Ir是內(nèi)電壓嗎？IR是外電壓嗎？

黃亦斌郝繼光吳澤宇(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌 33007;南昌市灣里區(qū)第一中學(xué)，江西 南昌 330004)

歐姆定律

描述的是由特定物質(zhì)——金屬(和電解液)做成的導(dǎo)體的端電壓U和電流I之間的關(guān)系。如果導(dǎo)體中有非靜電力，那么就應(yīng)將其換為含源電路的歐姆定律

此外，還存在閉合電路(或全電路)的歐姆定律

而式(1)可稱為無源電路的歐姆定律。以上兩式中，E為電源電動勢;r為電源內(nèi)阻。本文討論一些相關(guān)的概念問題。

1　Ir是內(nèi)電壓嗎？——“內(nèi)電壓”和電壓概念剖析

常見的一種說法是：在式(2)中，U是外電壓，而Ir是內(nèi)電壓。教材[1]稱：式(3)中的I R(用U外表示)“是外電路上總的電勢降落”(路端電壓)，而Ir(用U內(nèi)表示)“是內(nèi)電路的電勢降落”，而文獻(xiàn)[2]、[3]皆明言：Ir“稱為內(nèi)阻電勢降”。這里說的就是內(nèi)電壓。

但I(xiàn)r是內(nèi)電壓嗎？如果是，那么它是哪兩點(diǎn)之間的電壓？是正負(fù)極之間的電壓嗎？正負(fù)極之間的電壓是路端電壓。Ir是正負(fù)極之間經(jīng)過內(nèi)電路的電壓嗎？靜電力做功與路徑無關(guān)，經(jīng)過內(nèi)電路的電壓和經(jīng)過外電路的電壓一定相同，故而還是路端電壓。可見，“Ir是哪兩點(diǎn)之間的電壓”這個(gè)問題找不到答案。

與此相關(guān)的問題是：如果Ir是內(nèi)電壓，那么其對應(yīng)的電場分布在哪里？在電源內(nèi)部？但剛才已經(jīng)說明，正負(fù)極之間經(jīng)過內(nèi)電路的電場強(qiáng)度的積分大小不是Ir而是U外=IR。所以，這個(gè)問題也找不到答案。

上述兩個(gè)問題，很可能是偽問題，因?yàn)椤皟?nèi)電壓”所指稱的電壓可能因沒有相應(yīng)的電場而根本就不存在!

仔細(xì)思考后會發(fā)現(xiàn)，在電源內(nèi)部，凡是有非靜電力的地方，其對應(yīng)靜電場的場強(qiáng)積分(即電壓)只能是式(2)中的U，而不會等于其中的Ir;而在沒有非靜電力的地方，根據(jù)式(1)，Ir才會等于電壓U。(這里的U和Ir都只針對該段導(dǎo)體而言，非整個(gè)電源的U和Ir。)

我們通常談?wù)撾娫磿r(shí)，常常默認(rèn)其內(nèi)部處處有非靜電力。有時(shí)確實(shí)如此(如切割磁感線的導(dǎo)體)，有時(shí)并非如此(如化學(xué)電池)。無論是何種情況，通通處理為“處處有非靜電力”并不會影響電流、路端電壓、功率等我們感興趣的物理量，但會影響“內(nèi)電壓”的存在性。

如圖1(a)所示，對于處處有非靜電力(圖中未畫出)的情形，從其電勢變化圖中可以看出，根本沒有哪段對應(yīng)Ir。對于圖1(b)中的化學(xué)電池，在正、負(fù)極與電解液之間極薄的反應(yīng)層(即BC段和DA段)內(nèi)，存在很大的非靜電場和與之抗衡的靜電場，導(dǎo)致電勢躍變，而且其內(nèi)阻可以忽略;而在CD段的電解液中，沒有非靜電力，只有靜電力。此時(shí)，BC段和DA段的電勢躍變之和等于電動勢，而CD間的電勢降落才等于Ir。文獻(xiàn)[1]中的圖2.7-2與此類似。

