探尋兒童代數(shù)思維的有效途徑
——《用字母表示數(shù)》的實(shí)踐與重構(gòu)

◆魏順洪

《用字母表示數(shù)》是學(xué)習(xí)代數(shù)知識的起始課，學(xué)生由具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，對于他們來說是很抽象的，再加上許多規(guī)則與原來的習(xí)慣不同，也會(huì)因?yàn)椴涣?xí)慣而感到困難。但這些知識又是學(xué)習(xí)方程以及中學(xué)代數(shù)的重要基礎(chǔ)，我們更應(yīng)該上好這“開頭第一課”。

聽了許多節(jié)《用字母表示數(shù)》，恰好又參加了關(guān)于本課的“同課異構(gòu)”活動(dòng)。老師們從導(dǎo)入新課，到含有字母的式子表示數(shù)量、再到練習(xí)設(shè)計(jì)和數(shù)學(xué)文化的滲透，可謂不斷推陳出新。但個(gè)人覺得有一些做法值得商榷，下面結(jié)合實(shí)踐談?wù)勛约簩Ρ竟?jié)課的思考：

一、怎樣才能越過思維這道坎

讓學(xué)生經(jīng)歷用含有字母的式子表示數(shù)量的過程是本節(jié)課的重點(diǎn)。當(dāng)前老師們的做法主要有兩種，第一種方式是通過小棒擺三角形列出算式1×3、2×3、3×3、4×3……學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的三角形能擺無數(shù)個(gè)，然后老師立即拋出問題：“如果要擺a個(gè)三角形，需要多少根小棒呢？”學(xué)生根據(jù)規(guī)律說出需要“a×3”根小棒。第二種方式也是得出算式1×3、2×3、3×3、4×3……學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的算式寫不完，然后老師問：“你能用一個(gè)式子概括出所有的式子嗎？”學(xué)生的思維則比較活躍，方法有：a×3、n×3……老師高興之余，問了一個(gè)問題：“你是怎么想到的？”學(xué)生說：“因?yàn)檫@些式子中都有一個(gè)3！”

學(xué)生初次接觸用字母表示數(shù)，怎樣讓學(xué)生產(chǎn)生“用字母”的需求呢？如果把字母直接給學(xué)生，學(xué)生沿著老師鋪好的路走下去，學(xué)生的思維僅僅停留在解決老師提出的問題這個(gè)層面上，對于用字母表示數(shù)的過程和價(jià)值得不到充分的體現(xiàn)。降低了思考的難度，學(xué)生在思維上根本不能得到提升。第二種方法明顯好于第一種，學(xué)生想方設(shè)法概括這一類式子的過程，就是抽象出用含有字母的式子表示數(shù)量的過程，但從學(xué)生的思考路徑來看，“a×3”不是從數(shù)量之間的關(guān)系得到的，而是從這些算式的規(guī)律中得出的。從提升思維的角度看，不免有些遺憾！

筆者最近聽到一節(jié)課，老師是這樣處理的：老師和學(xué)生通過小棒擺三角形列出算式1×3、2×3、3×3、4×3……然后老師在屏幕上顯示了這樣一幅圖：

生急著問：老師，有多少個(gè)小角形？

師：我也不知道。

生：那怎么知道小棒的根數(shù)呀？

師：想一想，你能用什么辦法告訴別人用了多少根小棒？

（可以與人交流，大約1分鐘后。）

生1：我有辦法，我告訴他小棒的根數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍。

生2：也可以說“三角形的個(gè)數(shù)×3＝小棒的根數(shù)”。

（老師對這兩種方法都進(jìn)行了肯定）

生3：我想用n×3來表示，三角形個(gè)數(shù)不知道，我它看成n個(gè)，因?yàn)樾“舾鶖?shù)等于三角形個(gè)數(shù)乘3，所以就寫成n×3。

師：聽懂他的意思了嗎？你們喜歡哪一種方法？

生：第三種，因?yàn)檎f起來比較簡單，別人也比較容易聽懂。

生4：能不能用a×3呢？

師：你們覺得呢？

……

欣賞整個(gè)教學(xué)過程，n×3的得來好像并沒有前面那樣順暢，但我們可以發(fā)現(xiàn)：n×3的得來不是老師提供字母讓學(xué)生簡簡單單地解決了問題，也不是順著1×3、2×3、3×3、4×3……這些算式的規(guī)律得來的。學(xué)生要介紹小棒的根數(shù)，這個(gè)過程必須要學(xué)生自己去經(jīng)歷，從語言描述到用含有字母的式子表示，學(xué)生一定要緊緊抓住小棒根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)這兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生在算法多樣化與優(yōu)化的過程中經(jīng)歷了抽象的過程。同時(shí)也體會(huì)到用含有字母的式子表示小棒根數(shù)的優(yōu)越性，老師在思維上設(shè)置的這道坎，鍛煉了學(xué)生的思維，在認(rèn)識上是一個(gè)飛躍。只要越過了這道坎，前面便是“康莊大道”。

二、怎樣才能與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)完美結(jié)合

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)的起點(diǎn)。談起這節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)，很多老師便聯(lián)想到“CCTV”“KFC”，或是撲克牌式的“J、Q、K、A”，或是找規(guī)律“2、4、6、8、m”中的字母……這些情景的展示，在一定程度上增加了課堂的趣味性，我覺得以上情景的出現(xiàn)對這節(jié)課重點(diǎn)的突破沒有起到任何效果。因?yàn)楸竟?jié)課的用字母表示數(shù)有兩個(gè)重要的知識點(diǎn)(1)會(huì)用含有字母的式子表示數(shù)量；(2)知道含有字母的式子能反映數(shù)量之間的關(guān)系。使用含有字母的式子是一種需要，但必須建立在數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)之上。

