李翔，李夕兵，周子龍

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圍巖變形準(zhǔn)則下考慮目標(biāo)失穩(wěn)概率的巖石隧道可靠度逆向計算

李翔，李夕兵，周子龍

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

針對軟弱質(zhì)巖石環(huán)境下的隧道圍巖變形機制，建立基于圍巖變形失穩(wěn)控制的極限狀態(tài)方程。為了研究其相應(yīng)的可靠度逆向問題即在已知目標(biāo)失穩(wěn)概率條件下，反求工程參數(shù)以確保滿足預(yù)先規(guī)定的可靠度水平，引入逆向可靠度方法并歸納其具體的計算實施流程。采用該方法驗證其在巖石隧道可靠度逆向分析過程中待求工程參數(shù)的計算精度和效率，分析待求工程參數(shù)在不同初值條件下對計算結(jié)果的影響。在此基礎(chǔ)上，考慮不同水平的目標(biāo)失穩(wěn)概率，通過該方法開展基于圍巖變形準(zhǔn)則的巖石隧道穩(wěn)定性設(shè)計。研究結(jié)果表明：逆向可靠度方法對于待求工程參數(shù)能以較高效率獲得滿意的計算結(jié)果，且其初值選取不會影響該方法求解的準(zhǔn)確性，僅對其收斂速度有一定影響；利用逆向可靠度方法可方便調(diào)控待求工程參數(shù)值，為巖石隧道工程設(shè)計提供參考依據(jù)。

