李政鴻，徐武，張曉晶，余音

上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240

共線孔邊多裂紋是飛機(jī)結(jié)構(gòu)廣布疲勞損傷源的一種主要形式[1-3]。試驗(yàn)研究表明：含共線孔邊多裂紋結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與壽命要比含單一裂紋結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與壽命小很多[4]。飛機(jī)結(jié)構(gòu)因出現(xiàn)共線孔邊疲勞多裂紋而引起了1988年著名的Aloha航空事故[4]。為保證飛機(jī)結(jié)構(gòu)安全，學(xué)術(shù)界、工程界和適航當(dāng)局開展了大量研究，取得了豐富的研究成果并修訂了相應(yīng)的適航條款[1-3]。然而，2011年4月，美國西南航空公司一架服役了15年的Boeing 737飛機(jī)在爬升到11 000 ft (1 ft=0.304 8 m)的高度時(shí)機(jī)身快速失壓。隨后的事故分析表明[5]：機(jī)艙失壓是由機(jī)身連接處一條1.5 m長的裂縫引起的，詳細(xì)的斷口分析表明這條裂縫上包含58個(gè)鉚釘孔，其中54個(gè)鉚釘孔的周圍出現(xiàn)了疲勞小裂紋。這些事故和已有的研究[6-7]表明：廣布疲勞損傷依然嚴(yán)重威脅飛機(jī)結(jié)構(gòu)的安全。因此，有必要建立和完善分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)廣布疲勞損傷的試驗(yàn)與理論分析方法，以確保飛機(jī)結(jié)構(gòu)不因潛在的廣布疲勞損傷而導(dǎo)致災(zāi)難性事故。

共線多孔多裂紋疲勞擴(kuò)展壽命預(yù)測主要包括疲勞裂紋擴(kuò)展分析模型和多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子分析。在疲勞裂紋擴(kuò)展分析模型方面，目前主要采用的模型有Newman[8]的裂紋閉合模型和Paris疲勞裂紋擴(kuò)展公式。在應(yīng)力強(qiáng)度因子分析方面，Bowie[9]最早采用復(fù)變保角變換法給出了無限寬板孔邊單裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解。Newman[10]發(fā)展了邊界元法獲得了無限寬板在不同載荷情況下孔邊兩條等長裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解。Fu和Zhang[11]采用復(fù)變變分法給出了有限板中心孔邊兩條不等長裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解。Zhao等[12]采用復(fù)變函數(shù)法給出了無限板多孔多裂紋受遠(yuǎn)端均勻載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解。郭樹祥和許希武[13]采用Faber級數(shù)和保角映射技術(shù)建立了任意多孔多裂紋有限板的應(yīng)力強(qiáng)度因子分析方法。Milliwater[14]發(fā)展了分析無限平板共線裂紋的簡易方法，Chen和Wang采用積分方程法建立了有限平板共線裂紋的積分方程法[15]。最近，Xu等[7,16-18]發(fā)展了分析共線裂紋的權(quán)函數(shù)法，給出了典型共線裂紋和共線孔邊裂紋的權(quán)函數(shù)和高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子解。對于復(fù)雜多孔多裂紋，組合法是一個(gè)常用的工程方法[19]。該方法基于已有簡單裂紋問題的解析解，通過對簡單裂紋問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子組合疊加來分析復(fù)雜裂紋，這一方法需要一定的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算精度有時(shí)難以保證。有限元方法由于其適應(yīng)性好，也常用于分析復(fù)雜多孔多裂紋問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子解[20]，然而該方法在進(jìn)行疲勞裂紋分析時(shí)由于計(jì)算量過大而受限制。

本文受已有工作的啟發(fā)并結(jié)合作者們的前期研究基礎(chǔ)[7,16-18]，重點(diǎn)研究了典型多孔多裂紋平板的應(yīng)力強(qiáng)度因子分析方法，同時(shí)設(shè)計(jì)試驗(yàn)研究多裂紋平板的疲勞裂紋擴(kuò)展行為，并采用試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證本文所提方法的有效性。初步的研究結(jié)果表明：本文的方法簡單、可靠、高效，可用于多孔多裂紋結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展分析和多位置損傷 (MSD)的可靠性分析。

