崔艷　吳娟

摘要自然常數(shù)e是最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)之一，人們對(duì)它卻知之甚少，通過(guò)對(duì)自然常數(shù)e的由來(lái) 、含義、e在實(shí)際計(jì)算中的應(yīng)用及含有e的公式為例，詳細(xì)解釋了這個(gè)重要的無(wú)理數(shù)。

關(guān)鍵詞自然常數(shù)極限歐拉公式

中圖分類(lèi)號(hào)：TP274 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

自然常數(shù)e和圓周率，黃金分割數(shù)一起被稱為“三大數(shù)學(xué)常數(shù)”及“三個(gè)最著名無(wú)理數(shù)”， 和圓周率及虛數(shù)單位i一樣，e是最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)之一，自然常數(shù)的知名度比圓周率低很多。e通常用作自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，還經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)之中，但它從哪里來(lái)？它究竟是什么意思？

1自然常數(shù)e的由來(lái)

在18世紀(jì)初，數(shù)學(xué)大師萊昂哈德·歐拉（Leonard Euler）發(fā)現(xiàn)了這個(gè)自然常數(shù)e（又稱歐拉數(shù)）。當(dāng)時(shí)，歐拉試圖解決由另一位數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半個(gè)世紀(jì)前提出的問(wèn)題。伯努利的問(wèn)題與復(fù)利有關(guān)。假設(shè)你在銀行里存了一筆錢(qián)，銀行每年以100%的利率兌換這筆錢(qián)。一年后，你會(huì)得到（1+100%）1=2倍的收益。現(xiàn)在假設(shè)銀行每六個(gè)月結(jié)算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在這種情況下，一年后的收益為（1+50%）2=2.25倍。而假設(shè)銀行每月提供8.3%（100%的）復(fù)利息，或每周1.9%（100%的）復(fù)利息。在這種情況下，一年后你會(huì)賺取投資的（1+）12=2.61倍和（1+）52=2.69倍。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以得到一條通式。如果假設(shè)n為利息復(fù)利的次數(shù)，那么利率就是其倒數(shù)，一年后的收益公式為（1+）n。那么，如果n變得很大，會(huì)怎樣？如果n變得無(wú)限大，那（1+）n是否也會(huì)變得無(wú)限大？這就是伯努利試圖回答的問(wèn)題，但直到50年后才由歐拉最終獲得結(jié)果。當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，（1+）n并非也變得無(wú)窮大，而是等2.718281828459……事實(shí)上e就是通過(guò)這個(gè)極限而發(fā)現(xiàn)的，這是一個(gè)類(lèi)似于圓周率的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（即無(wú)理數(shù)），1727年歐拉首次用小寫(xiě)字母“e”表示這常數(shù)，此后遂成標(biāo)準(zhǔn)，被稱為自然常數(shù)。e是“指數(shù)”（exponential）的首字母，也是歐拉名字的首字母。

2自然常數(shù)e的含義

e是所有連續(xù)增長(zhǎng)過(guò)程都共有的基本增長(zhǎng)率。e可以表示一個(gè)簡(jiǎn)單的增長(zhǎng)率，同時(shí)發(fā)現(xiàn)連續(xù)型復(fù)合增長(zhǎng)的影響，其中每一納秒（或者更快）的增長(zhǎng)微乎其微，只要當(dāng)系統(tǒng)呈連續(xù)型指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)e便會(huì)出現(xiàn)，如：種群密度、放射性衰變、利息計(jì)算等等。甚至并不是平穩(wěn)增長(zhǎng)的鋸齒狀系統(tǒng)都能用e來(lái)近似，就像每個(gè)數(shù)字都可以認(rèn)為和1（基本單位）的呈某個(gè)比例，每個(gè)圓可以認(rèn)為和單位圓（半徑為1）的呈某個(gè)比例，同樣每個(gè)增長(zhǎng)率都可以認(rèn)為和e（單位增長(zhǎng)率）的呈某個(gè)比例。這世界上的許多事物有這樣的變化率：增長(zhǎng)率正比于變量自身的大小。如放射元素衰變時(shí)，衰變率和現(xiàn)存的放射性物質(zhì)多少成正比；資源無(wú)窮多社會(huì)，人口近似出生率和現(xiàn)存人口數(shù)成正比。而此類(lèi)變化率所確定的解可描述為：如果X的變化率等于變量X自身的倍，那么該變量隨時(shí)間的函數(shù)為X=Ce。其中C是任意常數(shù)，而e的直觀含義正是增長(zhǎng)的極限。因此e并不是一個(gè)模糊的、似乎隨機(jī)的數(shù)字，而是表示所有連續(xù)型增長(zhǎng)系統(tǒng)和某個(gè)一般比率呈比例關(guān)系這樣的思想。