兩點(diǎn)說明：(1)化學(xué)電池中的內(nèi)電壓，僅指CD段。千萬別認(rèn)為“內(nèi)電壓”真的是指電源內(nèi)部的電壓，因?yàn)楹笳呙黠@包含3段電壓：BC段，CD段和DA段，且其代數(shù)和就等于路端電壓。(2)如果這3段電路分別有內(nèi)阻r1，r2，r3，那么Ir=I(r1+r2+r3)仍然不對應(yīng)任何電壓，僅Ir2才等于CD段電壓(這其實(shí)就是無源電路的歐姆定律)。

圖1　電路圖和電勢隨回路的變化圖

總之，我們常說的“內(nèi)電壓”(或“內(nèi)電路的電勢降落”“內(nèi)阻電勢降”)這一概念其實(shí)是需要小心使用的。在有非靜電力的地方(尤其在電磁感應(yīng)中的動生或感生電動勢場合)，確實(shí)存在電壓，但不是等于Ir的那種“內(nèi)電壓”;后一種“電壓”和相應(yīng)的電場其實(shí)不存在。電源內(nèi)部僅在非靜電力不存在的地方，才存在等于Ir的內(nèi)電壓(這里r僅為該段的電阻)。但這跟電源外部存在等于IR的電壓沒什么本質(zhì)不同。教材[1]講解的恰是化學(xué)電池，且假定了r1=r3=0，故Ir確實(shí)等于內(nèi)電壓(CD段)。

還可以看出，“外電壓”一詞是具有誤導(dǎo)性的，它讓人以為，從正極到負(fù)極，經(jīng)過外電路還是經(jīng)過內(nèi)電路，其電壓不同。實(shí)際上，由于靜電場的保守性∮E·d l=0，從正極到負(fù)極的任意路徑的電壓都相等，不論是經(jīng)過內(nèi)電路還是外電路，也不論是經(jīng)過導(dǎo)體內(nèi)部還是外部。圖2(a)中的4條路徑的電壓全部相等。(注意導(dǎo)線表面以及不同金屬交界面上都會有或正或負(fù)的凈電荷分布，而所有電荷的共同作用將使得上述論斷成立。圖中只畫出了電源兩極的電荷。)故最好的做法是只使用“路端電壓”的稱呼。

“內(nèi)電壓”一詞則具有更大的誤導(dǎo)性。首先，等于Ir的“內(nèi)電壓”不一定存在。即使存在，它也不是電源內(nèi)部兩極間的電壓。而在化學(xué)電池中，CD間(見圖2(b))經(jīng)過路徑1(內(nèi)電路)的電壓和經(jīng)過路徑2(兩個(gè)反應(yīng)層和外電路)的電壓相等，都是所謂的“內(nèi)電壓”。這里的“內(nèi)”字頂多表明C、D兩點(diǎn)在電源內(nèi)部而已，對路徑?jīng)]有任何限制。另外，我們引入“內(nèi)電壓”其實(shí)只是想指稱Ir而已，而從下面的分析可以看出Ir有另外的意義和表達(dá)。故而應(yīng)該摒棄“內(nèi)電壓”“內(nèi)阻電勢降”等詞匯。

圖2　電壓的路徑無關(guān)性

2　IR是外電壓嗎？——IR(和Ir)的物理意義

注意筆者說的是“Ir等于內(nèi)電壓”，而不是“Ir是內(nèi)電壓”。前者是指數(shù)值相等，而后者是術(shù)語定義。我們只能說：

(1)場強(qiáng)的線積分(或位移在場強(qiáng)方向分量與場強(qiáng)的乘積)是電壓;

(2)Ir等于內(nèi)電壓，IR等于外電壓。

第一句是定義，而第二句指數(shù)值關(guān)系。把第一句中的“是”換為“等于”，我們?nèi)阅軐⑵湔_地理解為是定義，但將第二句中的“等于”換成“是”，則極易被認(rèn)為是定義而造成概念混亂。

為了說明電壓U和IR(或Ir)確實(shí)是兩碼事，我們看一些例子。①對于有非靜電力的一段金屬，根據(jù)式(2)，U≠Ir，即Ir不等于電壓。②對于無非靜電力的非線性元件，歐姆定律式(1)不成立：U的意義明確，而R和IR無甚意義，“I R是否是電壓”更無從談起。

