎(chǔ)上，而不是經(jīng)典集合全域。也就是說(shuō)，Barwise和Moss的大部分工作都可以在構(gòu)造集合論(constructive set theory)的意義下進(jìn)行。正如公理系統(tǒng)ZFC對(duì)應(yīng)著康托經(jīng)典數(shù)學(xué)的形式化一樣，構(gòu)造集合論起源于Myhill的努力，他為華北水利水電大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版) 2012年5期2012-07-04
- 非良基公理的本質(zhì)及其應(yīng)用
形成新的非良基集合論。這樣形成的精確圖還是不太合理，考慮圖4：（圖4）一個(gè)嚴(yán)格的但不是同構(gòu)外延的可達(dá)點(diǎn)圖（圖5）一個(gè)同構(gòu)外延的但非外延的可達(dá)點(diǎn)圖這是嚴(yán)格的且外延的圖。底端的每個(gè)結(jié)點(diǎn)被一個(gè)等于自己的單元素集所裝飾，裝飾這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的集合似乎應(yīng)該相等，需要更嚴(yán)格的精確圖概念。隨著中國(guó)城鎮(zhèn)住房金融制度的改革，改革開放40年中，住房金融市場(chǎng)逐步衍生、發(fā)展和繁榮?？v觀改革開放40年，我們不難發(fā)現(xiàn)，中國(guó)城鎮(zhèn)住房金融對(duì)開發(fā)商獲得土地、商品房開發(fā)、商品房購(gòu)買和消費(fèi)提供了金融湖北大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版） 2012年5期2012-06-22
- 集合論觀點(diǎn)下的一類恒成立問(wèn)題的辨析
318020)集合論觀點(diǎn)下的一類恒成立問(wèn)題的辨析●祝敏芝(三門教育局教研室 浙江臺(tái)州 317100) ●洪秀滿(黃巖教育局教研室 浙江臺(tái)州 318020)集合論是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Cantor)創(chuàng)立的，現(xiàn)在已發(fā)展為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，其基本概念與方法已滲入到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石.對(duì)于含有存在量詞的存在性問(wèn)題與含有全稱量詞的恒成立問(wèn)題，本文試用集合論的基本概念與方法對(duì)恒成立進(jìn)行辨析，挖掘這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓其思想更深刻，形式更簡(jiǎn)約.1 問(wèn)題中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年1期2010-12-01
- 底層集合論
“什么是集合？集合論的創(chuàng)始人Cantor曾作如下描述： ‘一個(gè)集合是我們直覺(jué)中或理智中，確定的，互不相同的事物的一個(gè)匯集，被設(shè)想為一個(gè)整體 （單位）’.這些事物叫做這個(gè)集合的元素，或者說(shuō)這些元素屬于這個(gè)集合，也說(shuō)這集合包含這些元素.Cantor的描述對(duì)人們直觀地理解集合概念是很有價(jià)值的.例如，它說(shuō)一個(gè)集合的元素是 ‘確定的’，這意味著某個(gè)事物是否屬于某個(gè)集合的元素是 ‘確定的’，某個(gè)事物是否屬于某個(gè)集合是沒(méi)有絲毫含混余地的；又如，它說(shuō)一個(gè)集合的元素是 ‘互湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2010年1期2010-06-08
- 矩陣在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
數(shù)的概念,然而集合論和圖論是離散數(shù)學(xué)的范疇,從表面上看沒(méi)有什么聯(lián)系,這篇文章把矩陣和關(guān)系、關(guān)系的復(fù)合、關(guān)系的冪、關(guān)系的性質(zhì)、關(guān)系的閉包以及有向圖、圖的通路和回路數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),另辟蹊徑,打開了思路。矩陣;離散數(shù)學(xué);集合論;圖論“宇宙間的萬(wàn)物是相通的”,任何事物之間都存在著這樣或那樣的聯(lián)系,線性代數(shù)與離散數(shù)學(xué)之間同樣存在著相關(guān)性。特別是矩陣在集合論和圖論中的應(yīng)用,使得集合論和圖論中的某些問(wèn)題變得容易理解。一、矩陣在集合論中的應(yīng)用1.關(guān)系矩陣設(shè)非空有限集A=長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) 2010年3期2010-01-05
- 對(duì)阿蘭·巴迪歐“數(shù)學(xué)等于本體論”的思考
不但把康托爾的集合論引入哲學(xué)中,而且為當(dāng)代哲學(xué)注入了新鮮活力。關(guān)鍵詞:本體論 康托爾 集合論 空集 無(wú)限中圖分類號(hào):O1-0文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1006-8937(2009)03-0143-01巴迪歐提出一個(gè)著名的命題:“數(shù)學(xué)=本體論”,但是,巴迪歐在這里提及的數(shù)學(xué)并非一般意義上的數(shù)學(xué),這與弗雷格開創(chuàng)的哲學(xué)的數(shù)學(xué)-邏輯學(xué)轉(zhuǎn)向并沒(méi)有太大關(guān)聯(lián)。更準(zhǔn)確的說(shuō),巴迪歐在這里依靠的是一種特殊的數(shù)學(xué)范疇——集合論,尤其是康托爾之后的集合論發(fā)展的諸多成果。康托爾是德籍企業(yè)技術(shù)開發(fā)·中旬刊 2009年3期2009-10-12
- 羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
代數(shù)學(xué)中被稱為集合論,其基本概念幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,它的創(chuàng)始人康托爾也因此被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。既然同學(xué)們都學(xué)過(guò)集合知識(shí),那有個(gè)問(wèn)題要考考大家。假設(shè)有一個(gè)集合S,它由一切不是自身元素的集合所組成。那么請(qǐng)問(wèn),S是否屬于S?我們知道,一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合,或者不屬于某個(gè)集合。因此,如果S屬于S,那么根據(jù)S的定義,S就不屬于S;反之,如果S不屬于S,同樣根據(jù)定義,S就應(yīng)該屬于S。這就是著名的“羅素悖論”,它非常淺顯易懂,而且涉及的都是集合論中學(xué)生天地·高中學(xué)習(xí)版 2009年6期2009-06-02
- 結(jié)構(gòu)主義是一種有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)嗎？