1 疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)

1.1 疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)矩陣

本文設(shè)計(jì)了如表1和圖1所示的試驗(yàn)矩陣。

Case 1用于獲得寬范圍應(yīng)力強(qiáng)度因子變程的疲勞裂紋性能數(shù)據(jù)，以進(jìn)行 Case 2～Case 6的裂紋擴(kuò)展分析；Case 2用于獲得單孔雙裂紋的裂紋擴(kuò)展行為，確定基于Paris裂紋擴(kuò)展公式的壽命預(yù)測精度。Case 3～Case 6用于研究多孔多裂紋的擴(kuò)展行為，驗(yàn)證本文的裂紋擴(kuò)展分析方法。所有試樣材料為2024-T3鋁合金平板，厚度為1 mm， L-T取向。試樣形式及切口位置分布如圖1所示。試樣上的缺口使用線切割慢走絲的方式切割，切割寬度為0.2 mm，方向保持水平。

表1 試驗(yàn)矩陣Table 1 Test matrix

1.2 疲勞載荷

疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)使用MTS 10T疲勞試驗(yàn)機(jī)，依據(jù)ASTM標(biāo)準(zhǔn)[21]，載荷加載方式為力控制，加載頻率為5 Hz。為獲得寬范圍的疲勞裂紋擴(kuò)展性能數(shù)據(jù)，本文Case 1采用了2種載荷，一個(gè)最大載荷為50 MPa，另一個(gè)最大載荷為100 MPa， 2種載荷的應(yīng)力比都為0.06。每種載荷測試3個(gè)試樣。其他試驗(yàn)的最大載荷為100 MPa，應(yīng)力比為0.06。

1.3 疲勞裂紋擴(kuò)展特性

通過試驗(yàn)觀察得到多孔多裂紋平板的疲勞裂紋擴(kuò)展行為：Case 2中包含一個(gè)中心孔，孔兩邊無預(yù)制切口。試驗(yàn)過程中裂紋從孔兩側(cè)先后萌生，并向兩側(cè)水平擴(kuò)展，在兩側(cè)裂紋均擴(kuò)展了30～40 mm左右時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂；Case 3中，裂紋孔位于共線多孔的最左側(cè)，如圖1所示，其右側(cè)裂紋首先與其右側(cè)最接近的旁孔發(fā)生連通，之后其左側(cè)裂紋與邊界連通；Case 4中，位于中間的裂紋孔兩側(cè)裂紋以幾乎相同的速率向兩側(cè)擴(kuò)展，并分別與相鄰旁孔連通；Case 5中，位于中間的兩個(gè)裂紋孔兩側(cè)相對的兩條裂紋首先發(fā)生了連通，接著最左側(cè)的裂紋與相鄰的光孔連通；Case 6中，各個(gè)孔邊裂紋幾乎同時(shí)擴(kuò)展，在任意兩條裂紋連通之前，結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂。

2 典型多孔多裂紋平板的應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

2.1 基于相變增韌理論的應(yīng)力強(qiáng)度因子修正方法

本文采用相變增韌原理研究多個(gè)共線孔中旁孔對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。如圖3所示，一個(gè)二維任意形狀(區(qū)域)的夾雜鑲嵌在I型裂紋尖端應(yīng)力場中，假設(shè)以裂紋尖端為原點(diǎn)，夾雜內(nèi)任意一塊積分微元的極坐標(biāo)為(r,θ)?？紤]夾雜對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，文獻(xiàn)[24]基于相變增韌原理和Eshelby夾雜理論給出了計(jì)算夾雜對裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子增韌值的積分表達(dá)式為

(1a)

式中：KI為無夾雜時(shí)裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子；C1和C2為與材料相關(guān)的常數(shù)，且

(1b)

其中：Ei和Em分別為夾雜和基體的彈性模量；υ為泊松比。

考慮裂紋尖端增韌作用的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

(2a)

(2b)

