， ，

(1.裝備學(xué)院研究生院， 北京 101416； 2.裝備學(xué)院光電裝備系， 北京 101416)

0 引言

當(dāng)雷達(dá)信號(hào)波長(zhǎng)與雷達(dá)目標(biāo)的特征尺寸相當(dāng)時(shí)，雷達(dá)工作在諧振區(qū)，雷達(dá)回波中會(huì)存在諧振現(xiàn)象。極點(diǎn)是雷達(dá)目標(biāo)在諧振區(qū)的最主要特性[1]。由于極點(diǎn)與目標(biāo)相對(duì)姿態(tài)、雷達(dá)極化方式無(wú)關(guān)，只與目標(biāo)本身的大小、形狀、材料等有關(guān)，因此可以作為雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別的一種途徑。與光學(xué)區(qū)相比，可以克服姿態(tài)敏感性，具有更大的應(yīng)用前景。根據(jù)奇點(diǎn)展開理論[2]，諧振區(qū)雷達(dá)目標(biāo)的后時(shí)響應(yīng)可以用極點(diǎn)的衰減復(fù)指數(shù)和表示。矩陣束法是當(dāng)前綜合性能較好、運(yùn)用最廣的極點(diǎn)提取算法[3-4]。在使用矩陣法提取極點(diǎn)時(shí)，普遍存在虛假極點(diǎn)的問(wèn)題。大量的虛假極點(diǎn)使真實(shí)極點(diǎn)難以被區(qū)分，更影響了極點(diǎn)作為一種雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別方式的精度。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文首先從試驗(yàn)的角度分析不同定階參數(shù)下矩陣束估計(jì)極點(diǎn)的分布規(guī)律,根據(jù)矩陣束提取極點(diǎn)的分布特性，通過(guò)DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise)對(duì)不同階數(shù)下提取的極點(diǎn)集進(jìn)行聚類，實(shí)現(xiàn)了真實(shí)極點(diǎn)與虛假極點(diǎn)的區(qū)分，最終提取出真實(shí)有效的極點(diǎn)。為理論分析與對(duì)比方便，本文分別采用了細(xì)桿和球體作為諧振區(qū)目標(biāo)，通過(guò)理論計(jì)算兩類目標(biāo)極點(diǎn)的解析解與電磁計(jì)算實(shí)驗(yàn)提取的極點(diǎn)對(duì)比，驗(yàn)證了算法的正確性。

1 經(jīng)典矩陣束法估計(jì)極點(diǎn)

1.1 經(jīng)典的矩陣束法

使用矩陣束法估計(jì)信號(hào)極點(diǎn)，首先由時(shí)域信號(hào)y構(gòu)造Hankel矩陣Y：

(1)

然后對(duì)Y進(jìn)行奇異值分解Y=USVT，U，V分別為Y的左奇異矩陣和右奇異矩陣。分別去掉V第一行和最后一行得到V1，V2。取U的前M列為U′，構(gòu)造矩陣Y1，Y2：

(2)

(3)

1.2 矩陣束法的階數(shù)估計(jì)方法

目前用于矩陣束法的階數(shù)估計(jì)方法主要有比較奇異值[5]、最小二乘法[6]和最小描述長(zhǎng)度(MDL)法[7]。

比較奇異值大小的方式實(shí)用性差，因?yàn)閷?duì)于實(shí)測(cè)或電磁仿真計(jì)算獲得的信號(hào)，其奇異值大小變化通常比較均勻，難以直接以奇異值大小確定階數(shù)。

最小二乘法遍歷所有可能階數(shù)，用矩陣束提取極點(diǎn)，然后用留數(shù)和極點(diǎn)分別重構(gòu)信號(hào)。得到的重構(gòu)信號(hào)ym與原始信號(hào)y比較，計(jì)算誤差：

(4)

選取平方誤差最小時(shí)的m值為估計(jì)結(jié)果。最小二乘法存在兩個(gè)問(wèn)題，一是方程病態(tài)導(dǎo)致留數(shù)誤差，此時(shí)即使極點(diǎn)準(zhǔn)確，重構(gòu)誤差也會(huì)很大；二是由于以最佳重構(gòu)為準(zhǔn)則，無(wú)法剔除采集信號(hào)本身帶來(lái)的虛假極點(diǎn)。

最小描述長(zhǎng)度(MDL)法是1978年Rissane提出的[8]。該方法定義階數(shù)m的函數(shù)：

MDL(m)=-2L(θ)+mlnN

(5)

MDL值最小時(shí)的m為模型階數(shù)的估計(jì)值，文獻(xiàn)[7]給出了對(duì)于極點(diǎn)階數(shù)問(wèn)題的L(θm)推導(dǎo)過(guò)程。MDL法可以準(zhǔn)確估計(jì)出理想信號(hào)的階數(shù)，但對(duì)于仿真和實(shí)測(cè)信號(hào)，其結(jié)果會(huì)大于真實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

