孫朝仁 朱桂鳳

摘要：基于三節(jié)優(yōu)秀課例的分析，從美的一般概念出發(fā)，數學課堂的素養(yǎng)屬性可劃分為抽象屬性、推理屬性以及模型屬性，由此反映“有素養(yǎng)”數學課堂的三個美學特征，即溶解美特征、自由美特征以及無限美特征。

關鍵詞：素養(yǎng)課堂；美學特征；數學教學

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）05A-0061-04

近期，《中國教育報》刊發(fā)了《尋找核心素養(yǎng)落地的力量》一文，指出“將中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的統(tǒng)一要求，轉化為學校教育教學過程中具象的內容，就是核心素養(yǎng)的校本表達”。這里，研究者對核心素養(yǎng)范疇的“關鍵能力”進行了共識性確認，主要包括：注意能力、反應能力、學會思考能力、元認知監(jiān)控能力、價值體系性格化能力。同時，這些能力與“校本表達”之間還需要添加“人性美”的表達層次屬性，方能讓抽象的核心素養(yǎng)目標得以真正落地。當然，在學科教學范疇，核心素養(yǎng)目標通常表現為“有素養(yǎng)”教育的無限傾向性特征。一般說來，數學課堂的素養(yǎng)屬性可劃分為抽象屬性、推理屬性以及模型屬性，涉及數學教育美的一般特征，即溶解美特征、自由美特征以及無限美特征。

本研究以優(yōu)秀課例為分析承載體，從美的一般概念出發(fā)，探討數學課堂素養(yǎng)教育的美學特征，以此示范“有素養(yǎng)”屬性課堂的操作量規(guī)，落實顯性素養(yǎng)目標，即現代公民應該具備的基本素養(yǎng)。其中，“關鍵能力”是核心素養(yǎng)的外在表現，是素養(yǎng)屬性的可替代概念，包括抽象（注意行為與反應行為）、推理（學會思考行為）、模型（元認知監(jiān)控行為）及其思想觀念（價值體系性格化行為）。

一、溶解美特征

“數學抽象”[1]是高中數學課程標準修訂組專家提出的6種核心素養(yǎng)中的一種，屬于“文化修養(yǎng)”[2]范疇，是初中段數學概念形成的思維支架，始終支配著概念的形成過程。在有素養(yǎng)教育范疇，數學抽象屬性起于概念發(fā)生的沖突內需，終于思維素養(yǎng)定向的邏輯變遷。可以說，數學概念得以抽象的過程就是學生接受“刺激-反應”，發(fā)現對象本質屬性的過程。當然，這一過程既有“天光云影共徘徊”的師生融通行為，也有客觀化的概念溶解美特征。

在學科教學范疇，數學抽象是舍去了事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出概念及概念之間的關系，從事物具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數學符號和數學術語予以表征。[3]而這些“關系”“結構”“符號”以及“術語”本身就是一種再抽象，這就給概念的“形成”帶來思維層面的悱憤困難，如能將抽象行為提高到審美高度，則有溶解美特征的概念產生，進而自然實現“天光云影共徘徊”的數學課堂境界美。其中，師生在有意注意和無意注意的交流形態(tài)中，成就了概念的可形成與可使用狀態(tài)。為此，有素養(yǎng)數學教育課堂需要體現三個層面的溶解美特征：一是先行組織材料要符合美的一般抽象特征；二是認知、情感和動作技能3個領域的目標的設置要呈現層次屬性；三是實施認知導向型理念，滲透抽象美的一般行為，踐行“因人施教”“因材施教”的美學認知抽象。