對于本文，旁孔可當(dāng)作模量為0的夾雜處理，即Ei=0，代入式(1b)可得C1=C2=1。對于這種情況，式(2b)中的g為僅與裂紋及圓孔幾何參數(shù)有關(guān)的系數(shù)。通過對式(2b)積分可獲得不同裂紋尖端到旁孔中心距離為L時(shí)的g值。通過對積分?jǐn)?shù)值的擬合，可得裂紋靠近孔邊時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度增韌因子g的表達(dá)式為

g(Rh/L)=

(3)

式中：Rh為孔半徑；L為裂紋尖端到圓孔中心的距離。即，增韌因子只與裂紋尖端到圓孔中心的距離及孔徑的比值有關(guān)。一旦孔邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子確定，采用式(3)修正便可確定圖1所示Case 3～Case 5中旁孔對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。通過式(3)對無限板單孔孔邊兩條等長裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正便得到Case 4的應(yīng)力強(qiáng)度因子。當(dāng)Rh/L≤0.95時(shí)，式(2a)與式(3)計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子與有限元分析的結(jié)果相比誤差在2%之內(nèi)。即式(3)可高效、可靠地考慮旁孔對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

2.2 多孔多裂紋平板的應(yīng)力強(qiáng)度因子近似解

飛機(jī)結(jié)構(gòu)中，鉚釘孔的孔間距w與孔直徑d的比值w/d通常在4～6之間。其中孔間距w指相鄰兩個(gè)圓孔圓心的距離。通過計(jì)算可以得出，當(dāng)孔間距在此范圍內(nèi)、孔邊裂紋長度a與孔半徑Rh的比值a/Rh≤1時(shí)，裂紋之間的相互影響很小，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子主要受裂紋孔的影響[18]，這類共線多孔短裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子采用權(quán)函數(shù)法可以獲得:

(4a)

(4b)

式中：G(a,x,a/Rh) 為孔邊裂紋的格林函數(shù)，孔邊單一裂紋和兩條等長裂紋的格林函數(shù)分別由文獻(xiàn)[25-26]給出;σ(x)為無裂紋時(shí)孔邊的應(yīng)力分布。當(dāng)孔邊出現(xiàn)兩條不等長小裂紋時(shí)，兩條裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子可分別近似采用式(4a)計(jì)算獲得，其中G(a,x,a/Rh)為孔邊單一裂紋的格林函數(shù)[25]。

當(dāng)裂紋擴(kuò)展到一定長度時(shí)，a/Rh>1，就需要考慮裂紋之間的相互影響。本文將分別給出圖1中各種裂紋分布形式的具體分析方法。

對于Case 3，當(dāng)a/Rh>1時(shí)，近似為有限大板孔邊2條裂紋。當(dāng)a/Rh>2時(shí)，把孔和裂紋等效成一條裂紋，采用文獻(xiàn)[27]中有限大板偏心裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，同時(shí)使用式(3)予以修正，以考慮裂紋前端孔的影響。

對于Case 4，本文采用無限單孔平板孔邊兩條等長裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解，再采用式(3)修正旁孔的影響以獲得裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

對于Case 5中的3條裂紋，當(dāng)a/Rh>1時(shí)，將孔及其孔邊裂紋視為一條長裂紋，如圖4所示，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子采用應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊[22]中無限平板2條不等長共線裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解，需要注意的是在裂紋擴(kuò)展分析時(shí)，只有裂尖1、2、3擴(kuò)展，而裂尖4不擴(kuò)展。同時(shí)，使用式(3)修正旁孔對裂尖1的影響。

對于Case 6，每個(gè)孔的初始條件一樣，將其近似為周期性孔邊出現(xiàn)2條等長裂紋。該裂紋幾何的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算采用式(4)的權(quán)函數(shù)法，其中周期性孔邊裂紋權(quán)函數(shù)由式(5)給出，σ(x)為無裂紋時(shí)孔邊應(yīng)力分布[18]。

m(a,x,a/Rh,l/w,Rh/w)=G(a,x,a/Rh)·

(5)

式中：2w為孔間距；l=Rh+a。

本文將采用以上方法分析裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，進(jìn)而進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展分析。

3 疲勞裂紋擴(kuò)展分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

由于Paris公式簡單且適用于常幅譜，本文采用Paris公式及1.3節(jié)中的材料參數(shù)進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析。分析過程中所需的應(yīng)力強(qiáng)度因子采用第2節(jié)中的方法獲得。