那么，對于無非靜電力的金屬導(dǎo)體(這是線性元件)，式(1)一定成立嗎？或者，金屬導(dǎo)體的I R在原則上到底表示什么物理意義？我們需要從微觀上重新審視歐姆定律。

許多教材[2-5]都從微觀上用經(jīng)典理論解釋了歐姆定律的來源。當(dāng)加上電場E后，電子在熱運(yùn)動速度的基礎(chǔ)上疊加定向運(yùn)動速度。但電子與晶格(即金屬骨架，或晶體點(diǎn)陣的原子實(shí))碰撞后該定向運(yùn)動速度消失，電子被重新加速，作勻加速運(yùn)動。于是，平均定向速度v與場強(qiáng)成正比：|v|∝|E|。然后利用電流密度的表達(dá)式

(q=-e為電子電量;n為單位體積內(nèi)的自由電子數(shù))便得到歐姆定律的微分形式

其中ρ就是電阻率。對于一段均勻?qū)w，利用U=El，I=JS，R=ρl/S，上式即變?yōu)槌Ｒ姷臍W姆定律式(1)。

從平均意義上來講，電子受靜電力Fe=q E作用在晶格中作勻速運(yùn)動，形成穩(wěn)恒電流。但怎么能平衡呢？注意微觀解釋中還有一個(gè)因素——與晶格的碰撞，故而平均來說，是晶格施予的阻力f與靜電力平衡(如圖3(a)所示)：

圖3　平均而言電子受力平衡

考慮到靜電力Fe的宏觀體現(xiàn)是式(1)中的U，故而式(6)與式(1)必須相當(dāng)，也就是說，IR的物理本質(zhì)就是晶格施予電子的(平均)阻力!具體地，f=-Fe=-q E，考慮到式(5)和式(4)，有

這可以視為晶格阻力的決定式，它與自由電子的(平均定向)速度成正比。而在導(dǎo)體(或晶格)也有運(yùn)動的情形，式(7)顯然需要修改為

其中v′是電子相對于晶格的速度。這就是說，晶格阻力永遠(yuǎn)阻礙電子與晶格的相對運(yùn)動。式(7)和式(8)可以成為討論普通金屬電流的一個(gè)原始出發(fā)點(diǎn)。

既然U是靜電力的體現(xiàn)，其意義是靜電力對單位電荷所做的功，那么IR作為晶格阻力的體現(xiàn)，其意義就是晶格(平均)阻力對(作平均定向運(yùn)動的)單位電荷所做的功。

在含源電路情形，電子受靜電力Fe=q E、晶格阻力f和非靜電力Fk=q K(K為非靜電場強(qiáng))這3個(gè)力而平衡(如圖3(b)和下文表1所示)：

將式(7)代入，即得

這就是含源電路歐姆定律的微分形式。它表明，靜電場強(qiáng)和非靜電場強(qiáng)的矢量和決定了電流的大小和方向?？紤]電源內(nèi)部從負(fù)極到正極的位移l，注意E=K·l，U=-E·l，ρJ·l=Ir，由式(10)即可導(dǎo)出積分形式式(2)(其中的U和I為代數(shù)量，正方向的規(guī)定見圖4)。

圖4　線性電源的伏安特性曲線及5種可能狀態(tài)

一般而言，電源有5種可能的狀態(tài)：①充電;②斷路;③普通放電;④短路;⑤異常放電(電流正向，且大于短路電流)。它們在電源的伏安特性曲線上的對應(yīng)如圖4所示。電子受力平衡關(guān)系式(9)、含源電路歐姆定律的微分形式式(10)及其普通積分形式式(2)這3個(gè)關(guān)系，在電源的不同狀態(tài)下有不同的表現(xiàn)。表1例舉了3種情形，其中所有的標(biāo)量都是非負(fù)的算術(shù)量。從中可以反復(fù)看出，Ir源自晶格阻力，與靜電力和電壓無關(guān)。

