◎穆軍芬　王志京

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津　300401)

極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation)法是獲得參數(shù)估計(jì)量的一種廣泛使用的方法.極大似然估計(jì)量具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，只要總體分布滿(mǎn)足一定的條件，則可證明極大似然估計(jì)量具有漸進(jìn)正態(tài)性、漸進(jìn)有效性、一致性等性質(zhì)，在一定意義下沒(méi)有比極大似然估計(jì)量更好的估計(jì)，所以熟練掌握極大似然估計(jì)量的求法是非常重要的.

下面先介紹本文將要用到的知識(shí)點(diǎn).

求極大似然估計(jì)的一般步驟[1]：

(1)由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度函數(shù));

(2)把樣本的聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度函數(shù))中的自變量看成已知常數(shù)，而把參數(shù)θ看作自變量，得到似然函數(shù)L(θ);

(3)求似然函數(shù)L(θ)的最大值點(diǎn)(常常轉(zhuǎn)化成求lnL(θ)的最大值點(diǎn))，即θ的極大似然估計(jì)量.

極大似然估計(jì)的基本思想：求參數(shù)的估計(jì)量使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率最大.

對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，若總體分布已知，則已基本掌握了求極大似然估計(jì)的一般步驟，但在總體分布未知時(shí)，就無(wú)法寫(xiě)出似然函數(shù)，從而無(wú)法用一般步驟去求極大似然估計(jì)量.此時(shí)，可考慮用極大似然估計(jì)的基本思想，極大似然估計(jì)不變性等去求極大似然估計(jì)量.

本文的目的是通過(guò)靈活運(yùn)用極大似然估計(jì)的一般步驟、基本思想及極大似然估計(jì)不變性給出一道極大似然估計(jì)題的三種解法，以激發(fā)學(xué)生對(duì)相關(guān)極大似然估計(jì)的解題方法進(jìn)行探索.

例[3]為了估計(jì)池中魚(yú)的數(shù)量N，先從池中撈出r條魚(yú)，做記號(hào)后再放回池中，再撈出s條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中帶記號(hào)的魚(yú)有x條，據(jù)此求N的極大似然估計(jì)量.

從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，普遍反映這道題沒(méi)給出總體的分布，無(wú)法寫(xiě)出似然函數(shù)，從而無(wú)法用一般步驟去求N的極大似然估計(jì)量.下面給出該題的三種解法.

解法一設(shè)總體

即總體為0-1分布，其概率函數(shù)為

P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1，0

則從池中隨機(jī)撈出s條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中帶記號(hào)的魚(yú)有x條，可看作是從總體X中隨機(jī)抽取樣本容量為s的樣本X1,X2,…,Xs,其中這s個(gè)樣本中有x個(gè)取值為1，有s-x個(gè)取值為0.

所以似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)=px(1-p)s-x,

從而lnL(p)=xlnp+(s-x)ln(1-p)，

解法二設(shè)隨機(jī)變量

解法三從池中隨機(jī)撈出s條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中帶記號(hào)的魚(yú)有x條，這一事件發(fā)生的概率為

下面按如下的方法去求L(N)的最大值點(diǎn)：

即L(N)為單增的；

即L(N)為單減的.

在方法一中，需自己尋找總體分布，從而找到似然函數(shù)，按求極大似然估計(jì)的一般步驟求得概率p的極大似然估計(jì)量，再由極大似然估計(jì)不變性可得N的極大似然估計(jì).在方法二中，沒(méi)有找似然函數(shù)，而是將事件發(fā)生的概率用p表示，由極大似然估計(jì)的基本思想求p的極大似然估計(jì)量，再由極大似然估計(jì)不變性可得N的極大似然估計(jì).在方法三中，直接將事件發(fā)生的概率用N表示，由極大似然估計(jì)的基本思想求得N的極大似然估計(jì)量.在這三個(gè)方法中，顯然前兩個(gè)方法相對(duì)來(lái)說(shuō)要簡(jiǎn)單點(diǎn).

經(jīng)過(guò)探索、嘗試后通過(guò)一種巧妙的方法完成題目的計(jì)算，能夠讓人體悟到數(shù)學(xué)的美實(shí)在是一種享受，希望借此給讀者一點(diǎn)啟示.