董 琴 ， 楊 平 ， 余志鋒

（1.高性能船舶技術(shù)教育部重點實驗室（武漢理工大學(xué)），武漢430063；2.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063）

0 引 言

近年來，隨著船舶主尺度的不斷加大，為減輕結(jié)構(gòu)重量而采用的高強(qiáng)度鋼越來越多，船舶結(jié)構(gòu)變得越來越“軟”，船舶結(jié)構(gòu)的應(yīng)力及變形也越來越大，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度時，裂紋尖端附近區(qū)域就會產(chǎn)生塑性應(yīng)變。當(dāng)塑性應(yīng)變隨著循環(huán)次數(shù)的增加而累積到一定程度時，必然會加速結(jié)構(gòu)的斷裂失效。在彈塑性斷裂力學(xué)中，裂紋尖端張開位移（CTOD）和J積分是描述韌性結(jié)構(gòu)材料裂紋擴(kuò)展的主要參數(shù)（Hutchinson，1982）[1]；但由于J積分不適應(yīng)于卸載狀態(tài)，故而很少應(yīng)用于循環(huán)載荷下的結(jié)構(gòu)斷裂評估。因而，研究建立循環(huán)載荷下基于累積塑性應(yīng)變的裂紋尖端張開位移（CTOD）評估方法具有十分重要的意義。

裂紋尖端張開位移（CTOD）指的是裂紋尖端處受載荷后兩個表面所張開的相對位移，其值的大小反映出材料抵抗疲勞裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展的能力，故CTOD可以作為評價材料抗脆性斷裂特性的主要參量。先前，一些僅適用于線彈性狀態(tài)的基于應(yīng)力強(qiáng)度因子K的CTOD計算模型相繼被提出（Dugdale，1960；Cottrell，1975；Yaowu，1998）[2-4]。Dugdale模型直接建立了外載荷與裂紋參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系而得到廣泛的研究和應(yīng)用。姜翠香[5]基于Dugdale模型對船舶加筋板CTOD進(jìn)行了分析，找出了外載荷、剛度比等因素對其的影響規(guī)律。 有限元法(Potirniche et al，2003；Wu，2009；Chen，2011，2015)是目前研究彈塑性斷裂問題的有效途徑之一，因而被廣泛應(yīng)用于各種斷裂評估中；它是通過對裂紋尖端應(yīng)力場、位移場的有限元計算，研究裂紋尖端張口位移CTOD及相關(guān)參數(shù)。Potirniche等人[6]采用有限元方法計算了穩(wěn)定的微觀結(jié)構(gòu)小裂紋其裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸及CTOD值，將單晶體塑性理論的二維小應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系引入ANSYS有限元軟件中，得到了具有較高精度的CTOD值。Wu等人[7]提出了基于CTOD的數(shù)值結(jié)果估算試件斷裂韌性的有效方法，方法中以軸向切口拉伸試樣為研究對象，采用彈塑性有限元方法計算試樣的CTOD值等。我國學(xué)者陳景杰[8-9]基于裂紋最大張口位移CMOD對CTOD進(jìn)行了數(shù)值分析，消除了外載荷、模型尺寸、材料特性及裂紋長度等因素對CTOD的影響，簡化了有限元計算模型。另外，也有學(xué)者基于裂紋尖端局部應(yīng)變相繼對CTOD進(jìn)行了研究，并提出了僅適用于低應(yīng)變、靜載荷條件下的CTOD計算模型（Schwalbe，1994；Linkens et al，2000；Jayadevan et al，2004）[10-12]。 日本學(xué)者 Shimanuki Hiroshi[13]基于局部應(yīng)力與線彈性斷裂力學(xué)的關(guān)系，提出了評估局部應(yīng)力的新方法，并以焊趾處含有裂紋的十字形接頭為研究對象，采用二維有限元方法，討論了局部應(yīng)變與CTOD間的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)了基于局部應(yīng)變確定CTOD的思想；對于含裂紋結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷狀況下應(yīng)用這些計算模型引起了廣泛討論，目前，很多學(xué)者在復(fù)雜載荷下對CTOD進(jìn)行了相應(yīng)研究，并得出了相應(yīng)結(jié)論。和提出CTOD計算模型一樣，Bjerke等（2011）[14]，Yi等（2014）[15]和 Ostby（2005）[16]對發(fā)生大范圍塑性變形的含裂紋管道結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值計算，并提出了一種簡單的基于塑性應(yīng)變的CTOD評估方法。Zhang（2014）[17]討論了海洋管道結(jié)構(gòu)承受大范圍塑性應(yīng)變時基于應(yīng)變的CTOD評估模型，考慮了裂紋尺寸、材料硬化指數(shù)以及外載荷對CTOD的影響。