那么學(xué)生已有的相關(guān)知識經(jīng)驗(yàn)是什么呢？主要有用字母運(yùn)算定律、簡單的數(shù)量關(guān)系。一位老師在課上安排了這樣一個(gè)活動(dòng)：

師：(板書:a+b=b+a)熟悉嗎？

生：這個(gè)加法結(jié)合律。

師：加法結(jié)合律為什么要用字母表示呢？

生：用字母表示比較簡單。

師：a、b分別表示什么？

生：可以表示任何數(shù)。

師：對，當(dāng)我們無法確定這個(gè)數(shù)是多少的時(shí)候，可以用字母來代替。那么a+b表示什么？

生：a+b表示任何兩個(gè)數(shù)的和。

師：數(shù)學(xué)有一個(gè)神奇之處，就是當(dāng)我們用語言表達(dá)比較麻煩的時(shí)候，也可以用含有字母的式子來表達(dá)。(投影出示下圖)

師：你能想辦法說出車上還有多少人嗎？(學(xué)生交流)

生1：車上還有a－3人。

師：大家想想看，“a－3”能不能表示車上還剩的人數(shù)。

生2：能，a可以表示任何數(shù)，只要告訴我們它等于幾，就能算出車上的人數(shù)。

師：那如果a等于20呢？

生2：17人。

師：通過“a－3”這個(gè)式子，你還能看出什么？

生1：現(xiàn)在的人數(shù)比原來少3人。

生2：原有的人數(shù)－3人=現(xiàn)在的人數(shù)。

師：看來“a－3”不僅能表示車上還剩的人數(shù)，還能反映出還剩的人數(shù)與原來人數(shù)之間的關(guān)系。

……

以前習(xí)慣了用數(shù)來表示結(jié)果，初次接觸“a－3”來表示結(jié)果，學(xué)生是不習(xí)慣的，但老師通過用字母表示運(yùn)算定律來激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)到在一個(gè)數(shù)量未知的情形之下，可以用字母來表示，很自然地過渡到用a來表示車上原有的人數(shù)，用“a－3”來描述車上還剩的人數(shù)。并且通過計(jì)算，讓學(xué)生明白當(dāng)知道了a是幾的時(shí)候，馬上就可以算出車上還剩的人數(shù)，否則就用“a－3”來表示還剩的人數(shù)。另外教師問：“通過a－3這個(gè)式子，你還能看出什么？”可以看出教師對本節(jié)課重難點(diǎn)把握得非常到位。用含有字母的式子表示數(shù)量與以前用具體的數(shù)表示數(shù)量相比，還有一個(gè)最大的特點(diǎn)，就是能反映出數(shù)量間的關(guān)系。字母式子的這個(gè)作用被教師體現(xiàn)得淋漓盡致。

三、怎樣的練習(xí)才最有效

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在評價(jià)理念中提出：對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價(jià)要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度。有效的練習(xí)設(shè)計(jì)不僅能加深對知識的理解，更能激發(fā)他們參與的熱情，是帶著積極的情感去參與練習(xí)活動(dòng)，是練習(xí)活動(dòng)是否有效的一個(gè)標(biāo)志。一位老師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)練習(xí)活動(dòng)：他出示一幅圖片(如下圖)。

師：這里的a可能表示什么？3a表示什么？

生1：a表示一本字典的單價(jià)，3a表示3本字典的價(jià)錢。

生2：a表示一本字典的質(zhì)量，3a表示3本字典一共的質(zhì)量。

生3：a表示一本字典的厚度，3a表示3本字典的厚度。

生4：a表示一本字典的頁數(shù)，3a表示3本字典的總頁數(shù)。

……

(然后教師隱去了3本字典只剩下3a。)

師：這里的a可能表示什么？3a表示什么？

生5：a表示一枝鉛筆的單價(jià)，3a枝鉛筆的總價(jià)。

生6：a表示一個(gè)西瓜的質(zhì)量，3a表示3個(gè)西瓜的質(zhì)量。

生7：a表示我的年齡，3a表示我爸爸的年齡。

(很多學(xué)生不解)

生7補(bǔ)充：因?yàn)槲?2歲,爸爸36歲，是我年齡的3倍。

……

練習(xí)最大的困難是吸引學(xué)生，這個(gè)練習(xí)改變了原來的模式，從素材的呈現(xiàn)，到練習(xí)活動(dòng)的安排和組織，都最大效度地吸引了學(xué)生的注意力，學(xué)生參與的熱情非常高。而且從學(xué)生回答問題的質(zhì)量來看，學(xué)生對本節(jié)課的知識掌握得比較到位。所以有效的練習(xí)要緊緊扣住本節(jié)課的重難點(diǎn)，要選擇與學(xué)生生活息息相關(guān)的素材，還要留給學(xué)生一些開放的空間，效果遠(yuǎn)比單純解決問題好！

總之，《用字母表示數(shù)》是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。為了今后能更好地學(xué)習(xí)方程與代數(shù)的知識，學(xué)生要產(chǎn)生用字母需求，結(jié)合數(shù)量關(guān)系用含有字母的式子表示數(shù)量。還要再通過一系列的生活問題，逐步用順向的思維來思考問題，慢慢習(xí)慣也便成了自然！