巖石隧道；圍巖變形；目標(biāo)失穩(wěn)概率；逆向可靠度；穩(wěn)定性設(shè)計

眾所周知，現(xiàn)代巖石隧道支護的核心觀點之一是將圍巖自身視為支護結(jié)構(gòu)的重要組成部分，強調(diào)最大限度地發(fā)揮圍巖自承作用，通過現(xiàn)場監(jiān)控量測，適時設(shè)置支護。這一動態(tài)設(shè)計思想(即信息化設(shè)計)的實施過程主要取決于有無圍巖變形(如洞周收斂、拱頂下沉等)的量測[1]。圍巖變形是隧道力學(xué)行為最明顯最集中的反映，掌握了圍巖變形過程也就把握了隧道穩(wěn)定狀 態(tài)[2]。采用圍巖變形來判別隧道穩(wěn)定性，較易借助工程類比總結(jié)經(jīng)驗，針對允許變形值建立相關(guān)判別準(zhǔn)則，進而對這種宏觀量測信息反映的隧道穩(wěn)定狀態(tài)及時作出判別和反饋[3?4]，其相關(guān)應(yīng)用已納入公路[5]、鐵路[6]等巖石隧道工程規(guī)范。鑒于決定上述巖石隧道穩(wěn)定性的巖質(zhì)材料及賦存條件等眾多因素存在無法忽視的不確定性，與傳統(tǒng)的定值(或確定性)方法相比，可靠度方法通過求解失穩(wěn)概率等表征指標(biāo)，更明確地考慮這些不確定性對其穩(wěn)定狀態(tài)的影響[7?12]。這些研究關(guān)注的重點旨在探討失穩(wěn)概率(或可靠度指標(biāo))計算方法及評判其失穩(wěn)概率，從分析過程上看，它們均是在已知工程設(shè)計參數(shù)(如錨噴支護體系中的錨桿支護阻力等)情形下求解失穩(wěn)概率，以該概率表征指標(biāo)值體現(xiàn)圍巖失穩(wěn)風(fēng)險。這一過程通常視為可靠度的正向分析過程，相應(yīng)的方法稱為正向可靠度方法(forward reliability method)[13?14]。在實際工程應(yīng)用中，一般需根據(jù)巖石隧道的工程重要性、破壞性質(zhì)以及失穩(wěn)后果等因素選定用于其穩(wěn)定可靠度分析的目標(biāo)失穩(wěn)概率(即可接受的失穩(wěn)概率值或可靠度指標(biāo)，反映設(shè)計允許的風(fēng)險水平)[15?16]。這要求在此過程中解決1個關(guān)鍵問題，即當(dāng)預(yù)先已知目標(biāo)失穩(wěn)概率時，如何調(diào)控與圍巖加固處治措施有關(guān)的上述工程設(shè)計參數(shù)，以便直觀地為其穩(wěn)定可靠度分析提供指導(dǎo)依據(jù)，進而通過控制圍巖變形達到降低失穩(wěn)風(fēng)險水平的設(shè)計目標(biāo)。顯然，與前述可靠度的正向分析過程相比，這一過程可視為可靠度的逆向分析過程。事實上，當(dāng)前有關(guān)工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計規(guī)范已逐步發(fā)展為通過預(yù)先定義目標(biāo)可靠度水平(對應(yīng)目標(biāo)失穩(wěn)概率或目標(biāo)可靠度指標(biāo))來確保結(jié)構(gòu)安全，即結(jié)構(gòu)允許的風(fēng)險水平在設(shè)計前已根據(jù)其破壞類型及安全等級預(yù)先給予規(guī)定，如國內(nèi)的GB/T 50283—1999“公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”[17]、GB 50153—2008“工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”[18]、GB 50199—2013“水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”[19]以及ISO2394—2015[20]等。相應(yīng)地，在此工程背景下，為滿足依據(jù)目標(biāo)失穩(wěn)概率開展穩(wěn)定可靠度分析的發(fā)展趨勢，需通過反求有關(guān)工程設(shè)計參數(shù)來確保滿足預(yù)先規(guī)定的可靠度水平。由此可知，這必然涉及可靠度的逆向分析問題。需指出的是：對于此類問題的解決，從理論上講，仍可沿襲傳統(tǒng)意義上的可靠度分析方法，即在可靠度正向求解框架內(nèi)，通過試算糾錯(trial and error)方式[8, 21]求得滿足目標(biāo)失穩(wěn)概率的工程設(shè)計參數(shù)。但是，這種方式需人為針對設(shè)計參數(shù)值進行不斷修改、反復(fù)調(diào)試直至失穩(wěn)概率計算值達到目標(biāo)值水 平[22?23]，由此造成分析流程繁瑣、求解效率低，工程實際應(yīng)用顯然極為不便[13?14]；此外，上述不斷修改、反復(fù)調(diào)整的過程往往帶有很大主觀隨意性或盲目性，可能導(dǎo)致后續(xù)可靠度計算出現(xiàn)較大困難，甚至難以實現(xiàn)[14]。這些局限性使得傳統(tǒng)意義上的可靠度分析方法應(yīng)用于逆向分析問題時，不具備工程普遍適用性而難以推廣，實際應(yīng)用受到很大限制，因此，有必要針對該問題尋求合理有效的解決途徑。為此，本文引入旨在專門解決上述問題的逆向可靠度方法(inverse reliability method)[13?14, 24]，圍繞其在巖石隧道穩(wěn)定可靠度逆向問題分析領(lǐng)域的初步應(yīng)用進行研究。首先，以軟弱質(zhì)巖石環(huán)境下的圍巖變形機制為例，導(dǎo)出其在圍巖變形失穩(wěn)控制下的極限狀態(tài)方程；然后，基于此極限狀態(tài)方程，探討逆向可靠度方法解決巖石隧道可靠度逆向分析問題時的適用性；最后，考慮到不同的目標(biāo)失穩(wěn)概率，利用逆向可靠度方法，開展基于圍巖變形準(zhǔn)則的巖石隧道穩(wěn)定性設(shè)計，以期為確定控制圍巖變形失穩(wěn)需進一步采取的工程處治措施提供相關(guān)依據(jù)。

