關(guān)于不定方程x2-7y4=233

劉 杰

（三明醫(yī)學(xué)科技職業(yè)學(xué)院，福建三明365000）

0 引言

關(guān)于不定方程x2-Dy4=C(其中D，C為給定的整數(shù)，且D＞0為非平方數(shù))曾有多人研究。設(shè)N(D，C)為方程x2-Dy4=C的正整數(shù)解的組數(shù)，文獻(xiàn)[1]證明了以下幾個(gè)結(jié)果：N(5，44)=1，(x，y)=(7，1)；N(5，11)=2，(x，y)=(4，1)和 (56，5)；N(5，-44)=3，(x，y)=(6，2)，(19，3)和 (181，9)。文獻(xiàn)[2]證明了在y≡ 0(mod 8)時(shí)，N(2，17)=0，N(2，41)=0，N(8，17)=0，N(2，97)=0 。文獻(xiàn)[3]證明了N(3，97)=1，(x，y)=(10，1)。文獻(xiàn)[4]證明了N(3，397)=1，(x，y)=(20，1)。運(yùn)用遞歸序列、同余式和平方剩余方法，學(xué)者對(duì)不同類型不定方程也有不少研究及成果[5-8]。

本文利用遞歸序列，同余式和平方剩余的方法證明了不定方程x2-7y4=233僅有正整數(shù)解(x，y)=(45，4)。

1 定理及證明

但當(dāng)n≥0時(shí)，7Un+24Vn＞0，n＜0時(shí)，7Un+24Vn＜0，n＞0時(shí) 7Un-24Vn＜0，n≤0時(shí)，7Un-24Vn＞0因此（1）式的解可歸結(jié)為：(ⅰ)Yn=y2=7Un+24V（nn≥0），或(ⅱ)Yn=y2=-7Un+24Vn(n＞0)。

亦即只要證明Yn=7Un+24Vn或Yn=-7Un+24Vn是否是一個(gè)完全平方數(shù)。

可以驗(yàn)證以下3組關(guān)系式成立：

2 討論

2.1 情形(ⅰ)Yn=7Un+24Vn（n≥0）

由關(guān)系式① 對(duì){Yn}取模3得剩余類序列周期為4，當(dāng)n≡ 1，3(mod 4)時(shí)Yn≡2(mod 3)，因?yàn)椋?∕3）=-1（其中a∕p表示jacobi符號(hào)），所以Yn不可能是一個(gè)平方數(shù)，從而使Yn=y2=7Un+24Vn無(wú)整數(shù)解。以下排除的數(shù)都是據(jù)計(jì)算(a∕p）=-1得出Yn不可能是一個(gè)平方數(shù)，從而使y無(wú)解。取模8得剩余類序列周期為4，當(dāng)n≡0(mod 4)時(shí)Yn≡7(mod 8)是模8的平方非剩余，使Yn不是一個(gè)平方數(shù)。剩n≡2(mod 4)等價(jià)于n≡2，6(mod 8)，取模127得剩余類序列周期為8，當(dāng)n≡6(mod 8)時(shí)Yn≡118(mod 127)使Yn不是一個(gè)平方數(shù)。剩下n≡2(mod 8)等價(jià)于n≡2，10(mod 16)。取模32257得剩余類序列周期為16，當(dāng)n≡2,10(mod 16)時(shí)，Yn≡2041，30216(mod 32257)使Yn不是一個(gè)平方數(shù)。至此，對(duì)所有的n均使Yn=7Un+24Vn不可能是一個(gè)平方數(shù)，從而y無(wú)整數(shù)解。

2.2 情形(ⅱ)Yn=-7Un+24Vn(n＞0)

對(duì){Yn}取模3得剩余類序列周期為4，當(dāng)n≡ 0，2(mod 4)時(shí)Yn≡2(mod 3)，因?yàn)椋?∕3）=-1(其中a∕p表示jacobi符號(hào))，所以Yn不可能是一個(gè)平方數(shù)，從而使Yn=y2=-7Un+24Vn無(wú)整數(shù)解。取模8得剩余類序列周期為4，當(dāng)n≡ 3(mod 4)時(shí)Yn≡7(mod 8)，使Yn不是一個(gè)平方數(shù)。剩下n≡ 1(mod 4)等價(jià)于n≡ 1，5，9，13，17(mod 20)。取模239得剩余類序列周期為 20，當(dāng)n≡ 5，9，13，17(mod 20)時(shí)，Yn≡ 7，111，129，215(mod 239)使Yn不是一個(gè)平方數(shù)。則剩下n≡1(mod 20)才使Yn可能是一個(gè)平方數(shù)。

當(dāng)n≡1(mod 20)n≠1時(shí)設(shè)n=1+2×5×2t×k,(k≡1(mod 2),t≥1)令

由關(guān)系式②、③，

由于按m的取法有U2m≡1(mod 8)，設(shè)2s|Vm，則

對(duì){U2m}取mod 45，按m的取法 均有U2m≡37(mod 45)，而即矛盾。故此時(shí)Yn不是一個(gè)平方數(shù)，使y無(wú)解。

當(dāng)n=1時(shí)Y1=y2=16，得方程的一組正整數(shù)解(x，y)=(45，4)。通過(guò)以上的討論知（1）式只有正整數(shù)解（x，y）=(45，4)，證畢。

3 結(jié)語(yǔ)

不定方程x2-7y4=233的整數(shù)解是由(ⅰ)Yn=y2=7Un+24Vn（n≥0）

或(ⅱ)Yn=y2=7Un+24Vn(n＞0)是否是一個(gè)完全平方數(shù)決定的。

情形(ⅰ)中證明了當(dāng)n≡0，1，2，3(mod 4)時(shí)，使Yn不是一個(gè)平方數(shù)，至此，對(duì)所有的n均使Yn=7Un+24Vn不可能是一個(gè)平方數(shù)，而使y無(wú)整數(shù)解。從而不定方程x2-7y4=233無(wú)整數(shù)解。

情形(ⅱ)中證明了當(dāng)n≡0，2，3(mod 4)時(shí)，使Yn不是一個(gè)平方數(shù)，至此，對(duì)所有符合上述條件的n均使Yn=-7Un+24Vn不可能是一個(gè)平方數(shù)，而使y無(wú)整數(shù)解。從而不定方程x2-7y4=233無(wú)整數(shù)解。

情形(ⅱ)中當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)，使Yn可能一個(gè)完全平方數(shù)，但又證明了此時(shí)只有當(dāng)n=1時(shí)才能使y2=-7Un+24Vn是一個(gè)平方數(shù)。

當(dāng)n=1時(shí)，Y1=y2=16，得方程的一組正整數(shù)解(x，y)=(45，4)，通過(guò)以上的完整證明，知不定方程x2-7y4=233只有正整數(shù)解（x，y）=(45，4)。