3.1 疲勞裂紋擴(kuò)展分析方法

Paris裂紋擴(kuò)展公式為

(6)

對于單一裂紋或者對稱裂紋，通過對式(6)進(jìn)行數(shù)值積分便可以獲得裂紋擴(kuò)展壽命。對于多裂紋平板，由于多裂紋的協(xié)調(diào)擴(kuò)展，本文按照圖5所示的流程分析裂紋的擴(kuò)展行為。

需要注意的是，Case 3～Case 6中初始裂紋長度定義為從預(yù)制缺口處擴(kuò)展1 mm，即1.5 mm，以便減小線切割缺口對疲勞裂紋擴(kuò)展分析結(jié)果的影響。而Case 2中孔邊無預(yù)制切口，為方便與其他試驗(yàn)進(jìn)行對照，在分析過程中，確定其初始裂紋長度為從孔邊擴(kuò)展1.5 mm。多裂紋擴(kuò)展的分析流程與單一裂紋的擴(kuò)展分析流程基本相同。主要區(qū)別在于，多裂紋協(xié)調(diào)擴(kuò)展，各裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子受其他裂紋擴(kuò)展的影響。為考慮孔和裂紋間的相互影響，每個(gè)裂紋ai的應(yīng)力強(qiáng)度因子K(ai)由第2節(jié)的分析方法給出。

采用Paris裂紋擴(kuò)展公式，經(jīng)過dN次疲勞循環(huán)載荷后各裂紋擴(kuò)展增量為dai=C[ΔK(ai)]m·dN, 相應(yīng)的裂紋長度和總循環(huán)數(shù)分別為ai=ai+dai，Ni=Ni+dN，在本文的分析中dN取100次。更新各裂紋長度，重復(fù)上述裂紋擴(kuò)展分析過程，記錄每個(gè)裂紋長度ai及循環(huán)次數(shù)N。

3.2 基于有限元的疲勞裂紋擴(kuò)展分析方法

為驗(yàn)證使用第2節(jié)得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子解進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展分析的精度，評價(jià)其與基于有限元法的疲勞裂紋擴(kuò)展分析相比的優(yōu)劣，本文同時(shí)采用有限元法對圖1所示的結(jié)構(gòu)進(jìn)行壽命預(yù)測。

考慮到模型的對稱性，對Case 2～Case 5建立1/2對稱有限元模型，對Case 6周期性孔的問題建立1/4對稱模型。模型的單元類型均為平面應(yīng)力4節(jié)點(diǎn)單元CPS4。

使用圖5中的流程進(jìn)行預(yù)測，與第2節(jié)分析方法不同的是，各裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子通過MA-TLAB實(shí)時(shí)調(diào)用有限元軟件ABAQUS計(jì)算獲得。有限元模型(FEM)及Case 4的約束如圖6所示，對需要設(shè)置孔邊裂紋的孔周圍網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，在對稱面上除裂紋面以外的節(jié)點(diǎn)設(shè)置對稱約束 YSYMM(U2=0)。其他情況的有限元模型及約束與圖6類似。

3.3 疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)結(jié)果與分析

采用3.1節(jié)和3.2節(jié)的2種方法，分別對5種典型含孔和裂紋結(jié)構(gòu)的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測，得到了各裂紋的擴(kuò)展長度和循環(huán)次數(shù)的關(guān)系。同時(shí)將2種預(yù)測結(jié)果與1.2節(jié)試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示。

在Case 2～Case 4中，以結(jié)構(gòu)唯一的裂紋孔圓心為原點(diǎn)，Case 5以第4孔圓心為原點(diǎn)，Case 6以板中心為原點(diǎn)，在裂紋擴(kuò)展方向上建立坐標(biāo)系，將裂紋擴(kuò)展過程中裂尖的橫坐標(biāo)與此時(shí)加載次數(shù)繪入圖7中。圖中試驗(yàn)壽命的起始點(diǎn)為擴(kuò)展最快的裂紋從預(yù)制的缺口處向前擴(kuò)展1 mm時(shí)的壽命，以盡量減小缺口的影響。為了與此相對應(yīng)，裂紋擴(kuò)展分析時(shí)，初始裂紋長度都取1.5 mm(0.5 mm的預(yù)制缺口與1 mm的裂紋擴(kuò)展之和)。