1 基于圍巖變形控制的極限狀態(tài)方程

1.1 圍巖變形的基本力學(xué)分析模型

HOEK[25?26]針對軟弱質(zhì)巖石(weak rock)隧道施工開挖時圍巖與支護間相互作用關(guān)系進行分析，其中，為便于理解并清晰闡述圍巖如何變形、支護系統(tǒng)如何控制這些變形等有關(guān)問題，依據(jù)DUNCAN FAMA[27]開展的彈塑性力學(xué)分析工作建立了圍巖與支護間相互作用的基本模型，見圖1。在該經(jīng)典模型中，圍巖視為靜水應(yīng)力場中均質(zhì)、各向同性連續(xù)介質(zhì)，并設(shè)該巖石隧道開挖半徑為0，受到的水平與豎向地應(yīng)力均為0，洞室周邊施加均勻的支護應(yīng)力為s，圍巖彈性模量、泊松比、內(nèi)摩擦角和黏聚力分別為，，和。

且彈性區(qū)內(nèi)應(yīng)力需滿足平衡方程：

若將p(對應(yīng)洞室周邊塑性區(qū))和cr(為洞室周邊圍巖剛開始破壞時的最小支護阻力，又稱臨界應(yīng)力)分別視為彈塑性邊界處的半徑和正應(yīng)力，彈性區(qū)(＞p)應(yīng)力則可表示為

相應(yīng)地，塑性區(qū)(＜p)應(yīng)力表達形式為

當(dāng)支護阻力s小于臨界應(yīng)力cr時，圍巖將出現(xiàn)破壞，洞室周邊塑性區(qū)半徑p可表示為

在此基礎(chǔ)上，為求解得到圍巖徑向塑性位移，在其塑性變形破壞過程中出現(xiàn)沿相互交切的結(jié)構(gòu)面滑動時，假定塑性體積變化為0。對于圍巖線彈性環(huán)(r≤≤r+1)[27]，設(shè)相應(yīng)的彈性模量和泊松比分別為E和，則圍巖在處對應(yīng)的徑向位移表示為

式中：p*=p–λ0；p為=r時的徑向應(yīng)力。λ由下式獲得：

在式(8)和式(9)中，若取= 2，3→∞，則有3=0；若取=1，可得1=0，1=s，2=p，2=cr，則式(8)可轉(zhuǎn)化為

再結(jié)合式(7)和式(10)，經(jīng)整理后可得圍巖徑向塑性位移ip的表達式：

1.2 圍巖變形的極限狀態(tài)方程

極限狀態(tài)方程的建立是開展可靠度分析的基本前提。根據(jù)以上巖石隧道對應(yīng)的基本力學(xué)分析模型，基于式(6)和式(11)可分別構(gòu)建如下形式的極限狀態(tài)方程1()和2()：

式中：為由與巖石隧道有關(guān)的基本變量組成的隨機向量；為與(p/0)有關(guān)的限值比(limiting ratio)或容許閾值比(permissible threshold ratio)[8, 10, 16, 21]；max為洞室周邊圍巖變形對應(yīng)的最大允許位移，其值一般依據(jù)工程規(guī)范或經(jīng)驗總結(jié)選取[7, 16]。1()表明對于圍巖塑性區(qū)的發(fā)展，當(dāng)塑性區(qū)半徑p與開挖半徑0之比(p/0)不超過時，可認為圍巖是穩(wěn)定的；2()表明若圍巖塑性位移(或預(yù)計最終位移)ip不超過位移限值max，則意味著圍巖是穩(wěn)定的。

2 逆向可靠度方法

逆向可靠度方法的突出特點是當(dāng)預(yù)先規(guī)定目標(biāo)失穩(wěn)概率后，獲得的工程設(shè)計待求參數(shù)既考慮了不確定性因素影響，又滿足了給定的可靠度水平。該方法符合當(dāng)前國內(nèi)外工程規(guī)范發(fā)展趨勢中依照目標(biāo)可靠度水平進行設(shè)計的理念，其已成為處理工程結(jié)構(gòu)可靠度問題的重要組成部分[16]。逆向可靠度方法最早可追溯至20世紀(jì)70年代關(guān)于如何處理工程結(jié)構(gòu)隨機變量累計分布函數(shù)的逆向估測(inverse measure)問題[28]。從20世紀(jì)90年代起，有關(guān)可靠度逆向分析問題的研究才真正意義上開展起來，進而形成了基本的理論框 架[13?14]，并在此基礎(chǔ)上提出一系列改進措施[29?30]。對于逆向可靠度的定義，通?？杀硎鰹椋涸陬A(yù)先給定目標(biāo)失穩(wěn)概率(f)Target或目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target的情形下，對于表達式