從以上分析可知，目前對CTOD的研究要么局限于線彈性狀態(tài)，要么僅在靜載荷條件下結(jié)合塑性應(yīng)變理論對CTOD進(jìn)行有限元分析；對于承受低周循環(huán)載荷下的含裂紋船體板的斷裂評估目前很少有觸及。本文結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)在航行過程中承受的低循環(huán)高應(yīng)力外載荷條件，以含中心穿透裂紋船體板為研究對象，建立一種基于裂紋尖端局部區(qū)域累積塑性應(yīng)變的CTOD計算模型；并對循環(huán)載荷的應(yīng)力比、應(yīng)力幅的影響進(jìn)行數(shù)值分析。通過本文的分析為評估船舶構(gòu)件在實際承載狀態(tài)下的斷裂失效提供參考。

1 理論分析

式中：σy為材料屈服極限，dn取決于材料的硬化行為。對于冪硬化材料，其裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場是Hutchinson，Rice 和 Rosengren（HRR）[19-20]奇異場。 在此種情況下，dn是 Ramberg-Osgood 硬化指數(shù) n 的

對于理想彈塑性材料，Shih[18]對承受單向載荷作用下的含中心穿透裂紋的無限大板進(jìn)行研究并給出了J積分和無限大板裂紋尖端張口位移（CTOD）之間的計算公式：函數(shù)并且由Shih[21]在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變下的數(shù)值做了系列表格。對于平面應(yīng)力的情況，dn由以下三次多項式給定：

循環(huán)載荷下，對于表現(xiàn)Masing行為的材料，循環(huán)J積分ΔJ有可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。公式（1）中所有的參量可由對應(yīng)的循環(huán)參量表示，由Kumar等[22]和Heitmann等[23]的研究可知，循環(huán)J積分ΔJ可近似由彈性（小范圍屈服）和塑性部分疊加而成。假設(shè)在平面應(yīng)力的情況下，對于I型裂紋，我們可得到：

式中：n′為循環(huán)硬化指數(shù)，σcy為循環(huán)屈服強(qiáng)度，E為彈性模量，a為裂紋半長，Δσ為應(yīng)力幅值，Δεpl為塑性應(yīng)變幅值。在循環(huán)J積分ΔJ彈性部分，采用有效應(yīng)力幅值考慮裂紋閉合效應(yīng)，Δσeff=σmax-σop，σmax和σop分別表示為最大應(yīng)力和裂紋張口應(yīng)力。裂紋張口應(yīng)力σop可通過經(jīng)驗公式估算或者由數(shù)值分析結(jié)果獲取。本文中，裂紋張口應(yīng)力通過Newman[24]得到，在低周疲勞作用下較小的裂紋張口應(yīng)力對應(yīng)較大的最大應(yīng)力：

力和單軸極限拉伸應(yīng)力的平均值。

由文獻(xiàn)[25]Chaboche模型中塑性應(yīng)變與累積塑性應(yīng)變間關(guān)系微分可得：

式中：Δpn+1是第n+1次載荷循環(huán)后在裂紋尖端產(chǎn)生的等效塑性應(yīng)變增量，通過Newton-Raphson迭代即可求得；故第n+1次循環(huán)后對應(yīng)的累積塑性應(yīng)變增量Δεn+1可得；依次更新相應(yīng)參量，可求得每次對應(yīng)循環(huán)下的塑性應(yīng)變增量。

在循環(huán)載荷下，在第n+1次循環(huán)狀態(tài)下裂紋尖端塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可用Ramberg-Osgood表達(dá)為[26-27]：

將（6）式代入文獻(xiàn)[25]求解Δpn+1的Newton-Raphson迭代公式中，即可求得第n+1次循環(huán)后裂紋尖端塑性應(yīng)變增量Δpn+1，然后利用公式（5）即可獲得第n+1次循環(huán)后裂紋尖端累積塑性應(yīng)變增量Δεn+1。

本文中心穿透裂紋船體板僅承受單軸循環(huán)載荷作用，故在單軸循環(huán)應(yīng)力作用下第n+1次循環(huán)后裂紋尖端累積塑性應(yīng)變增量與該次循環(huán)下塑性應(yīng)變增量關(guān)系如下：