我們不妨以“一元一次不等式組”起課模塊為例，說明“天光云影共徘徊”的抽象過程美的一般特征。這里的“天光云影”特指師生慢格調的思維溶解，“徘徊”則是概念得以“完形”抽象和再抽象的向美形態(tài)。溶解美的思維線索簡概如下：首先，讓學生通過比較教師與學生的身高這一來源現實的問題，建立不同形式的不等關系，進而獲得不等式組的結構成分，并用規(guī)范的數學言語描述主概念（一元一次不等式組），進一步舉例說明不等式組的形態(tài)特征；其次，讓學生在畫圖中，結合“數”“形”思想方法，直觀感受不等式組的解集確立的方法體系，進而在具象言語描述（同大取大；同小取?。槐却蟮男?，比小的大，取中間；比小的小，比大的大，無解）的背景下，落實符號化表達的一般意義；再次，讓學生任意寫一個簡單的二元一次方程組和一元一次不等式組，比較方程組的解與不等式組的解集之間的差異，支持課堂主體間的合作學研；最后，通過“學以致用”板塊，討論不等式組解集確立的基本使用范式，以此把握一元一次不等式組及其相關概念的“全息”意義。

教育即生活，生活是美的抽象來源，有素養(yǎng)數學教育當是如此?？死刮譅枏拿赖某橄竽繕顺霭l(fā)，將情感領域的目標，從低到高劃分為5個屬性層次：一是注意，二是反應，三是價值化，四是組織，五是價值與價值體系性格化。具體到有素養(yǎng)數學課堂，注意與反應屬于一維抽象目標，價值化與組織屬于二維抽象目標，價值與價值體系性格化屬于三維抽象目標。如果說，由比較師生身高要素行為抽象出概念的初始形態(tài)，是一種先行組織美的話，那么通過直觀的數軸確立不等式組解集的過程，是一種思維情感凸顯溶解美的具體表現。而“任意寫+用概念”行為則是認知導向理念得以有序實施的外在表現，以落實人人學好數學的素養(yǎng)取向目標。其中，先行組織美與注意、反應心理成分顯著相關，屬于一級抽象目標；“數”與“形”的交替使用與價值傾向、自組織系統(tǒng)正向溶解，屬于二級抽象；“經世致用”思想落地與性格化價值體系具有內部關系一致性，屬于三級抽象，這些抽象屬性的完善過程就是概念溶解美的實現過程，體現了有素養(yǎng)教育的數學課程目標。

二、自由美特征

數學是思維的科學，推理是思維的基本運作狀態(tài)。數學推理屬性起于問題思路的探索，終于數學結論的邏輯運演。其間，“探路”的過程帶有規(guī)則性自由特征，而“運演”則是一種“眾里尋她千百度”的思維情結。事實上，推理一直是認知心理學和中觀數學教育研究的話題，林崇德先生在中小學生邏輯思維能力的發(fā)展方面做了大量研究，得到一些有價值的結論。在《義務教育數學課程標準（2011年版）》看來，推理能力應貫穿于整個數學學習過程中，推理是思維的基本方式。推理涵蓋“合情”和“演繹”兩個維度成分，前者是從事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷出某些結果及其結果關系；后者從事實性命題和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯秩序進行定向證明或計算推理，終于數學結論的發(fā)現與使用。

確切地說，人們只有通過美才能走向思維自由，才能激發(fā)出“眾里尋她千百度”的推理情緒。換言之，推理是現代公民必備的思考方式，知覺沖突需要推理、表象建立需要推理、數學思考更需要推理。獨立思考是好奇心和求知欲的就緒狀態(tài)，而學會思考則支配著自由思維的一切存在形式，契合了“眾里尋她千百度”的情意信念。懷特海認為，“教育不是往行李箱里塞滿物品的過程”，這一觀念的背面，可以確認克服“塞物品”的最好方式就是解放思維、自由思考，讓學習者有“眾里思維”“千百度尋她”的內部自由，最終實現“學會思考”的思考目標。盡管這樣的思維組織方式耗時而又收效慢，但對終身思考習慣的養(yǎng)成是不可替代的。為此，有素養(yǎng)數學課堂勢必要關注三個層面的推理行為：一是借助獨立思考，驅動問題發(fā)現；二是使用自由思考，養(yǎng)成問題意識；三是學會定位思考，形成提出問題能力，落實數學思考向美的一般目標。