表1　電源狀態(tài)與對應(yīng)的微觀圖像舉例

續(xù)表

3　無電壓、但有Ir的情形

由于晶格阻力與靜電力、非靜電力無邏輯關(guān)聯(lián)，故而它并不必然跟后者平衡，從而式(1)～(3)并不必然成立。由此引出兩個(gè)問題：首先，為什么通常只見到它們成立的情況？那是因?yàn)殡娮淤|(zhì)量太小，通常作無慣性處理。此時(shí)電子受力必須平衡，即使有加速度(平均而言)也是如此。不論是各種暫態(tài)電流還是交流電，我們都使用式(1)～(3)，即默認(rèn)電流跟電壓與電動勢之和永遠(yuǎn)同步變化。這其實(shí)就是說，微觀上式(9)總成立。

其次，式(1)～(3)何時(shí)不成立？自然是必須考慮電子慣性的特殊情形。此時(shí)，式(9)需修改為

將速度v用J表示(見式(4))，把式(7)代入，可知對應(yīng)的歐姆定律的微分形式(10)和積分形式的式(2)就要分別修改為

和

1916年，Tolman和Stewart使一塊金屬快速往復(fù)運(yùn)動，并測到了交變電流。這顯然是由于電子有慣性而跟不上晶格的運(yùn)動所致，與電動勢和電壓無關(guān)。由此測出的荷質(zhì)比與陰極射線中電子的荷質(zhì)比相當(dāng)，證明金屬中的載流子就是自由電子。文獻(xiàn)[5]指出，歐姆定律要求場強(qiáng)的變化周期遠(yuǎn)大于電子平均定向運(yùn)動時(shí)間。如果頻率高過微波段，電流與場強(qiáng)將不再同相位。這就是說，電子慣性開始起作用了。這些例子中出現(xiàn)的電流與通常的穩(wěn)恒電流、暫態(tài)電流和交流電截然不同，可將后者稱為“同步電流”(滿足式(9)、(10)和式(2))，而將前者稱為“非同步電流”(滿足式(11)～(13))。

由于IR只是晶格阻力的表現(xiàn)，焦耳熱功率也就應(yīng)該只是阻力生熱的功率。具體地，一段導(dǎo)體內(nèi)有n Sl個(gè)自由電子，每個(gè)電子所受阻力的功率為f·v，故總功率為

這就是焦耳熱功率?；蛘?，由于IR是阻力對單位電荷所做的功，將其乘以電量d q=I d t，即得阻力做功為I2R d t，也得到焦耳熱。

例如，考慮一個(gè)金屬環(huán)繞垂直于環(huán)面的對稱軸勻速轉(zhuǎn)動，然后被突然卡住(即晶格突然靜止)。此時(shí)環(huán)中會出現(xiàn)由于電子慣性導(dǎo)致的“非同步電流”，可用式(13)(令E=U=0)處理。經(jīng)過一段時(shí)間后電流消失，電子(定向運(yùn)動)動能轉(zhuǎn)化為焦耳熱。這里沒有任何靜電力、電壓和電功率，卻出現(xiàn)了焦耳熱。若考慮自感，可把E=-L d I/d t代入式(13)，其能量轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)中多了磁場能，但仍未出現(xiàn)靜電場、電場能和電功率。

4　小結(jié)與命名

文獻(xiàn)[3]指出：“從金屬經(jīng)典理論來看，電阻反映的是自由電子與晶體點(diǎn)陣上的原子實(shí)碰撞造成對電子定向運(yùn)動的破壞作用，這也是電阻元件產(chǎn)生焦耳熱的原因?！北疚挠^點(diǎn)與此相符。電流和電阻相伴而生：因?yàn)橛小傲鳌?定向運(yùn)動)，所以受“阻”;阻力正比于速度，從而正比于電流。這才是電流和電阻的物理本質(zhì)，從而跟電場、電壓無必然聯(lián)系。

可見，將Ir稱為內(nèi)電壓(如果確實(shí)存在這么一段電壓的話)、將I R稱為外電壓，這些做法是不合適的。非靜電力和阻力都不是靜電力，從而E和IR都不是電壓，就像不能把熱量、功和能量當(dāng)成一回事一樣。當(dāng)然，這種做法也可以理解，因?yàn)樗鼈兙哂邢嗤膯挝?，可以相加減，而且IR本身的物理意義很少被明確，連一個(gè)稱謂都沒有，更別提字母代號了。之所以將I R和Ir稱為電壓，一個(gè)可能的原因就是無以名之，只好用“電壓”將就，久而久之還真把它們當(dāng)電壓了。