由（5）～（7）式可得經(jīng)過n+1次循環(huán)后累積遞增塑性應(yīng)變?yōu)椋?/p>

故（8）式即為經(jīng)過n+1次循環(huán)后中心穿透裂紋船體板在裂紋尖端位置處的累積遞增塑性應(yīng)變值。

由（3）式和（8）式可知，本文結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)在航行過程中承受的低循環(huán)高應(yīng)力外載荷條件，以中心穿透裂紋船體板為研究對象，建立了基于裂紋尖端局部區(qū)域累積遞增塑性應(yīng)變的CTOD計算模型。

2 數(shù)值分析及討論

采用大型有限元軟件ANSYS對船體板進(jìn)行有限元計算。在進(jìn)行有限元模擬時，采用8節(jié)點PLANE82號單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，材料本構(gòu)關(guān)系模型選用Chaboche非線性強(qiáng)化準(zhǔn)則。船體板幾何模型及其有限元計算網(wǎng)格模型如圖1所示，2L為缺口板長度，2W為缺口板寬度，2a為缺口板裂紋長度，裂紋尖端局部區(qū)域采用奇異網(wǎng)格單元并在局部區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化處理。有限元模型中選取船體板常用304號鋼材，其相應(yīng)材料參數(shù)選取如表1所示。

表1 304鋼的應(yīng)變疲勞參數(shù)Tab.1 Material parameters of 304 stainless steel

圖1 船體板的幾何模型及1/4有限元模型Fig.1 Geometry model and finite element model of ship plate with central through crack

2.1 循環(huán)載荷下裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變曲線

通過數(shù)值分析，基于Chaboche模型得到船體板在循環(huán)載荷作用下其裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變遲滯回線如圖2所示。從圖2中可以看出，在循環(huán)載荷作用下，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，船體板裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生了明顯的塑性應(yīng)變的累積增加。

2.2 船體板累積塑性與循環(huán)次數(shù)關(guān)系曲線

對圖1給出的船體板的有限元模型，分析應(yīng)力比和應(yīng)力幅的變化研究，其對裂紋尖端累積塑性應(yīng)變的影響。在計算中選取 L=150 mm，W=130 mm，a=10 mm。 變更應(yīng)力比 R=0.1，R=0.2和 R=0.3，應(yīng)力幅 σa=240 MPa，σa=260 MPa和 σa=280 MPa。 經(jīng)過系列有限元計算，得出不同應(yīng)力比和不同應(yīng)力幅下裂紋尖端累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系曲線如圖3和圖4所示。

圖2 基于Chaboche循環(huán)塑性模型的裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 The stress-strain curve near the crack tip of Chaboche cyclic plastic model

圖3 不同應(yīng)力比下累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.3 The curve of accumulative plastic strain vs cyclic number under different stress ratio

圖4 不同應(yīng)力幅下累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.4 The curve of accumulative plastic strain vs cyclic number under different stress amplitude

從圖3和圖4可以看出，當(dāng)應(yīng)力比或應(yīng)力幅一定時，裂紋尖端累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)的增大而逐漸增加并趨于穩(wěn)定。隨應(yīng)力比或應(yīng)力幅的增大，裂紋尖端累積塑性應(yīng)變也增加，表明循環(huán)載荷下應(yīng)力比和應(yīng)力幅對裂紋尖端累積塑性變形影響較大。

2.3 船體板裂紋尖端張口位移與循環(huán)次數(shù)關(guān)系曲線

對圖1給出的船體板的有限元模型，分析應(yīng)力比和應(yīng)力幅的變化，研究其對裂紋尖端張口位移的影響。在計算中選取L=150 mm，W=130 mm，a=10 mm。變更應(yīng)力比R=0.1，R=0.2和R=0.3，應(yīng)力幅σa=240 MPa，σa=260 MPa和σa=280 MPa。經(jīng)過系列有限元計算，得出不同應(yīng)力比和不同應(yīng)力幅下裂紋尖端張口位移隨循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系曲線如圖5和圖6所示。

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)應(yīng)力比或應(yīng)力幅一定時，循環(huán)載荷下中心穿透裂紋板CTOD隨循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸增大并趨于穩(wěn)定；隨應(yīng)力比或應(yīng)力幅的增大，裂紋尖端CTOD也隨之增加，說明循環(huán)載荷下應(yīng)力比和應(yīng)力幅對裂紋尖端CTOD影響較大。

