李佰洲 蔡蘭蓉 劉瑛

摘要：力的平移定理是力系等效的重要方法，其目的是將復(fù)雜力系進(jìn)行等效和簡化，從而建立復(fù)雜力系的靜力平衡關(guān)系。本文通過“三幅圖、三過程”，使力的平移定理的全部過程更加清晰，有利于學(xué)生對這一定理的掌握和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：力的平移；力系簡化；教學(xué)方法

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）18-0188-02

理論力學(xué)中，靜力學(xué)主要研究三個問題：物體的受力分析、力系的等效替換或簡化和力系的平衡條件。在靜力學(xué)給出的八個力系當(dāng)中，任意力系和平行力系的等效過程必須通過力的平移定理來實現(xiàn)，由于平移前后，力的作用方向并沒有改變，因此有的書上也稱為力線平移定理。

力的平移定理對于學(xué)生理解力系的簡化，從而得到力系的平衡條件有著非常重要的作用，同時，在對摩擦力作用效果的分析和對組合變形問題的外力分析等后續(xù)課程中都扮演著重要的角色。因此，讓學(xué)生掌握好、理解透基本概念，對在學(xué)生頭腦中建立起整個理論力學(xué)知識體系有著重要的作用。

一、定理的引入

通常課堂上都會將工程實例作為引入，但有的學(xué)生沒有工程經(jīng)驗，聽不懂工程實例，也有的學(xué)生覺得工程實例離自己較遠(yuǎn)，因此適當(dāng)?shù)匾肷顚嵗?，學(xué)生喜聞樂見，比如，在力的平移定理的引入中，就可以用足球運動中怎樣能夠踢出“香蕉球”、乒乓球中上旋球和下旋球的打法以及臺球中的“加塞”（球桿的觸球點均偏離了母球中央的垂直線）等例子，讓學(xué)生產(chǎn)生興趣。

二、三幅圖、三過程

1.第一幅圖和第一個過程。從概念出發(fā)，逐字逐句理解概念含義[1]：作用于剛體的力F，可以平移至同一剛體的任一點A，但必須附加一個力偶，其力偶矩等于原力F對于新作用點A之矩（圖1）。強調(diào)：（1）作用于“剛體”，而不是變形體，作用于變形體的力F是不可以隨意移動的。（2）可以“平移”，而不是任意移動，因此在作圖過程中應(yīng)該用平行線或者是平行四邊形來表示平移過程。對于力的任意移動，可以作為拓展內(nèi)容來講解[2]。（3）“任意一點A”，力的平移是可以移至任意一點的，這就為后面的動量和動量矩定理中，力系向質(zhì)心簡化提供了前提。（4）可以移，但必須“附加一個力偶”，這樣才能做到與原力系等效。（5）力偶矩大小的算法是原力F對于新的作用點A的矩，因此有了圖中的hA。以上五個部分，必須跟學(xué)生交代清楚。

2.第二幅圖和第二個過程。將第一個過程得到的一個力和力偶向任意一點B移動（圖2），首先將FA根據(jù)力的平移向B移動，得到一個力和一個新力偶MB，同時，MA也要向B移動，但由于平面內(nèi)力偶矩大小與矩心位置沒有關(guān)系，所以移至B點后的MA不變，因此移到B點的結(jié)果是：FB=FA，且M=MA+MB。同時，這里得到的結(jié)果是否與原力系等效呢？

3.第三幅圖和第三個過程。在文獻(xiàn)[1]中，給出的平面任意力系簡化為一個合力的情形，實際上是力的平移定理的完整的逆過程，此時，最終的合力即原力系的合力的位置是直接給出的，但很多學(xué)生不理解三個問題：一是O′的位置為何直接給出了，二是力的平移過程是怎么體現(xiàn)的，三是力偶矩的大小應(yīng)該是原力F′R對于新作用點O′之矩，因此應(yīng)該從O′向力F′R引垂線，為何書中是相反的。這些問題是可以解釋的，而且哈工大教材當(dāng)中是為了接下來直接解釋合力矩定理。但在單獨將一個力和一個力偶還原為一個合力的時候，我們也可以采取下面的方法。首先，通過B點做FB的垂線，那么最終的合力FR到FB的距離h一定在這條垂線上。根據(jù)力偶的方向，可以確定FR位于FB的左側(cè)。第二，確定FR的位置：通過h=M/FB=（MA+MB）/F=hA+hB可以找到FR的作用位置為O′點，過FB的矢端作垂線的平行線，將FB沿平行線平移至O′點，注意到FR與原來的F大小相等、方向相同，作用于一條直線上，根據(jù)力的可傳性，F(xiàn)R與F是一個力（圖3）。至此，完成了整個力的平移定理將一個力從移出去到移回來的整個過程，整個平移過程中得到的力系均是等效的。

三、對引入問題的解答

前面引入的球類運動的例子其原理都是讓球在向前直線運動的同時，自身發(fā)生轉(zhuǎn)動，加上與空氣和接觸面的相互作用，達(dá)到最終控制球的運動狀態(tài)和軌跡的效果（如圖4）。當(dāng)球受到一個偏離球心的力時，將這個力向球心平移后，得到一個力和一個力偶，同時加上對速度和角度的控制，就會使球的運行軌跡產(chǎn)生不同的弧線，這樣才使我們的體育比賽精彩紛呈。

四、總結(jié)

通過“三幅圖、三過程”完整描述了力的平移定理的全過程，通過“案例教學(xué)法”，采用“球類運動”的例子進(jìn)行講解，通俗易懂，激發(fā)學(xué)生的興趣。整個過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生熱愛生活，從生活中發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力，也能夠達(dá)到增強學(xué)生創(chuàng)新能力的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]陳衛(wèi)增，杜巧連，曹振新.剛體上的力等效任意移動分析研究[J].科技通報，2008，24（4）：462-464.