根據(jù)以上分析，IR具有獨(dú)立、明確的物理意義，該享有配備稱謂的待遇。思來想去，也許稱IR為“流阻”比較合適，記為H。如果這樣，則物理量“流阻”H的意義是晶格(平均)阻力對(作平均定向運(yùn)動的)單位電荷所做的功，與電流成正比，定義式是H=IR(正如電壓的定義U=El)，單位是V。3個(gè)歐姆定律(1)～(3)式可分別寫為U=H、E=U+H內(nèi)和E總=H外+H內(nèi)，它們都只對“同步電流”成立?！傲髯琛笨梢詥为?dú)存在，獨(dú)立于電動勢和電壓。如果不引入“流阻”一詞，不介紹IR的物理意義，那么只能說“通常I R等于電壓(或電動勢與電壓之差)”，其中“通常”是指普通的“同步電流”，“等于”是指僅數(shù)值相等。

當(dāng)然，“流阻”H這個(gè)概念存在的前提是線性條件，該條件可以用阻力決定式式(7)來表征。實(shí)際上，各種歐姆定律的成立和電動勢、內(nèi)阻等概念的存在原則上皆以線性條件為前提。(式(12)、(13)仍可冠名為“歐姆定律”，因?yàn)槠涫褂昧朔从尘€性特征的式(7)，出現(xiàn)了ρJ和Ir項(xiàng)。)具體地，當(dāng)某元件(電阻或電源)的伏安特性曲線是直線時(shí)，我們用其斜率定義其電阻(內(nèi)阻)，用其與U軸的交點(diǎn)定義電動勢。而在非線性情況下，我們只能得到一條較為一般的伏安特性曲線而已。如果該曲線仍有一些較好的性質(zhì)，那么也許可以據(jù)此定義出一些物理量來，但這些物理量的意義高度依賴于該曲線的具體性質(zhì)。而電流、電壓則與線性條件無關(guān)，比如在畫一條一般的伏安曲線(非線性)時(shí)就使用了電流、電壓的概念。

5　幾點(diǎn)附注

首先，式(2)和式(3)的區(qū)別不僅僅是做了一次代換那么簡單。式(1)和式(2)都針對部分導(dǎo)體，屬局部特征，都存在微分形式(見式(5)和式(10));但式(3)針對全電路，屬整體特征，無微分形式，其中的E=∮K·d l是全電路的總電動勢，而電壓由于∮E·d l=0而消失。

其次，保守與否決定了談?wù)摗皟?nèi)”“外”是否不妥。前面談到，“外電壓”有誤導(dǎo)性，“內(nèi)電壓”問題更大，其基本原因就是靜電力是保守力，這導(dǎo)致電壓無需“內(nèi)”“外”這種詞匯來加以限定。但對于式(10)中非保守的非靜電力和阻力，由于∮K·d l=E≠0，∮ρJ·d l=∑iIiRi≠0，從而兩點(diǎn)間的積分對不同的路徑(經(jīng)過內(nèi)電路還是外電路)會不同，故而談?wù)摗皟?nèi)外”是有意義的，如內(nèi)阻、外阻、“外電動勢”(如電動機(jī)的反電動勢)等。

另外，有人認(rèn)為式(3)只適用于純電阻電路，這其實(shí)要看其中的E指什么。以電路中含電動機(jī)為例。對全電路而言有

其中，r′為電動機(jī)的內(nèi)阻;E反為電動機(jī)的反電動勢，它把電能轉(zhuǎn)化為動能。若僅把E源當(dāng)成式(3)中的E，那么式(3)確實(shí)只適用于純電阻電路;但若把所有的電動勢和反電動勢都算成E(畢竟它們都是非靜電力)，則有

此時(shí)式(3)就當(dāng)然適用于所有電路。實(shí)際上，電路中除了靜電力就是非靜電力和阻力，而∮E·d l=0保證總電壓(或靜電力項(xiàng))一定消失，從而只剩下非靜電力項(xiàng)(表現(xiàn)為總電動勢)和阻力項(xiàng)(表現(xiàn)為總“流阻”)。故而，只要對E作出適當(dāng)?shù)慕忉?，?3)就適用于一般電路(當(dāng)然以“同步電流”和線性條件為前提)。