導(dǎo)函數(shù)中“恒成立”問題的解決方案

◎方明凱

引言：“恒成立問題求參數(shù)的取值范圍”的這類問題，在導(dǎo)函數(shù)問題中有較大的代表性，以下就這類問題提供兩種主要解決方案：一、分類討論法；二、分離參數(shù)法。

例如：已知函數(shù)，曲線 y=f（x）在點(diǎn)（1，1），f（1）處的切線方程為x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果當(dāng) x＞0且 x≠1時(shí)，，求k的取值范圍.

分析：本例（Ⅱ）主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性解決恒成立問題，考查了運(yùn)算求解能力及分析問題和解決問題的能力。對(duì)于恒成立問題的解決往往是構(gòu)造函數(shù)對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，或是分離參數(shù)，也可轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值。對(duì)于此題，若采用移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成：要使g恒成立，只須使 g（x）min＞0即可，可問題是對(duì)g（x）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)談何容易，即無法判斷g（x）的單調(diào)性，故只能采用下列兩種方法：

[解析]方法一：構(gòu)造函數(shù)對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論

由于直線x+2y-3=0的斜率為，且過點(diǎn)（1，1），

故有，解得 a=1，b=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

f（x）-（把函數(shù)拆成相對(duì)簡單函數(shù)的乘積），由于當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)判斷的正負(fù)很容易，故考慮函數(shù)（注意觀察式子特征，通過對(duì)k進(jìn)行分類討論，來判斷 h'（x）的正負(fù)）.

⑴k-1≤-1時(shí)，即k≤0時(shí)，由x2+1≥2x知， k-( )1 x2+( )

1+2x≤0.故

當(dāng) x≠1時(shí)，h'（x）＜0，這時(shí) h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，而 h（1）=0，故

當(dāng) x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0，可得

而當(dāng) x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，可得

從而當(dāng) x＞0且 x≠1時(shí)，，即 f（x）＞

⑵-1＜k-1＜0時(shí)，即0＜k＜1時(shí)，觀察并對(duì)此二次函數(shù) y=分 析 得，當(dāng)）時(shí)，知(k-1)( x2+1)+2x＞0，故 h'（x）＞0，h（x）為增函數(shù).

而 h（1）=0，故當(dāng)）時(shí)，h（x）0，可得與題設(shè)矛盾.

⑶K-1≥0時(shí)，即 K≥1時(shí)，h'（x）＞0恒成立，這時(shí) h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，而 h（1）=0，故當(dāng) x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，可得，與題設(shè)矛盾.

綜合得，k的取值范圍為（-∞，0）.

方法二：（Ⅰ）的解答同上，（Ⅱ）的解答采用分離參數(shù)法

移項(xiàng)化簡，分離參數(shù)得，求 導(dǎo) 化 簡 得

令 h（x）=2ln x( x2+1)-2x2+2( x＞0) ，則

令.（由于判斷 h'（x）的正負(fù)較難，故繼續(xù)求導(dǎo)）.則

令 h''（x）=0，得 x=1.由于 h''（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，故有

當(dāng) x∈（0，1），h''（x）＜0，h'（x）為減函數(shù).

當(dāng) x∈（1，+∞），h''（x）＞0，h'（x）為增函數(shù).

故當(dāng) x＞0且 x≠1時(shí)有 h'（x）＞h'（1）=0.

則 h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).

故當(dāng) x∈（0，1）時(shí)，有 h（x）＜h（1）=0，這時(shí) g'（x）＜0，則 g（x）為減函數(shù)；

當(dāng) x∈（1，+∞）時(shí)，有 h（x）＞h（1）=0，這時(shí) g'（x）＞0，則 g（x）為增函數(shù).

故 當(dāng) x＞0 且 x≠ 1 時(shí)，有.

則k≤0.故k的取值范圍為（-∞，0）.

此題的解決，據(jù)同學(xué)們反映，對(duì)于方法1，掌握起來有些困難，盡管這類題訓(xùn)練的不少，但始終有不少學(xué)生弄不清楚分類的原因是什么，討論的點(diǎn)是什么，始終思路不清晰；但對(duì)于方法2，分離參數(shù)，求導(dǎo)，繼續(xù)求導(dǎo)，直到能判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)為止，通過導(dǎo)函數(shù)來判斷原函數(shù)的單調(diào)性，思路簡單，易操作，但中間用到大學(xué)內(nèi)容，須用洛必達(dá)法則去解決“”型或“”型的極限，洛必達(dá)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法。

總之，利用導(dǎo)函數(shù)解決“恒成立問題”主要有兩種思路：一種是采用分類討論的思想，另一種是分離參數(shù)，一直求導(dǎo)，直到能判斷單調(diào)性為止。無論是采用哪一種，只有掌握它的本質(zhì)，掌握常見的分析、解決問題的方法，通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，才能在應(yīng)用過程中，快速反應(yīng)，解決問題。