17 世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)雙曲線下的面積和自然對(duì)數(shù)之間有非常奇妙的關(guān)系=ln||，并發(fā)現(xiàn)許多重要的函數(shù)，極限，微分和積分都與自然常數(shù)有關(guān)。在繪制函數(shù)y=e時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于曲線上任意點(diǎn)的斜率也是e，而從負(fù)無(wú)窮大到x的曲線下方面積也是e。e是唯一使y=a這個(gè)方程有如此奇特性質(zhì)的數(shù)字。在微積分中e也是一個(gè)非常重要的數(shù)字。同時(shí)，自然常數(shù)e也是物理學(xué)中的一個(gè)重要數(shù)字，它通常出現(xiàn)在有關(guān)波（如光波、聲波和量子波）的方程之中。

3自然常數(shù)e的計(jì)算

（1）利用極限計(jì)算自然常數(shù)，由數(shù)列（1+）極限得到：n為自然數(shù)時(shí)，n→∞時(shí)，則

（2）牛頓提出利用級(jí)數(shù)計(jì)算的方法，用Maclaurin公式把f(x)=ex展開(kāi)，并令x=1，可以得到：如果級(jí)數(shù)是收斂的，那么其結(jié)果為e，即e=歐拉取上述公式的前20項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算給出數(shù) 的前18 位：2.718281828459045235。e的無(wú)窮級(jí)數(shù)使我們看到無(wú)理數(shù)的無(wú)序中居然隱含著如此嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠行?、簡(jiǎn)潔與優(yōu)美。

4自然常數(shù)e的應(yīng)用

“將一個(gè)數(shù)分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個(gè)問(wèn)題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。比如把100平均分成若干份，使每份的乘積盡可能大。把這個(gè)題意分析一下，就是求兩個(gè)數(shù)a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。這里a可以為任意有理數(shù)，b必須為整數(shù)。此時(shí)，便要用到自然常數(shù)使a盡量接近e。則b應(yīng)為100/e≈36.788份，但由于份數(shù)要為整數(shù)，所以取近似值37份。這樣，每份為100/37，所以a的b次方的最大值約為“94740617+167818+32.652”。如分成35或38份，乘積都小于這個(gè)數(shù)，這就是的神奇之處。

自然常數(shù)也和質(zhì)數(shù)分布有關(guān)。有某個(gè)自然數(shù)a，則比它小的質(zhì)數(shù)就大約有個(gè)a/lna。在a較小時(shí)，結(jié)果不太正確。但是隨著a的增大，這個(gè)定理會(huì)越來(lái)越精確，這個(gè)定理叫素?cái)?shù)定理，15歲的高斯發(fā)現(xiàn)了這一定理：“從1到任何自然數(shù)N之間所含素?cái)?shù)的百分比，近似等于N的自然對(duì)數(shù)的倒數(shù)；N越大，這個(gè)規(guī)律越準(zhǔn)確。”這個(gè)定理到1896年才由法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪和幾乎是同一時(shí)期的比利時(shí)數(shù)學(xué)家布散所證明。e的影響力其實(shí)還不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。大自然中太陽(yáng)花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現(xiàn)螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來(lái)定義的。建構(gòu)音階也要用到e，而如果把一條鏈子兩端固定，松松垂下，它呈現(xiàn)的形狀若用數(shù)學(xué)式子表示的話，也需要用到e。

5含自然常數(shù)e的公式舉例

5.1歐拉公式

關(guān)于e有一個(gè)非常著名的公式，即歐拉恒等式：e=cos+isin，(i為虛數(shù)單位）把指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)建立了深層次的聯(lián)系，假定=時(shí)，由于sin=0，cos=1因此方程變?yōu)閑+1=0，這個(gè)簡(jiǎn)單的歐拉公式，完美的把數(shù)學(xué)中最重要的5個(gè)數(shù)字e、、i、1、0都聯(lián)系在一起，還包含了4個(gè)運(yùn)算符——加、乘、取冪和相等。而且這些數(shù)字和運(yùn)算符分別只出現(xiàn)一次，它把看似不相干，甚至矛盾的元素（有理數(shù)、無(wú)理數(shù)和虛數(shù)）包含在一個(gè)簡(jiǎn)潔的公式中，也是超越數(shù)的數(shù)學(xué)價(jià)值e的最高體現(xiàn)。

5.2雙曲函數(shù)

雙曲正弦函數(shù)

雙曲余弦函數(shù)

