邵晶晶,王秀蓮?

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津300387）

1988年,Hans U Gerber等[1]研究了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。關(guān)于索賠時(shí)間間隔服從相位分布的情況,Zhimin Zhang等[2]研究了兩種索賠的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；同時(shí),Min Song等[3]研究了一種索賠的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；在帶干擾的模型下,Shan Shan Wang 等[4]和 Wuyuan Jiang等[5]分別研究了一種和兩種索賠的最大剩余；Lanpeng Ji等[6]研究了兩種更新過(guò)程的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；Hu Yang等[7]在離散風(fēng)險(xiǎn)模型下研究了兩種跳躍方式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；卓文焱等[8]研究了在隨機(jī)回報(bào)模型下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。學(xué)者們根據(jù)不同研究問(wèn)題,選擇不同的罰金函數(shù),如：Hansj?rg Albrecher等[9]選取了罰金函數(shù)取為指數(shù)形式；Hans U Gerber等[10]選取了罰金函數(shù)為w(U(T))。是在隨機(jī)回報(bào)下考慮索賠時(shí)間間隔為相位分布且有兩種跳躍方式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。

1 模型建立

考慮完備概率空間(Ω,?,P)上Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程{C (t),t≥0},

其中u是初始資產(chǎn),c是單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)；{N (t),t≥0}表示到t時(shí)刻索賠和盈利發(fā)生的總數(shù),N(t)=sup{n :V1+V2+…+Vn≤t}(s u p{? }=0),

其中時(shí)間間隔Vi是獨(dú)立同分布的正值Vi～V隨機(jī)變量,它們有共同的密度函數(shù) fV(x)且期望為μV。{Xi,i=1,2,…} 是獨(dú)立同分布的非零隨機(jī)變量,Xi～X有密度函數(shù) f(x)且期望為 μ。假設(shè)X有正數(shù)和負(fù)數(shù)值集,其中正數(shù)表示索賠額,負(fù)數(shù)表示保險(xiǎn)公司的隨機(jī)盈利。最后,假設(shè){Xi}和{Vi}相互獨(dú)立。

假設(shè)投資回報(bào)過(guò)程為Rt=δt,其中δ≥0為常數(shù),則t時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程為：

假設(shè)時(shí)間間隔V有相應(yīng)的狀態(tài)空間E={0 ,1,2,…,M},其中1,2,…,M是轉(zhuǎn)移態(tài),0是吸收態(tài)。索賠時(shí)間間隔隨機(jī)變量Vi的分布 fV(x)是相位分布,其中且是 n×n矩陣,且a)T有為長(zhǎng)度為 n 的列向量且所有元素都是1,有

對(duì)于密度函數(shù) f(x)可通過(guò)下面的形式表示：

其中0＜p+,p-＜1,p++p-=1,f+,f-是兩個(gè)定義在?+上的密度函數(shù)且I(·)為示性函數(shù)。在這里,f+和 f-分別代表索賠額和隨機(jī)盈利的密度函數(shù)。實(shí)際上,“+”表示X是正的,相反的,“-”表示X是負(fù)的。

2 積分微分方程滿足的積分-微分方程

在給定初始馬氏態(tài)J0=i(i = 1,2,…,M),根據(jù)定義:?i(u)=

(其中 τ=inf{t : C(t)＜0} 是破產(chǎn)時(shí)間,有 τ=∞,若C(t)≥0,?t∈?。期初盈余u的破產(chǎn)概率可定義為其中

在短時(shí)間(0 ,t]內(nèi),根據(jù)首次狀態(tài)發(fā)生變化和首次跳躍發(fā)生的時(shí)刻進(jìn)行討論,有以下四種情況：

①在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)既沒(méi)有發(fā)生狀態(tài)改變也沒(méi)有發(fā)生跳躍；

②在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)發(fā)生了狀態(tài)改變但沒(méi)有發(fā)生跳躍；

③在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)發(fā)生了跳躍但沒(méi)有發(fā)生狀態(tài)改變；

④在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)既發(fā)生了跳躍又有發(fā)生狀態(tài)改變。

