徐 瀚

（中國中車戚墅堰機車車輛工藝研究所有限公司，江蘇 常州 213000）

人字齒空刀槽寬度的取值受到齒輪自身參數(shù)、滾刀參數(shù)、機床規(guī)格等眾多因素的限制。如何在給定的外部條件下確定最優(yōu)空刀槽寬度以及可行性，就成了設計人員和工藝人員關注的問題。本研究從滾齒空間數(shù)學模型出發(fā)，建立了最小空刀槽與外部影響因素的精確數(shù)學方程，結合滾齒工藝確定最優(yōu)空刀槽寬度。

1 數(shù)學模型建立及方程求解

1.1 幾何模型的建立設計

如圖1所示，滾刀節(jié)線與被切齒輪節(jié)圓圓柱的切點p正好移動到空刀槽端面，此時滾刀并未完成這一端全部齒的切制，滾刀還需沿被切齒輪軸線繼續(xù)移動超越量e才能完成該端齒的切制。建立坐標系o－xyz，o點該端空刀槽端面的軸心，z軸與被切齒輪軸線重合，x軸為o點與p點的連線，各軸方向如圖1所示。坐標系o'－x'y'z'，o'點與p點重合，z'軸與滾刀軸線重合，軸與o點和p點的連線重合，各軸方向如圖1所示。

圖1 滾齒加工模型中各軸方向

設計工藝空刀槽的目的是為了在滾刀切制完成一端齒形后，退刀時不會與被切齒輪發(fā)生干涉，其干涉問題的幾何模型就是軸線不平行的兩圓柱體的相交問題，如圖2所示，只要滾刀在完全退刀位置時，使空刀槽的端面不處于此時滾刀與被切齒輪產(chǎn)生的最大理論干涉區(qū)域中（滾刀足夠長，與被切齒輪的干涉區(qū)域達到最大，圖中空間相貫線內(nèi)部陰影部分所示），則滾刀可以順利完成退刀。從幾何模型還可以得知，空刀槽下端面不與滾刀發(fā)生干涉的極限位置應該是下端面與相關線相切時，由此，若能準確求解出最大理論干涉區(qū)域即空間相貫線方程，就可為設計合理精確的空刀槽寬度提供理論依據(jù)。

圖2 滾刀與工件模型干涉區(qū)域的輪廓相貫線

1.2 滾齒退刀最小超越量e的計算

如圖1所示，滾齒加工中，滾刀退刀時需要有一定超越量e，超越量是為使得滾刀與被切齒輪不再發(fā)生嚙合即保證完全切削，超越量的最小值與齒輪參數(shù)和滾刀參數(shù)密切相關?，F(xiàn)以左旋滾刀切削左旋齒輪為例分析退刀最小超越量。如圖3所示，在滾刀法平面建立坐標系o－xy，根據(jù)斜齒輪的滾齒原理可知，被切齒輪與滾刀在法平面內(nèi)相當于無側隙嚙合的齒輪和齒條，被切齒輪在法平面內(nèi)為一橢圓，其平面方程為：

式中：rr為被切齒輪齒頂圓半徑，β為被切齒輪分度圓螺旋角。

圖3 滾齒加工時滾刀的位置模型

m'n'、mn為法平面滾齒嚙合線，m'n'直線方程為：

式中：r為齒輪節(jié)圓半徑、α為法面嚙合角等于滾刀法面壓力角αn。

滾刀頂線方程為：

式中：rr為齒輪頂圓半徑、h為全齒高。

聯(lián)立式（1）、（2）可以求得m'的x坐標為：

聯(lián)立式（2）、（3）可以求得n'的x坐標為：

xn'=(r+h－rr)tanα

滾刀在法平面內(nèi)的參與切削的長度一半為：

ln=max[｜xm'｜,xn']