我們不妨以“二次根式”概念形成模塊為例，說明推理對自由美的支配作用，以及美的思維自由對推理屬性的反哺力。具體推理范式如下。首先，讓學生通過計算確定長方形宣傳畫的對角線的長，引進二次根式概念的具體形式，同時，讓學生再寫出幾個類似的式子，并描述二次根式形式的含義以及被開方數的約束性；其次，讓學生通過“判別推理”“辨析推理”剔除二次根式概念的非本質屬性，確立概念的本質特征，進而通過舉例實現類化概念的一般屬性；再次，讓學生借助乘方運算與開方運算的互逆關系，實現對二次根式本質屬性的理性理解，即概念有意義的算理依據；最后，讓學生在使用概念的過程中，突出概念之間的邏輯關系特征，進一步理解數與式的劃分依據，及其二次根式與算術平方根的異同點，落實把握概念的本體意義。

一般來說，產生數學美的對象和方法，可來自超越自然后的自由心境，也可以來自超越自然后的理性自由，而“自由—心境—理性—自由”是自由推理作用的結果狀態(tài)。為此，理性主義美學家笛卡爾認為，有了理性才會有美，他指出：“思維顯示了人的本質，也顯示了人的偉大，哪里有理性的使用，哪里才有人，哪里才有高貴，哪里才有美?！盵4]這里，我們把推理作為理性生長的工具，而把高貴作為自由的表現形式，把美作為自由理性的統(tǒng)一形態(tài)。進而可以推斷，數學推理屬性集美與自由于一身，推理屬性得以確認的過程就是“眾里尋她千百度”的自由思維疊合成美的本質過程?？梢源_認上述課例中的“發(fā)生概念行為”是發(fā)現問題的一個樣例，“舉例類化”及其“概念關系”的建立是自由思考的表現形式，“使用概念”及其關聯的過程是學會思考的一個微觀案例。如此，把握概念的行為就帶有強烈的推理意義（意義建構、約束條件的確立、類比歸納等行為），也有自由美的選擇特征（互逆關系的使用等層次屬性），由此落實“眾里尋”“千百度”的思維自由與美的一般能力。

三、無限美特征

數學模型屬性起于美的無限傾向性特征，終于素養(yǎng)數學教育的課程目標?！暗郎鸁o限”是模型屬性的本質外化。在學科審美范疇，一個科學理論成就的大小，事實上就是它的美學價值的大小，科學理論的合理性要在它的審美價值中去尋找，并用它來判斷科學方法的合理性。[5]這里的“審美價值”可以看作是美的無限性取向特征，而“方法的合理性”則是模型屬性的內在沖突的不斷外化性平衡的體現，是“柳暗花明又一村”的積極就緒狀態(tài)。換句話說，審美視域下的方法體系的價值判斷，就是數學建模得以心理確認的過程，經歷了“山重水復”的思維監(jiān)控，確證了“柳暗花明”的模型體系。當然，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》看來，模型屬性的微觀目標就是要重視學生已有經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。

于是乎，在學科素養(yǎng)教育范疇，模型思想是義務教育階段課程實施的一個重要目標，是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。其本質是用數學語言來解釋現實世界，因而具有強烈的現實性；同時，帶有一定的變量特點（含有參數），反應一類規(guī)律性的事物的應用性特點。正是基于這一屬性意義，模型本身就帶有無限美的傾向性價值特征，是數學教育核心素養(yǎng)的主要目標成分，各學科需要下大功夫監(jiān)控培養(yǎng)。尤其是具有工具性特征的數學課堂，更要在元認知監(jiān)控層面提高興趣的悱憤狀態(tài)和審美創(chuàng)新意識，方能實現模型思想的厚積薄發(fā)作用，進而提高學生的元認知能力。可以說，沒有滲透模型培養(yǎng)意識的數學課堂是不合格的課堂，沒有數學建模能力的學生，其學業(yè)成績“好也好得有限，而壞則每況愈下”。為此，素養(yǎng)性數學課堂必須從三個層面進行建模：一是，立美性情境建模，形成微觀的模型參照系統(tǒng)；二是，向美性方法建模，形成問題解決產生式系統(tǒng)；三是，審美性思想建模，促進基本思想和基本活動經驗的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)的認知結構，進而形成“個”模型審美系統(tǒng)，并進行性格化價值取析。