1.3 矩陣束估計(jì)極點(diǎn)的分布特性

矩陣束法虛假極點(diǎn)的成因可以概括為兩點(diǎn)：一方面，現(xiàn)有的極點(diǎn)個(gè)數(shù)估計(jì)算法的結(jié)果為真實(shí)極點(diǎn)與虛假極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和；另一方面，即使在正確的階數(shù)下，某些觀測(cè)角下也可能因?yàn)閭€(gè)別極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的奇異值過(guò)小而丟失，提取出奇異值更大的虛假極點(diǎn)。矩陣束法的定階問(wèn)題概括為：1)定階比真實(shí)值小，遺漏部分真實(shí)極點(diǎn)；2)定階與真實(shí)值相符，可能有虛假極點(diǎn)代替真實(shí)極點(diǎn)；3)定階比真實(shí)值大時(shí)，引入虛假極點(diǎn)。

真實(shí)極點(diǎn)和虛假極點(diǎn)具有不同的分布特性，可以通過(guò)這些特性確定極點(diǎn)的真實(shí)性。真實(shí)極點(diǎn)具有以下特性：1)根據(jù)奇點(diǎn)展開理論，極點(diǎn)是衰減的，實(shí)部小于零；2)獲得極點(diǎn)在激勵(lì)信號(hào)的帶寬范圍之內(nèi)；3)實(shí)信號(hào)的極點(diǎn)是共軛對(duì)稱的。由以上性質(zhì)，可以剔除一部分虛假極點(diǎn)，但是也存在同時(shí)滿足以上條件的虛假極點(diǎn)。對(duì)比不同階數(shù)的極點(diǎn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，真實(shí)極點(diǎn)的分布具有穩(wěn)定性，而虛假極點(diǎn)位置變化大。也就是說(shuō)，不同階數(shù)下，真實(shí)極點(diǎn)聚集，虛假極點(diǎn)分散，真實(shí)極點(diǎn)附近區(qū)域的密度遠(yuǎn)高于其他區(qū)域。

2 基于DBSCAN的極點(diǎn)篩選分類

2.1 DBSCAN算法

DBSCAN 是一種經(jīng)典的密度聚類算法。DBSCAN定義了以下概念[9]：1)鄰域：給定對(duì)象集D，?p∈D，以對(duì)象p為中心，半徑為eps的鄰域；2)密度：對(duì)象p鄰域內(nèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；3)核心點(diǎn)：對(duì)象p鄰域的密度大于密度閾值Minpts，則定義p為核心點(diǎn)；4)噪聲點(diǎn)：對(duì)象p不屬于任何簇，則p為噪聲；5)直接密度可達(dá)：對(duì)象q和p，q∈p的鄰域，且p為核心點(diǎn)，則q從p直接密度可達(dá)；6)密度可達(dá)：?[p1,p2,…，pm]∈D，若滿足pi+1是從pi直接密度可達(dá)的，則pm是從密度可達(dá)的p1；7)密度互連：對(duì)象o,p,q，對(duì)象p和q是從o關(guān)于eps和Minpts密度可達(dá)，那么p和q關(guān)于eps和Minpts密度互連。

DBSCAN的核心思想概括為[10]：從任意選定的數(shù)據(jù)點(diǎn)出發(fā)，不斷向密度可達(dá)的區(qū)域擴(kuò)張，從而得到一個(gè)包含核心點(diǎn)和邊界點(diǎn)的最大化區(qū)域，區(qū)域中任意兩點(diǎn)密度互連。聚類過(guò)程從對(duì)象集D中任意對(duì)象p開始，若p的半徑eps鄰域密度達(dá)到密度閾值Minpts，則建立一個(gè)p為核心點(diǎn)的簇，否則尋找下一個(gè)對(duì)象。找到核心點(diǎn)p后，在p鄰域內(nèi)的直接密度可達(dá)對(duì)象中繼續(xù)尋找核心對(duì)象。重復(fù)此過(guò)程尋找這些核心點(diǎn)的直接密度可達(dá)對(duì)象，并合并密度可達(dá)的簇。當(dāng)沒(méi)有新對(duì)象添加到任何簇時(shí)，聚類過(guò)程結(jié)束。