由此可知，只要滾刀參與切削部分退到空刀槽上端面之下時，退刀完成可以保證完全切削，故最小超越量為：

emin=lnsinλ

式中：λ為滾刀安裝角，λ=β±γ，γ為滾刀螺旋升角，“+”表示滾刀與齒輪旋向相反；“-”表示滾刀與齒輪同旋向相同。

1.3 最大干涉狀態(tài)下最小空刀槽寬度的求解

如圖1（a）坐標系所示，在o'－x'y'z'坐標系中滾刀頂圓圓柱方程為：

式中：rg為滾刀頂圓半徑。

o－xyz坐標系中，被切齒輪齒頂圓柱方程為：

式中：rr為被切齒輪齒頂圓半徑。

通過坐標變換可以求得滾刀頂圓圓柱方程在o－xyz坐標系中形式，o'－x'y'z'坐標系變換到o'－x'y'z'坐標系的轉換式為：

式中：a為滾切中心距a=rr+rg－h(huán)，h為全齒高，γ為滾刀安裝角γ=β±λ，β為齒輪螺旋角，λ為滾刀螺旋升角。

通過（6）式代入（4）式中，可得滾刀頂圓圓柱在o-xyz坐標系中為：

聯(lián)立（2）、（4）可得滾刀頂圓柱與被切齒輪頂圓柱的相貫線方程為：

為簡化求解，如圖2所示，將模型向yoz平面投影，投影線與x軸平行，此時空刀槽端面不干涉的極限位置就是端平面在yoz平面上的投影直線與相貫線的投影曲線S相切時的位置，另外由于滾刀退刀時還有一段超越量e，所以理論可行的最小空刀槽寬度為切點c距y軸的距離加上超越量e，由圖2分析可知，切點c也是相貫線的投影曲線z=f(y)的最小值Zmin所在點，由此可知最小空刀槽寬度為：

由（8）式可以寫出相貫線在yoz平面的投影曲線S的方程為：

由圖2（b）中坐標系可知：y'=ysinγ－zcosγ＞0，簡化式（10）如下：

式（11）即為曲線S在第三象限的方程，z=f(y)取最小值應滿足條件：f'(y)=0，式（11）對y求導得：

將式（13）代入式（12）中可得：

式（14）為關于t的一元非線性方程，可以使用MATLAB 7.0直接解出t，計算結果代入式（13）解出c點橫坐標值cy，將cy值代入式（11）可以解出cz，再聯(lián)合式（9）便可以求出Bmin。

1.4 非最大實際干涉條狀態(tài)下最小空刀槽寬度的求解

存在另外一種情形，即滾刀長度有限使得實際干涉區(qū)域y方向的最小值小于最大干涉區(qū)域y方向最小值，滾刀與被切齒輪實際干涉區(qū)域如圖4陰影部分所示。

圖4 滾刀與被切齒輪實際干涉區(qū)域

建立同圖（1）坐標系，分析可知，此時Zmin等于滾刀端面投影直線T與相貫線投影曲線S的交點c'的縱坐標值c'z，滾刀端面投影T的方程為：

式中：L為滾刀端面距節(jié)點的軸向距離。

聯(lián)立式（10）、（15），可求的交點c'的坐標，化簡后為：

式（16）為z的一元非線性方程，通過MATLAB 7.0易解得c'（z舍去一個z值較大的點），將cz=c'z值代入式（9）便可求的Bmin。

1.5 滾齒干涉情形判別

設計滾齒空刀槽時，首先要根據(jù)滾刀、被切齒輪及其安裝參數(shù)判斷干涉類別，然后根據(jù)相應的計算公式進行計算，分析可知，臨界條件為滾刀端面投影直線T'經(jīng)過相貫線投影曲線S的z軸最低點c，此時臨界直線方程T'滿足下式：

式中：cz、cy為1.1.3中計算出的c點坐標值。

故若 cz＞ -(cycosγ +L)/sin γ，表明實際滾刀端面投影直線T在臨界位置下方，最小空刀槽按1.3情形計算；反之按1.4情形計算。

2 結語

（1）本研究根據(jù)滾齒的幾何模型，提出了針對干涉區(qū)域的數(shù)值計算方法，并以此推導出了人字齒最小空刀槽的精確計算公式。

（2）研究理論是建立在精確數(shù)學模型基礎上，尤其是對人字齒滾齒及磨齒的最小空刀槽寬度的計算精度極高，因此，文中理論及公式可直接應用于實際生產(chǎn)中人字齒空刀槽的設計。