我們不妨以“銳角三角函數”復習課的思維發(fā)生模塊為樣例，闡釋模型屬性對素養(yǎng)層級的積極作用，進而提高學生的元認知監(jiān)控水平，到達“柳暗花明”思維無限美的境界。模型建立的一般線索簡括如下。首先，教師讓學生任意畫一個直角三角形，并寫出直角三角形中的邊角關系，以此引發(fā)復習銳角三角函數概念的積極情緒，進一步聯動特殊角的銳角三角函數值的使用系統(tǒng)及其還原系統(tǒng)。其次，教師讓學生舉例說明對銳角三角函數的使用及其層次性變式。量化統(tǒng)計顯示，外顯變式的學生約占7成，內顯變式的學生占2成左右，綜合變式的學生占不到1成。正是基于“不同”的數學現實，教師通過監(jiān)控調節(jié)，在自由思維的支配下，實現了不同人獲得不同的數學理解，呈現出概念復習的羅森塔爾效應。最后，教師讓學生構建本章概念圖，并舉例說明自己對主概念的理解，找出課本中可以考查的“基本題”，并進行三度改編，使其與中考中檔題水平具有信度一致性，進而實現對概念的全息使用與層次性把握。

史寧中教授指出，數學教育的終極目標就是“三個會”[6]：會看，會用數學的眼光觀察現實世界；會想，會用數學的思維思考現實世界；會說，會用數學語言表達現實世界。我們認為，可以把會看當作情境建模的初始目標，把會想當作方法建模的程序性目標，把會說當作思想建模的過程性終結目標。這樣，上述樣例中的“畫+寫≥概念意識”的引課行為是情境建模的一個經典例子，反映了“刺激—會看—反應”的初始審美目標；樣例中學生的“舉例說明+層次變式”的演課監(jiān)控行為是方法建模的立美途徑，反映了“關系直覺監(jiān)控=美的直覺監(jiān)控+概念直覺監(jiān)控+證偽直覺調節(jié)”的模型視美目標；樣例中的“概念圖+找基題+作改編”的課堂行為升值是思想建模的審美表現，反映了元認知監(jiān)控層面的“創(chuàng)造向美力=分析思維力×透視屬性力×價值知識量×性格化審美力”的無限美目標，有道生無限而又天地同根、大美不言的境界成分，終于人學審美素養(yǎng)的層級實現。

通常，有素養(yǎng)數學課堂的基本特征是相對復雜的，不止于“天光云影”的抽象屬性、“眾里尋她”的推理屬性以及“柳暗花明”的模型屬性，還有“望盡天涯路”的觀念屬性及其美的一般觀念的添加，限于研究篇幅，本研究暫不通過剖析實例加以詳細分析。

參考文獻：

[1]喻平.數學核心素養(yǎng)評價的一個框架[J].數學教育學報，2017（2）：20-23.

[2]王尚志，胡典順.齊民友先生對數學教育若干問題的看法——齊民友先生訪談錄[J].數學教育學報，2015（2）：4-9.

[3]殷容儀，趙維坤.基于質量監(jiān)測的初中學生數學抽象發(fā)展狀況的調查研究[J].數學教育學報，2017（1）：14-15+63.

[4]王欽敏.感受數學美的兩個重要途徑[J].數學教育學報，2014（2）：53-56.

[5]劉萍，張雄.數學美的哲學思考[J].數學教育學報，1999（2）：38-41.

[6]廖輝輝，史寧中，朱丹紅.數學基本思想、核心素養(yǎng)的內涵及教學[J].福建教育（中學版），2016（7-8）：94-96.

責任編輯：石萍

Aesthetic Features of Mathematics Class with Accomplishments

SUN Chao-ren & ZHU Gui-feng

（Suzhou Institute for Education Research， Suzhou 215004， China）

Abstract： Based on analysis of three good example lessons， the accomplishment attributes of mathematics class can be divided into abstract， reasoning and modeling attributes from the general concept of beauty， reflecting three aesthetic features of mathematics class with accomplishments： dissolving beauty， free beauty and limitless beauty.

Key words： class with accomplishment； aesthetic feature； mathematics teaching