2.2 極點(diǎn)集的構(gòu)造

在不同階數(shù)時(shí)用矩陣束法計(jì)算信號(hào)的極點(diǎn)，算得的所有極點(diǎn)構(gòu)成極點(diǎn)集，用于聚類分析。極點(diǎn)集的階數(shù)選取要大于目標(biāo)的真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，小于最小描述長(zhǎng)度(MDL)估計(jì)的個(gè)數(shù)。為了減少運(yùn)算量，不需要對(duì)符合上述要求的全部階數(shù)進(jìn)行計(jì)算，選取部分即可，本文選取了要求范圍內(nèi)的11個(gè)階數(shù)構(gòu)成極點(diǎn)集。獲得極點(diǎn)集后，根據(jù)真實(shí)極點(diǎn)特性對(duì)極點(diǎn)集進(jìn)行清理，剔除實(shí)部大于零、頻率超出激勵(lì)信號(hào)范圍和不對(duì)稱的極點(diǎn)，保留剩余極點(diǎn)的第二象限作為清理后的極點(diǎn)集進(jìn)行分析。對(duì)極點(diǎn)集進(jìn)行清理可以減少DBSCAN的運(yùn)算量。

2.3 投影估計(jì)極點(diǎn)個(gè)數(shù)

清理極點(diǎn)集后，可以利用極點(diǎn)集的分布確定真實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。對(duì)極點(diǎn)集向頻率軸投影，獲得極點(diǎn)的頻率-個(gè)數(shù)曲線，得到的峰值在矩陣束次數(shù)附近的尖峰個(gè)數(shù)就是真實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。選取向頻率軸投影的原因有兩個(gè)：1)頻率軸方向范圍已知且有限，而極點(diǎn)的實(shí)部理論上是無(wú)限的；2)信號(hào)內(nèi)有干擾時(shí)，極點(diǎn)的頻率比衰減量更加穩(wěn)定。

2.4 DBSCAN的參數(shù)選取和流程

DBSCAN對(duì)半徑eps和密度閾值Minpts敏感，這兩個(gè)參數(shù)的選取直接影響到聚類的結(jié)果。構(gòu)造極點(diǎn)集時(shí)的矩陣束次數(shù)為M，密度閾值Minpts取M-1，因?yàn)檎鎸?shí)極點(diǎn)在不同階數(shù)的矩陣束估計(jì)時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)在真實(shí)值附近，因此真實(shí)極點(diǎn)附近的密度應(yīng)當(dāng)與仿真的矩陣束次數(shù)相近。

獲得極點(diǎn)的真實(shí)個(gè)數(shù)以后，在選定的密度閾值下，用不同的半徑對(duì)極點(diǎn)集聚類，選取簇個(gè)數(shù)等于真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的半徑為半徑的取值。獲得DBSCAN的參數(shù)取值后，對(duì)極點(diǎn)集聚類分析。極點(diǎn)集內(nèi)符合DBSCAN要求的點(diǎn)會(huì)被分到各個(gè)簇中，不符合要求的點(diǎn)被記為噪聲點(diǎn)。由極點(diǎn)的分布特性，每一個(gè)簇會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)真實(shí)極點(diǎn)，對(duì)簇內(nèi)的點(diǎn)取均值，視為極點(diǎn)的估計(jì)值。

DBSCAN改進(jìn)的矩陣束法提取極點(diǎn)的流程為：1)在選定的M個(gè)階數(shù)下，對(duì)后時(shí)響應(yīng)信號(hào)做矩陣束，獲得結(jié)果構(gòu)成極點(diǎn)集；2)對(duì)極點(diǎn)集做投影，獲得真實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；3)選定密度閾值為M-1，分析極點(diǎn)集在不同半徑下聚類分析的簇個(gè)數(shù)，在簇個(gè)數(shù)等于真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)區(qū)段選取半徑；4)在選定的密度閾值和半徑下，對(duì)極點(diǎn)集聚類分析，獲得真實(shí)極點(diǎn)附近的簇；5)對(duì)每一個(gè)簇的點(diǎn)取均值，獲得極點(diǎn)的最終值。

3 仿真驗(yàn)證

1) 仿真目標(biāo)

本文用FEKO仿真了長(zhǎng)1 m、半徑0.005 m的理想導(dǎo)體細(xì)桿在60°入射角下的后時(shí)響應(yīng)，以及半徑0.5 m的理想導(dǎo)體球的后時(shí)響應(yīng)信號(hào)，頻段分別為0～1.5 GHz和0～1 GHz。細(xì)桿是典型的高Q值目標(biāo)，球體是典型的低Q值目標(biāo)，以證明方法適用的普遍性。細(xì)桿網(wǎng)格與后時(shí)響應(yīng)如圖1所示，球體網(wǎng)格與后時(shí)響應(yīng)如圖2所示。

選取細(xì)桿60°入射角是因?yàn)榇私嵌鹊暮髸r(shí)響應(yīng)信號(hào)中，第4和第8個(gè)極點(diǎn)奇異值很小，在等于極點(diǎn)個(gè)數(shù)的階數(shù)下使用矩陣束不能估計(jì)到這兩個(gè)點(diǎn)，而會(huì)獲得兩個(gè)虛假極點(diǎn)。由理論值可知仿真頻段內(nèi)有10對(duì)極點(diǎn)，當(dāng)階數(shù)取20時(shí)，矩陣束估計(jì)的結(jié)果如圖3所示，可見丟失了部分真實(shí)極點(diǎn)，高頻部分的極點(diǎn)估計(jì)值也產(chǎn)生了誤差。因此要正確估計(jì)全部的真實(shí)極點(diǎn)，階數(shù)選取必定大于真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，這樣也必定會(huì)帶來(lái)虛假極點(diǎn)。