期望得到待求參數(shù)，使其獲得的可靠度水平等于目標(biāo)失穩(wěn)概率(f)Target。其中，隨機向量= (1,2, …,X)，表示原始空間對應(yīng)的個基本變量X(= 1, 2, …,)；()和()分別為原始空間和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的極限狀態(tài)方程，通過對的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化轉(zhuǎn)換可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中隨機向量；F為X的累積分布函數(shù)；(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的累積分布函數(shù)。

按照對目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target幾何意義的描述，它表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間坐標(biāo)原點至極限狀態(tài)曲面的最短距離，即對應(yīng)以下最優(yōu)化問題：

式中：= (1,2, …, u, …, u)，表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中隨機向量包含個基本變量u。

結(jié)合式(14)和式(15)，在驗算點處標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機向量和目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target分別滿足：

注意到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機向量位于極限狀態(tài)曲面上，故式(14)中(,) =(,) = 0。若設(shè)待求參數(shù)的初始值為0，利用Taylor級數(shù)將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的功能函數(shù)()在0處展開，截取其前2項后可得

根據(jù)式(19)可進一步求得待求參數(shù)：

再由f=(–)計算得到目標(biāo)失穩(wěn)概率(f)Target。

以上給出了逆向可靠度方法基本的計算實施 流程。

3 工程算例分析

3.1 可靠度逆向問題的待求設(shè)計參數(shù)計算

以式(12)所示極限狀態(tài)方程1()為例。該極限狀態(tài)方程被廣泛應(yīng)用于正向可靠度范疇內(nèi)各種不同計算方法的對比分析[8, 10, 16, 21]，其中涉及的隨機變量為：巖石內(nèi)摩擦角和黏聚力，它們均服從正態(tài)分布(的均值為22.85°，標(biāo)準(zhǔn)差為1.31°；的均值為0.23 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為0.068 MPa)；開挖半徑0、初始地應(yīng)力0以及支護阻力s視為確定性參數(shù)，且0= 2.5 m(對應(yīng)= 3.0)，0= 2.5 MPa。s則根據(jù)計算需要可分別選取一系列確定值。

可靠度逆向分析問題可描述為：當(dāng)預(yù)先規(guī)定目標(biāo)失穩(wěn)概率(f)Target(或目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target)時，如何由式(12)反求維持圍巖穩(wěn)定所需的支護阻力s，即待求工程設(shè)計參數(shù)(設(shè)為d)。為便于說明在解決該可靠度逆向問題時采用本文方法的可行性和準(zhǔn)確性，首先考慮在可靠度正向分析范疇內(nèi)，支護阻力s作為已知工程參數(shù)，可分別取0，0.05，0.10，0.15，0.20，0.25，0.30，0.35，0.40和0.45 MPa，進而通過式(12)求得10個相應(yīng)的可靠度指標(biāo)Foraward和驗算點；然后，將以上由可靠度正向計算獲得的這10個可靠度指標(biāo)Foraward視為可靠度逆向分析中的目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target，即Target=Forward；同時，將支護阻力s視為工程設(shè)計未知的待求參數(shù)d。根據(jù)這些給定的目標(biāo)可靠度指標(biāo)，采用本文逆向可靠度方法反求每個目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target對應(yīng)的d，計算結(jié)果見表1。

從表1可見：在計算精度上，對于每個給定的目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target，通過本文逆向可靠度方法計算得到的待求設(shè)計參數(shù)d(支護阻力)與可靠度正向分析中支護阻力s作為已知工程參數(shù)時的值一致，且求得的驗算點值與通過可靠度正向分析獲得的驗算點值也非常接近；在計算效率上，可靠度逆向分析過程計算工作量較少，只需5~9次迭代就可得到相應(yīng)結(jié)果。