令若在 (0 ,t]區(qū)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生跳躍,則有C(t)=u+h(t)。由馬氏性有,

故（5）式可化為

其中根據(jù)泰勒展開(kāi)有：

其中u≤

利用文獻(xiàn)[8]中引理1的結(jié)論有:

上式關(guān)于t求導(dǎo)得：

在式(8)和式(9)中令t→0,并利用文獻(xiàn)[5]中附錄的結(jié)論有：

對(duì)于式(6)關(guān)于t求導(dǎo)得：令t→0并將(10)和(11)帶入(12),整理可得：其中

I=diag(1 , 1,…,1),其中取定w(u ,x-u)=1,0?表示一個(gè)長(zhǎng)度為n的列向量,所有元素均為0。當(dāng)時(shí),破產(chǎn)不會(huì)發(fā)生,故有故有

3顯式表達(dá)式

對(duì)f-(x)=λe-λx,其中 λ 為指數(shù)參數(shù)。對(duì)等式(14)兩邊作Laplace變換,得到方程:

其中

此時(shí)將λ看作變量,通過(guò)求解微分方程通解公式,可解（16）式有：

其中

對(duì)(17)式做Laplace逆變換可得出:

其中的Laplace逆變換。

接下來(lái),當(dāng)1不是(u )的特征函數(shù)時(shí),將（18）式中的u=0,可得到Φ(0)的值：

將(19)式帶入(17)可得的值為:

通過(guò)求解微分方程通解公式,可解（15）式有：

將(19)式和(20)式帶入(21)式就得到了s≠λ的表達(dá)式,故有：

對(duì)(22)做Laplace逆變換就得到了Φ(u)的表達(dá)式。

4結(jié)論

研究了在時(shí)間間隔為相位分布的情況下,兩種跳躍方式的連續(xù)時(shí)間投資回報(bào)更新過(guò)程?？紤]其中破產(chǎn)率函數(shù)恒為1時(shí)的情況,通過(guò)得到積分微分方程,找到合適的方法,進(jìn)一步計(jì)算,得到該模型下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù),在以后的那就中,我們可以考慮破產(chǎn)函數(shù)和向上跳躍服從的分布更加復(fù)雜的情況。

[1]HANS U，GERBER,ELIAS S W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal,1998,2(1)：48-72.

[2]ZHANG ZHIMIN,LI SHUANMING,YANG HU.The Gerber-Shiu discounted penalty functions for a risk model with two classes of claims[J].Journal of Computational&Applied Mathematics,2009,230(2):643-655.

[3]SONG MIN,MENG QINGBIN,WU RONG，eatl.The Gerber-Shiu discounted penalty function in the risk process with phase-type interclaim times[J].Applied Mathematics&Computation,2010,216(2):523-531.

[4]WANG SHAN SHAN,ZHANG CHUN SHENG.The Maximum Surplus before Ruin and Related Problems in a Jump-Diffusion Re?newal Risk Process[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(英文版),2011,27(12):2379-2394.

[5]JIANG WUYUAN,MA CHAOQUN.The maximum surplus before ruin for two classes of perturbed risk model[J].Applicable Analy?sis,2017:124-133.

[6]JI LANPENG,ZHANG CHUNSHENG.The Gerber-Shiu penalty functions for two classes of renewal risk processes[J].Journal of Computational&Applied Mathematics,2010,233(10):2575-2589.

[7]YANG HU,ZHANG ZHIMIN.On a discrete risk model with two-sided jumps[J].Journal of Computational&Applied Mathematics,2010,234(3):835-844.

[8]卓文焱,封林云,陳旭.隨機(jī)觀察和隨機(jī)回報(bào)的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型中的Gerber-Shiu函數(shù)研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2014(23):7-11.

[9]HANSJ?RG ALBRECHER,CHEUNG C K,THONHAUSER S.Randomized observation periods for the compound Possion risk mod?el:the discounted penalty function[J].Scandinavian Actuarial Journal,2013(6):424-452.

[10]HANS U GERBER,SHIU ELIAS S W,YANG HAILIANG.The Omega model:from bankruptcy to occupation time in the red[J].European Actuarial Journal,2012,2(2):259-272.