雙曲函數(shù)的起源是懸鏈線，這個(gè)懸鏈線的方程就是，19世紀(jì)有一門(mén)學(xué)科開(kāi)始了全面發(fā)展——復(fù)變函數(shù)。伴隨著歐拉公式的誕生，雙曲函數(shù)與三角函數(shù)這兩類(lèi)看起來(lái)截然不同的函數(shù)獲得了前所未有的統(tǒng)一。 在實(shí)域內(nèi)，三角函數(shù)的值是通過(guò)單位圓和角終邊上三角函數(shù)線的長(zhǎng)度定義的。當(dāng)然這個(gè)長(zhǎng)度是有正負(fù)的。同理，雙曲函數(shù)的值也是通過(guò)雙曲線和角終邊上的雙曲函數(shù)線的長(zhǎng)度定義的 。懸鏈線的方程是雙曲余弦函數(shù)，這個(gè)在文章開(kāi)頭已經(jīng)介紹過(guò)。而懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜及平行直導(dǎo)線單位長(zhǎng)度電容等都用到了懸鏈線的原理。

5.3斯特林（Stirling）公式

斯特靈公式是一條用來(lái)取!近似值的數(shù)學(xué)公式。公式為：

或

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)很大的時(shí)候，!的計(jì)算量十分大，斯特靈公式在很小的時(shí)候，取值已經(jīng)十分準(zhǔn)確。 其意義在于：當(dāng)足夠大時(shí)，!計(jì)算起來(lái)十分困難，雖然有很多關(guān)于!的等式，但并不能很好地對(duì)階乘結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，尤其是很大之后，誤差將會(huì)非常大。但利用Stirling公式可以將階乘轉(zhuǎn)化成冪函數(shù)，使得階乘的結(jié)果得以更好的估計(jì)。而且越大，估計(jì)得越準(zhǔn)確。

5.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為(u)，分布函數(shù)為(u)，則

以及泊松分布，指數(shù)分布，伽瑪分布等等都與e相關(guān)。正態(tài)分布是自然科學(xué)和行為科學(xué)中的定量現(xiàn)象的一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型，各種考試分?jǐn)?shù)，測(cè)試數(shù)值和物理現(xiàn)象比如光子計(jì)數(shù)等都被發(fā)現(xiàn)近似的服從正態(tài)分布，正態(tài)分布在生活中無(wú)處不在。

5.5對(duì)數(shù)螺線

等角螺線、對(duì)數(shù)螺線或生長(zhǎng)螺線是在自然界常見(jiàn)的螺線，在極坐標(biāo)系(r, )中，這個(gè)曲線可以寫(xiě)為r=aeb或=ln(r/a)。其中，a和b為常數(shù)，是極角，r是極徑。它是由笛卡爾首先提出的，之后由雅各布·伯努利對(duì)其進(jìn)行了深入的探討和研究，發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)螺線的許多奇異特性，以至于對(duì)數(shù)螺線（如圖1）被認(rèn)為是在所有的平面曲線中最美的圖形。

5.6拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是對(duì)于t≥0函數(shù)值不為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)通過(guò)關(guān)系式

X(s)=x(t)edt

變換為復(fù)變量s的函數(shù)X(s)。拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個(gè)線性變換，拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在力學(xué)系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、可靠性系統(tǒng)以及隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)等系統(tǒng)科學(xué)中都起著重要作用。

5.7薛定諤方程

作為量子論的基本方程：薛定諤方程為

該方程是1926年由埃爾文·薛定諤發(fā)現(xiàn)的，表明了系統(tǒng)的量子態(tài)——例如，可解釋為在特定位置探測(cè)到粒子的可能性——隨時(shí)間而變化，在研究現(xiàn)代物理學(xué)中發(fā)揮了極其重要的作用。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，薛定諤方程和數(shù)學(xué)一樣是取之不盡的。從此公式可以看出自然常數(shù)e在量子力學(xué)方面也有著重要作用。

為了討論方便，我們把e或由e經(jīng)過(guò)一定變換和復(fù)合的形式定義為“自然律”，因此，“自然律”的核心是e 。自然律具有把有序和無(wú)序、生機(jī)與死寂予以同一形式的特點(diǎn)，在美學(xué)上也具有重要價(jià)值。

基金項(xiàng)目：亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院教研課題，網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下高職數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的探索與實(shí)踐（2016bzjyxm03）；2017年度高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（gxyq2017216）。

參考文獻(xiàn)

[1]柴英明.自然對(duì)數(shù)的底e與年化利率[J].中外企業(yè)家,2016(14):241-242.

[2]孫玉泉,張有光.自然對(duì)數(shù)底的極限形式及其應(yīng)用[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,27(01):31-33.

[3]陳仁政.不可思議的e(第1版) [M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[4]柳燕.對(duì)數(shù)螺線的屬性分析[J].科技信息,2011(06):125.

[5]張立新.從物理學(xué)中數(shù)學(xué)常數(shù)e思考數(shù)學(xué)之自然屬性[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,36(03):25-29.