需指出的是：對于以上逆向可靠度方法的實施過程，待求設(shè)計參數(shù)計算需預(yù)設(shè)其初始值(見式(19)和式(20))。因此，為進一步探究其初始值選取對可靠度逆向計算結(jié)果的影響，以表1中可靠度正向分析涉及的支護阻力s=0.3 MPa，對應(yīng)可靠度指標(biāo)Forward=2.580 9為例，當(dāng)采用本文逆向可靠度方法時，設(shè)目標(biāo)可靠度指標(biāo)Target=Forward=2.580 9，并試取待求設(shè)計參數(shù)d的初始值分別為0.001，0.005，0.010，0.050，0.100，0.500，1.000，1.500，2.000，2.500，3.000和3.500 MPa，進而依次求得d相應(yīng)的計算結(jié)果，如表2所示。

表1 可靠度逆向分析的待求參數(shù)pd(支護阻力)計算結(jié)果

表2 待求參數(shù)pd(支護阻力)不同初始值時的計算分析過程

分析表2可知：雖然可靠度逆向計算過程中待求支護阻力d選取的初始值不同，但均可求得相應(yīng)的計算結(jié)果，并收斂于d≈0.3 MPa，這與可靠度正向分析中作為已知參數(shù)的支護阻力s是一致的，表明待求參數(shù)d初始值的選取不會影響其最終計算結(jié)果；待求支護阻力d初始值僅對其迭代收斂次數(shù)產(chǎn)生一定影響，如當(dāng)d初始值取0.001~1.500 MPa時，迭代次數(shù)為7次；當(dāng)d初始值取2.000~3.500 MPa時，迭代次數(shù)為8次，但它們之間差別不大。

3.2 基于可靠度逆向分析的穩(wěn)定性設(shè)計

如前所述，目前在各類巖石隧道信息化設(shè)計中，圍巖變形信息是此類隧道整體穩(wěn)定性最直接、最能反映本質(zhì)和總體的宏觀表現(xiàn)。在該過程中，通常以洞室周邊位移的變化發(fā)展來掌握巖石隧道經(jīng)受各種因素作用的力學(xué)動態(tài)，進而將有關(guān)允許變形值作為圍巖穩(wěn)定性設(shè)計的依據(jù)。由式(13)可見：將圍巖位移限值max視為洞室周邊的最大允許位移，當(dāng)利用該位移限值進行穩(wěn)定性設(shè)計時，若量測的位移未達到或不超過max(或預(yù)計最終位移將不超過這一位移限值)，則意味著圍巖是穩(wěn)定的，反之則趨于不穩(wěn)定，需采取加強處治措施等支護手段。

據(jù)圖2，當(dāng)已知目標(biāo)失穩(wěn)概率(f)Target時，按照巖石隧道穩(wěn)定性設(shè)計過程中針對圍巖位移限值max的要求，即可獲得對應(yīng)的待求支護阻力d，以確保巖石隧道穩(wěn)定可靠度滿足預(yù)先給定的可靠度水平。以圖2(a)為例，當(dāng)目標(biāo)失穩(wěn)概率(f)Target=15.87%(對應(yīng)可靠指標(biāo)Target=1.0)時，若(max/0)=0.004，則穩(wěn)定性設(shè)計所需d需達到1.527 4 MPa；若(max/0)=0.010，則所需d將減少至0.694 6 MPa；若(max/0)=0.03，則所需d將進一步減小至0.137 2 MPa。對于圖2中其余各分圖，可采取類似方式獲得待求支護阻力d。因此，對于預(yù)先給定的目標(biāo)可靠度水平，通過圖2可方便地調(diào)控待求支護阻力，使其能直觀地為巖石隧道穩(wěn)定性設(shè)計提供指導(dǎo)。