圖5 不同應(yīng)力比下CTOD隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.5 The curve of CTOD vs cyclic number under different stress ratio

圖6 不同應(yīng)力幅下CTOD隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.6 The curve of CTOD vs cyclic number under different stress amplitude

3 循環(huán)載荷下CTOD與裂紋尖端累積塑性應(yīng)變間的關(guān)系曲線

由（3）式可知，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，船體板在循環(huán)載荷作用下其裂紋尖端張口位移變化量ΔCTOD與累積遞增塑性應(yīng)變Δεp存在一定的函數(shù)關(guān)系。本文對圖1給出的模型在循環(huán)載荷作用下，研究應(yīng)力比、應(yīng)力幅的變化對ΔCTOD和Δεp關(guān)系曲線的影響。

3.1 應(yīng)力比影響

考慮循環(huán)載荷下應(yīng)力比R對船體板ΔCTOD和Δεp間函數(shù)關(guān)系的影響時，選取應(yīng)力比分別為R=0.1，R=0.2和R=0.3，應(yīng)力幅σa=240 MPa。在材料參數(shù)保持不變的情況下分別計算裂紋尖端張開位移ΔCTOD和裂紋尖端累積塑性應(yīng)變Δεp，經(jīng)過系列有限元計算得到的數(shù)據(jù)值如圖7所示，并與（3）式的結(jié)果進(jìn)行對比。

圖7表明，在應(yīng)力比和應(yīng)力幅保持不變時，在循環(huán)載荷作用下船體板其裂紋尖端張開位移CTOD隨著累積塑性應(yīng)變增加而增大。在應(yīng)力幅一定，應(yīng)力比增加時，其趨勢亦是如此。理論結(jié)果與有限元預(yù)測結(jié)果基本重合，分散性較小，說明其具有一定的可行性和較高的預(yù)測精度。

圖7 不同應(yīng)力比下CTOD隨累積塑性應(yīng)變變化曲線Fig.7 The curve of CTOD vs accumulative plastic strain under different stress ratio

圖8 不同應(yīng)力幅下CTOD隨累積塑性應(yīng)變變化曲線Fig.8 The curve of CTOD vs accumulative plastic strain under different stress amplitude

3.2 應(yīng)力幅影響

考慮循環(huán)載荷下應(yīng)力幅σa對船體板ΔCTOD和Δεp間函數(shù)關(guān)系的影響時，選取應(yīng)力幅值分別為σa=240 MPa，σa=260 MPa，σa=280 MPa，應(yīng)力比R=0.1。在材料參數(shù)保持不變的情況下分別計算裂紋尖端張開位移ΔCTOD和裂紋尖端累積塑性應(yīng)變Δεp，經(jīng)過系列有限元計算得到的數(shù)據(jù)值如圖8所示，并與（3）式的結(jié)果進(jìn)行對比。

圖8表明，在應(yīng)力幅和應(yīng)力比保持不變時，在循環(huán)載荷作用下船體板其裂紋尖端張開位移CTOD隨著累積塑性應(yīng)變增加而增大。在應(yīng)力比一定，應(yīng)力幅增加時，其趨勢亦是如此。理論結(jié)果與有限元預(yù)測結(jié)果基本重合，分散性較小，說明其具有一定的可行性和較高的預(yù)測精度。

4 結(jié) 論

本文基于彈塑性斷裂力學(xué)理論，從循環(huán)J積分著手，以裂紋尖端累積塑性應(yīng)變?yōu)橹匾獏⒘?，建立循環(huán)載荷下船體板CTOD理論模型，并在有限元模擬中分析了應(yīng)力比、應(yīng)力幅等相關(guān)因素影響，得到了如下結(jié)論：

（1）在循環(huán)載荷作用下，裂紋尖端局部區(qū)域?qū)a(chǎn)生塑性應(yīng)變的累積，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，裂紋尖端的累積塑性應(yīng)變將逐漸增加并最終趨于穩(wěn)定。

（2）研究表明：應(yīng)力比、應(yīng)力幅值對裂紋尖端張開位移-累積塑性應(yīng)變關(guān)系曲線影響較為明顯。任其中一者保持不變，另外一項增加時，船體板裂紋尖端張開位移隨裂紋尖端累積塑性應(yīng)變的增加而增大。這一趨勢與理論結(jié)果吻合較好。

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