兩共焦拋物導(dǎo)體柱板間的電勢和電場

賈秀敏

(河北科技大學(xué) 理學(xué)院， 河北 石家莊 050018)

如圖1所示，由于長直共軸共焦拋物導(dǎo)體柱板在空間產(chǎn)生的電場與軸無關(guān)，是垂直于軸的橫截面上的二維場問題.文獻(xiàn)[1-3]分別采用拋物柱坐標(biāo)、高斯定理和復(fù)勢函數(shù)法對此問題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[4]采用不同坐標(biāo)系的度規(guī)系數(shù)簡化求解拉普拉斯方程.本文引入導(dǎo)體曲面函數(shù)，將解偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為一般的積分運(yùn)算，簡便直觀地導(dǎo)出了共軸共焦拋物導(dǎo)體柱板間的電場分布.

圖1 共焦共軸拋物柱板Fig. 1 Two confocal parabolic conductor plates

1 解拉普拉斯方程

設(shè)f(x,y,z)為具有連續(xù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，c為參數(shù)，則

f(x,y,z)=c

(1)

表示一空間曲面族[5].若任取2個(gè)滿足f(x,y,z)的薄導(dǎo)體曲面并帶電，則曲面間的電勢u滿足拉普拉斯方程，而該電勢在薄導(dǎo)體曲面上的取值為常量，說明電勢u是f(x,y,z)的函數(shù).

因?yàn)?/p>

所以

積分2次得曲面間的電勢

(2)

其中，A、B為積分常數(shù).

2 拋物板間的電勢分布

(3)

其中拋物板l1對應(yīng)c=c1，電勢為u1；拋物板l2對應(yīng)c=c2，電勢為u2，由于板間電勢u滿足拉普拉斯方程，故將相應(yīng)參量代入式(2)，即可計(jì)算拋物板間的電勢.

(4)

所以

(5)

式(5)給出的兩拋物導(dǎo)體柱板間的電勢分布與文獻(xiàn)[1] 結(jié)果相同.

3 拋物板間的電場強(qiáng)度

(6)

由式(6)可得電場線滿足微分方程:

(7)

兩邊積分得

即

(8)

式(8)即為拋物柱板間的電場線方程.

由式(6)可知，柱板間電場強(qiáng)度大小為

(9)

故拋物板上電荷面密度為

(10)

說明拋物導(dǎo)體板上的電荷分布是不均勻的，越靠近拋物柱弧頂，電荷密度越大，而在較遠(yuǎn)處，電荷密度幾乎為0.

通過導(dǎo)體曲面函數(shù)，利用積分導(dǎo)出了共軸共焦的拋物導(dǎo)體柱板間的電場分布，并給出了導(dǎo)體板上的電荷分布情況.該方法為計(jì)算等勢面規(guī)范的帶電導(dǎo)體產(chǎn)生的電場提供了新思路，有利于對靜電問題的研究.