另外，由圖2還可看出：在一定的目標(biāo)失穩(wěn)概率下，隨著max/0減小，待求支護阻力d逐漸增大，曲線呈單調(diào)遞減，這表明當(dāng)容許的圍巖位移限值越小，即巖石隧道穩(wěn)定性要求越高時，相應(yīng)的穩(wěn)定性設(shè)計所需支護阻力將越大，這顯然與工程實際相符；進一步對比各分圖可知，在不同目標(biāo)失穩(wěn)概率下，當(dāng)(max/0)取相同值時，目標(biāo)失穩(wěn)概率越大(或目標(biāo)可靠度指標(biāo)越小)，相應(yīng)的待求支護阻力越小，如取(max/0)=0.004時，圖2(a)中，(f)Target=15.87%對應(yīng)d=1.527 4 MPa，圖2(b)中(f)Target= 6.68%對應(yīng)d=1.633 6 MPa，圖2(c)中(f)Target=2.28%對應(yīng)d=1.763 3 MPa，圖2(d)中(f)Target=0.62%對應(yīng)d=1.939 9 MPa；當(dāng)(max/0)取其他值時，也可進行類似分析。這說明在一定圍巖位移限值條件下，隨著目標(biāo)失穩(wěn)概率減小即巖石隧道穩(wěn)定性設(shè)計時要求的可靠度越高，則所需支護阻力越大，這顯然也與工程實際相符。

(Pf)Target：(a) 15.87%；(b) 6.68%；(c) 2.28%；(d) 0.62%

4 結(jié)論

1) 對于預(yù)先給定的目標(biāo)可靠度水平，采用逆向可靠度方法計算巖石隧道工程待求參數(shù)時，能夠得到滿意的求解結(jié)果，且計算效率高，數(shù)值穩(wěn)定性好。

2) 待求參數(shù)初始值的選取不會影響逆向可靠度方法的最終計算結(jié)果，不同初始值僅對其求解過程中迭代次數(shù)產(chǎn)生一定影響，但差別不大。

3) 通過基于可靠度逆向分析的穩(wěn)定性設(shè)計，可方便地調(diào)控待求支護阻力，使其直觀地為巖石隧道工程設(shè)計提供與實際情形相符的指導(dǎo)依據(jù)：對于一定的目標(biāo)失穩(wěn)概率，容許的圍巖位移限值越小，支護阻力需求越大；對于一定的圍巖位移限值，目標(biāo)失穩(wěn)概率值減小，支護阻力需求越大。

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Inverse calculations for rock tunnel reliability considering target probability of failure based on deformation criterion of surrounding rock

LI Xiang, LI Xibing, ZHOU Zilong

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Based on the deformation mechanism in the environment of the weak rock surrounding the tunnel, the limit-state functions were developed based on the control of the deformation instability for the surrounding rock. In order to analyze the corresponding inverse reliability problem, i.e. back-calculate the engineering parameters to ensure the pre-defined level of reliability when the target probability of failure is known, an inverse reliability method was introduced and its calculation steps were also summarized. By using the method for the rock tunnel, the computational accuracy and efficiency were both verified in obtaining the engineering parameters during the inverse reliability analysis, and then the influence of their various initial values on the calculation results was investigated. Considering the different levels of the target probability of failure, the rock tunnel stability design was performed based on the deformation criterion of surrounding rock. The results show that the proposed inverse reliability method used to seek the engineering parameters can obtain satisfactory results in an economical way. Moreover, the choice of their initial values has no effect on the accuracy of the proposed method, and only has certain effect on the convergence rate during iteration. With the aid of the proposed method, the engineering parameters can conveniently be adjusted, thus providing guidelines for engineering design of the rock tunnel.

rock tunnel; deformation of surrounding rock; target probability of failure; inverse reliability; stability design

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.07.021

TU457

A

1672?7207(2018)07?1734?08

2017?07?10；

2017?09?15

國家自然科學(xué)基金資助項目(41772313, 11472311)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2014M552159) (Projects(41772313, 11472311) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2014M552159) supported by the China Postdoctoral Science Foundation)

李翔，博士(后)，講師，從事深部巖石力學(xué)與地下工程穩(wěn)定可靠度及魯棒性設(shè)計研究；E-mail: xli_xiangli@csu.edu.cn; xl_xiangli@126.com

(編輯 陳燦華)