龔勤

對(duì)一道試題的深度挖掘，顯示了課堂教學(xué)的靈活性，激發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究欲望，有利于培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

一、變更主元反客為主

有些數(shù)學(xué)問題構(gòu)思新穎，同時(shí)有其實(shí)際背景，按習(xí)慣思維，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境，如果打破思維定勢(shì)，反“客”為“主”，把原來處于相對(duì)次要“客元”突出出來，常常會(huì)收到意想不到的效果。

例1：已知函數(shù)[fx=x+2k+1x]，其中k∈R，若對(duì)任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

定勢(shì)思路：先把x看成“主元”。

（1）當(dāng)[2k+1?3]，即4≤k≤7，m≤f（3），即[m≤3+2k+13]對(duì)任意k∈[4，7]恒成立，于是[m]≤6。

（2）當(dāng)[2<2k+1<3，即32

因此，當(dāng)一道題中有多個(gè)變量時(shí)，要注意考慮把其中一個(gè)變量作為自變量，其余的變量作為參數(shù)處理，此法稱之為“變更主元法”，可達(dá)到逐步減少參數(shù)使問題獲得解決。

二、借助變式，反思拓展

（一）利用變式教學(xué)揭示問題中隱含的規(guī)律

課堂教學(xué)時(shí)教師要抓住典型問題，解剖麻雀，揭示規(guī)律，思考引申，優(yōu)化解法，類比拓展。

例2：（湖南省2017屆高三六校聯(lián)考試題）已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a，b>0]）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且∣A1A2∣=4，P為橢圓上異于A1，A2的點(diǎn)，PA1和PA2的斜率之積為[-34]。問題如下：設(shè)O為橢圓中心，M，N是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△OMN面積的最大值。

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及研究直線和橢圓相交時(shí)對(duì)應(yīng)三角形面積的最值討論。

（二）常規(guī)解析

①當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為x=n，由[x24+y23=1x=n]，得[M（n，3-34n2）]，[N（n，-3-34n2）]，從而[S?OMN=12×n×23-34n2=3n2-34n4]，當(dāng)[n=±2]時(shí)，△OMN的面積取得最大值[3。]

②當(dāng)直線線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+m，

由[x24+y23=1y=kx+m]消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0。

Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12），化簡得4k2-m2+3>0。

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）則[x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2]，[∣MN∣=1+k2·x1+x22-4x1x2=43·1+k2·3+4k2-m23+4k2]，原點(diǎn)O到直線MN的距離[d]=[∣m∣1+k2]，

所以[S?OMN=12∣MN∣·d=23·3+4k2-m2·m23+4k2≤23×12=3]。

當(dāng)且僅當(dāng)3+4k2=2m2時(shí)，[S?OMN]取得最大值[3。]

綜合①②知，△OMN的面積取得最大值[3]。

三、研究拓展

結(jié)論1：已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0]）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，P為橢圓上異于A1，A2的點(diǎn)，則PA1和PA2的斜率之積為[-b2a2]，且∣A1A2∣=4。

結(jié)論2：已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，P為雙曲線上異于A1，A2，的點(diǎn)，則PA1和PA2的斜率之積為[b2a2]。

第（2）問①解法2基本不等式法：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y），則[S?OMN=2×12∣xy∣=∣xy∣≤x24+y23×12×23=3]，利用基本不等式整體處理非常簡捷。

第（2）問①解法3參數(shù)法：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M（2cosα，3sinα）]，則[S?OMN=2×12∣2cosα3sinα∣=3sin2α≤3]，利用橢圓的參數(shù)將二元問題一元化、二次問題一次化，這種解題方法思路很自然。

對(duì)一道試題的深度挖掘，脫離了以往的死板、照本宣科的教學(xué)，溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系，顯示了課堂教學(xué)的靈活性，激發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究欲望，有利于培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

四、利用變式教學(xué)完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

很多問題都潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展研究的教學(xué)功能，通過合理變式，構(gòu)造題組，讓學(xué)生在變的過程中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，在不變的本質(zhì)中探求變的規(guī)律，加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，在提高能力的同時(shí)完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例3：原題（人教版必修4第一百零八頁習(xí)題2.4B組第四題）

改編1：如圖，在半徑為[r]的定圓C中，A為圓上的一個(gè)定點(diǎn)，B為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若[AB+AC=AD]，且點(diǎn)D也圓C上，

則[AB·AC]= ________。

解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，四邊形ABCD為平行四邊形，而[∣CD∣=∣AC∣=∣BC∣=∣AB∣=r=]________，所以△ABC為正三角形，所以[AB·AC=r22]答案：[r22。]

改編2：如圖，在半徑為r的定圓C中，A為圓上的一個(gè)定點(diǎn)，B為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若[∣AC+CB∣2=∣AC-CB∣2]，則[AB·AC]= ________。

解：由[∣AC+CB∣2=∣AC-CB∣2]，得[AC·CB=0，所以AC⊥CB，所以AB·AC=r2]，答案：[r2。]