完全非彈性碰撞中的動能損失

董靜雨

(石家莊市第二中學(xué)　河北 石家莊　050000)

2017年高考改革，將《物理·選修3-5》列為必考內(nèi)容，在2018年高考中，與動量相關(guān)的知識也有很大可能成為高考熱點．在動量守恒類問題中，碰撞問題，高考只要求一維情況，而在一維碰撞中，又可分為彈性碰撞、非彈性碰撞和完全非彈性碰撞3大類．其中，完全非彈性碰撞為重點問題，其特點是兩物體碰撞后共速且有最大動能損失．

1　完全非彈性碰撞中的動能損失

在一般參考書中，對于完全非彈性碰撞的討論僅限于碰撞過程中動量守恒

m1v1+m2v2=(m1+m2)v共

碰撞過程中動能損失最多

對于以上兩個方程的解，并沒有做過多的說明．

我們在平時做題過程中，會遇到大量的完全非彈性碰撞問題，對于大多數(shù)的題目都要求解以上兩個方程．為此，我們不妨先求解以上兩個方程的一般解的形式．

如果令

u=v1-v2

那么在碰撞過程中系統(tǒng)損失的動能為

通過求解發(fā)現(xiàn)，碰撞中損失的動能具有相當(dāng)簡潔的形式．對于這一結(jié)果，我們可以從如下角度討論．

2　在質(zhì)心系中探究動能損失

由于碰撞類問題常忽略外力作用，故在質(zhì)心參考系中進(jìn)行討論是非常方便的．

根據(jù)柯尼希定理，質(zhì)點系相對于基本參考系的動能等于質(zhì)心動能和各質(zhì)點相對于質(zhì)心參考系的動能(簡稱相對動能)之和，有

式中M為質(zhì)點系中各質(zhì)點質(zhì)量總和，vc為質(zhì)心相對于基本參考系的速度，mi為各質(zhì)點質(zhì)量，vic為各質(zhì)點相對于質(zhì)心的速度．

一維兩體碰撞問題中，設(shè)兩質(zhì)點質(zhì)量分別為m1和m2，兩質(zhì)點相對于基本參考系的速度分別為v1和v2，兩質(zhì)點相對質(zhì)心的速度分別為v1c和v2c．質(zhì)點1相對于質(zhì)點2的相對速度

u=v12=v1-v2=v1c-v2c

因為質(zhì)心系為零動量參考系，即質(zhì)心系中質(zhì)點系的總動量必為零，故有

m1v1c+m2v2c=0

聯(lián)立以上兩方程解得

在質(zhì)心系中，二質(zhì)點相對于質(zhì)心系的相對動能為

根據(jù)柯尼希定理，二質(zhì)點系的動能可以寫為質(zhì)心動能與兩質(zhì)點在質(zhì)心系的相對動能之和

3　實例分析

在清楚了完全非彈性碰撞中動能如何損失之后，對于高三復(fù)習(xí)中遇到的此類問題的求解將帶來便利．碰撞中損失的動能可以轉(zhuǎn)化為內(nèi)能：如子彈打木塊、板塊；轉(zhuǎn)化為勢能：彈簧壓縮到最短(拉伸到最長)，物塊滑上光滑水平面上的非固定光滑斜面到最高點．

【例1】如圖1所示，在光滑的水平面上有一質(zhì)量為M的長木板，以速度v0向右做勻速直線運動，將質(zhì)量為m的小鐵塊輕輕放在木板上的A點，這時小鐵塊相對地面速度為零，小鐵塊相對木板向左滑動．由于小鐵塊和木板間有摩擦，最后它們之間相對靜止，已知它們之間的動摩擦因數(shù)為μ，問：在全過程中有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能？

解析：小鐵塊放到長木板上后，由于它們之間有摩擦，小鐵塊做加速運動，長木板做減速運動，最后

達(dá)到共同速度，一起勻速運動．過程中小鐵塊和長木板動量守恒，最終為共速狀態(tài)，故該過程可等效為完全非彈性碰撞，因此全過程所產(chǎn)生的內(nèi)能為損失的全部相對動能為

圖1　例1題圖

【例2】如圖2所示，質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上，滑塊的光滑弧面底部與水平面相切，一質(zhì)量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設(shè)小球不能越過滑塊，求小球滑到的最大高度？

圖2　例2題圖

由此求得小球上升的最大高度為

以上關(guān)于完全非彈性碰撞模型的分析，從高中物理水平上升到普物水平，有助于師生從理論角度對完全非彈性碰撞過程中能量的損失與轉(zhuǎn)化的把握，從而在實際解題過程中迅速解決問題．

參 考 文 獻(xiàn)

1舒幼生. 力學(xué)(物理類). 北京： 北京大學(xué)出版社，2005. 152～153

2程稼夫.力學(xué)篇.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2013.197～198