2) 極點(diǎn)集的構(gòu)造因?yàn)闃O點(diǎn)共軛對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，在選取階數(shù)時(shí)只選取偶數(shù)階。由上述信號(hào)，選取階數(shù)40到60之間的偶數(shù)，用矩陣束法提取極點(diǎn)構(gòu)造極點(diǎn)集，共做11次矩陣束，圖4為細(xì)桿的極點(diǎn)集。3) 投影估計(jì)極點(diǎn)個(gè)數(shù)以細(xì)桿目標(biāo)為例，仿真驗(yàn)證投影估計(jì)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)極點(diǎn)集向頻率軸投影，從圖5可以看出，細(xì)桿目標(biāo)極點(diǎn)集中分布的頻段有10個(gè)。每個(gè)集中分布的頻段內(nèi)極點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到11，與構(gòu)成極點(diǎn)集時(shí)矩陣束的次數(shù)剛好吻合?？梢缘贸鼋Y(jié)論：在仿真頻段內(nèi)共有10對(duì)真實(shí)極點(diǎn)。

對(duì)極點(diǎn)集投影估計(jì)真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)的優(yōu)勢(shì)在于，充分地利用了真實(shí)極點(diǎn)聚集的特性，獲得真實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，克服了在信號(hào)不理想的情況下，最小二乘法和MDL法獲得階數(shù)大于真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題。4) DBSCAN的參數(shù)選取和流程以細(xì)桿目標(biāo)為例，繪制密度閾值為10、不同半徑下聚類獲得的簇個(gè)數(shù)曲線。由投影可知，頻段內(nèi)有10對(duì)真實(shí)極點(diǎn)，因此半徑的選取范圍在簇個(gè)數(shù)為10的區(qū)間內(nèi)。為了聚類結(jié)果只包含真實(shí)極點(diǎn)，選取半徑時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇滿足條件范圍內(nèi)的最小值。如圖6所示，選取半徑106.6。DBSCAN的參數(shù)設(shè)置為密度閾值10，半徑106.6。

以選取后的參數(shù)對(duì)極點(diǎn)集聚類，得到的聚類結(jié)果如圖7所示。

對(duì)聚類得到的每一類的點(diǎn)(圖7中的核心點(diǎn))取均值，獲得極點(diǎn)的最終值，與理論值對(duì)比，如圖8所示。

從圖中可以看出，通過(guò)聚類分析，提取出了仿真頻段內(nèi)細(xì)桿的全部極點(diǎn)，并且成功剔除了所有的虛假極點(diǎn)。5) 球體仿真驗(yàn)證以相同的方法，對(duì)階數(shù)40～60的球體矩陣束極點(diǎn)集聚類，并計(jì)算極點(diǎn)，與理論值相比較，如圖9所示。

從圖中可以看出，提取出了球體在仿真頻段內(nèi)的全部真實(shí)極點(diǎn)，剔除了大部分虛假極點(diǎn)。6) 聚類結(jié)果與其他方法對(duì)比以細(xì)桿目標(biāo)為例，對(duì)比最小二乘矩陣束法、MDL-MPM和本文提出的DBSCAN-MPM的提取結(jié)果，如圖10所示。

對(duì)本文處理的后時(shí)響應(yīng)信號(hào)，最小二乘矩陣束估計(jì)階數(shù)為52，最小描述長(zhǎng)度估計(jì)階數(shù)為250，而投影方法估計(jì)階數(shù)為20，與理論值相等。從圖中可以看出，最小二乘和最小描述長(zhǎng)度得到的極點(diǎn)估計(jì)結(jié)果存在大量的虛假極點(diǎn)，而本文方法將虛假極點(diǎn)剔除，并完整保留了仿真頻段內(nèi)的真實(shí)極點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

矩陣束法屬于整體估計(jì)算法，受極點(diǎn)定階的影響，會(huì)發(fā)生極點(diǎn)遺漏或虛假極點(diǎn)。本文以不同階數(shù)矩陣束構(gòu)成的極點(diǎn)集為基礎(chǔ)，提出了投影定階確定真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法和DBSCAN聚類分析獲得真實(shí)極點(diǎn)的方法。通過(guò)仿真細(xì)桿和球體目標(biāo)驗(yàn)證了算法，獲得了真實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有效剔除了虛假極點(diǎn)并準(zhǔn)確提取出真實(shí)極點(diǎn)。