對于Case 2，圖7(a)給出了3個(gè)試樣的疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)結(jié)果，由3種符號表示。本文采用有限板孔邊2條等長裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解，預(yù)測了孔邊2條等長1.5 mm初始裂紋的擴(kuò)展壽命，由圖7(a)中的實(shí)線表示。同時(shí)，采用3.2節(jié)的有限元法預(yù)測了2條等長裂紋的擴(kuò)展壽命，如圖中虛線所示。由于疲勞試驗(yàn)分散性的原因，試驗(yàn)過程中會(huì)出現(xiàn)單邊裂紋擴(kuò)展很長，而另一邊尚未萌生裂紋的情況。為此，本文使用有限元法預(yù)測了孔邊單條1.5 mm長初始裂紋的擴(kuò)展壽命，由圖7(a)中點(diǎn)劃線表示。從圖中可以看出：試驗(yàn)結(jié)果介于單孔單邊與單孔雙邊2種預(yù)測結(jié)果之間，有限元預(yù)測結(jié)果與采用3.1節(jié)方法的計(jì)算結(jié)果基本一致。

圖7(b)給出了Case 3的試驗(yàn)結(jié)果和分析預(yù)測得到的裂紋擴(kuò)展長度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系。采用本文提出的近似方法預(yù)測了孔邊兩側(cè)出現(xiàn)1.5 mm等長初始裂紋的擴(kuò)展情況，并由實(shí)線表示。采用有限元法的預(yù)測結(jié)果由圖中虛線表示。從圖中可以看出，采用本文近似應(yīng)力強(qiáng)度因子解預(yù)測的裂紋擴(kuò)展與采用有限法計(jì)算的結(jié)果基本一致。

圖7(c) 給出了Case 4的試驗(yàn)結(jié)果和分析預(yù)測裂紋擴(kuò)展長度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系。對比試驗(yàn)結(jié)果表明：Case 3孔邊裂紋連通旁孔的壽命要比Case 4連通旁孔的壽命短。這表明，試樣最外側(cè)孔出現(xiàn)孔邊裂紋更危險(xiǎn)。從圖中可以看出：基于有限元和本文第2節(jié)的應(yīng)力強(qiáng)度因子解都可以可靠地預(yù)測裂紋的擴(kuò)展。

從圖7的結(jié)果可以看出，分析預(yù)測的裂紋擴(kuò)展行為及連通順序與試驗(yàn)結(jié)果一致。使用簡單、近似的應(yīng)力強(qiáng)度因子方法與使用有限元法進(jìn)行壽命預(yù)測的結(jié)果相差很小。相比于有限元法，本文給出的方法更加簡單、高效。

4 結(jié) 論

通過試驗(yàn)、理論和有限元分析，研究了2024-T3鋁合金單孔孔邊裂紋及典型多孔多裂紋平板的應(yīng)力強(qiáng)度因子解和疲勞裂紋擴(kuò)展行為，得到以下結(jié)論：

1) 多裂紋明顯降低了結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展壽命。就本文研究的典型多孔多裂紋板及載荷條件，所有共線孔都出現(xiàn)等長裂紋的這一極端情況，其疲勞裂紋擴(kuò)展壽命是單孔雙裂紋平板疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的10%左右。這表明飛機(jī)結(jié)構(gòu)廣布疲勞損傷嚴(yán)重威脅飛機(jī)結(jié)構(gòu)安全。

2) 結(jié)合相變增韌原理和權(quán)函數(shù)方法給出了4種典型的多孔多裂紋平板的裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子解，這些解可定量考慮孔的影響及裂紋之間的影響。采用這些簡易的應(yīng)力強(qiáng)度因子解進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展分析的結(jié)果與采用有限元法分析的結(jié)果基本一致，且預(yù)測的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。相比于有限元法，本文給出的應(yīng)力強(qiáng)度因子分析方法更加簡單、高效。