田昆，胡曉兵，趙清祥，徐營(yíng)利

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SVR響應(yīng)面與進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

田昆，胡曉兵，趙清祥，徐營(yíng)利

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都，610065)

針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中常出現(xiàn)的低效率、低精度問題，提出支持向量回歸機(jī)(SVR)響應(yīng)面與進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法相耦合的優(yōu)化系統(tǒng)。基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化推導(dǎo)SVR響應(yīng)面建立原理，采用具有異點(diǎn)預(yù)測(cè)值可對(duì)比特色的正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)作為樣本點(diǎn)選取法，以獲得最優(yōu)試驗(yàn)區(qū)?；贜SGA-Ⅱ范式原理建立區(qū)間偏好進(jìn)化優(yōu)化算法并構(gòu)建優(yōu)化系統(tǒng)框架。以45 t門機(jī)主梁為研究對(duì)象，指定5個(gè)幾何參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，對(duì)最大位移、應(yīng)力進(jìn)行約束，以輕量化及首階固有頻率為雙目標(biāo)，利用所構(gòu)建的優(yōu)化系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化求解。研究結(jié)果表明：主梁總質(zhì)量減少15.9%，首階固有頻率減少9.2%。通過不同響應(yīng)面模型的效果對(duì)比、靈敏度分析及優(yōu)化方案檢驗(yàn)，驗(yàn)證出優(yōu)化系統(tǒng)的高效可行性。

支持向量回歸機(jī)響應(yīng)面；進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法；正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)；優(yōu)化系統(tǒng)

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，采取樣本點(diǎn)、建立代理模型(響應(yīng)面)、組建分析方法(優(yōu)化算法)是三大關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在對(duì)復(fù)雜的實(shí)際工程問題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)常遇到以下阻礙：1) 試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)發(fā)生改變，常引起預(yù)測(cè)值方差發(fā)生改變，導(dǎo)致不同點(diǎn)間的預(yù)測(cè)值無(wú)法對(duì)比，難以得到最優(yōu)試驗(yàn)區(qū)。2) 高度非線性問題對(duì)代理模型的擬合條件要求苛刻。3) 優(yōu)化算法的選取或建立呈現(xiàn)多樣化，從眾多Pareto最優(yōu)解集選取滿意解的過程復(fù)雜且結(jié)果精度難以保證。針對(duì)實(shí)際工程問題，建立一種基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面模型、進(jìn)化優(yōu)化算法相耦合的高效優(yōu)化系統(tǒng)具有積極意義。近年來，一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者將工程優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用到眾多研究方向，ZHONG等[1]將Kriging響應(yīng)面應(yīng)用于跨聲速翼型阻力系數(shù)模型的構(gòu)建，得到了較好的非線性擬合效果，但響應(yīng)值不可避免地存在陷入震蕩或局部最優(yōu)的可能。GOUDARZI等[2]采用支持向量機(jī)模型很好地解決了非線性定量結(jié)構(gòu)擬合問題。QIAN等[3]通過對(duì)進(jìn)化算法經(jīng)典問題的深入分析，得出進(jìn)化優(yōu)化方法在可變方案問題中實(shí)施的高效性，對(duì)優(yōu)化系統(tǒng)算法的建立具有一定參考價(jià)值。SUN等[4]將試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面法、遺傳算法結(jié)合，應(yīng)用于自適應(yīng)翼設(shè)計(jì)中，得到了滿足條件的基線翼型板，建立了優(yōu)化系統(tǒng)基本框架，但試驗(yàn)設(shè)計(jì)采點(diǎn)模塊仍存在異點(diǎn)預(yù)測(cè)值無(wú)法對(duì)比的缺陷。本文作者著重建立SVR響應(yīng)面與進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法相耦合的高效優(yōu)化系統(tǒng)。從實(shí)際工程問題出發(fā)，首先推導(dǎo)出SVR響應(yīng)面建立原理；其次，基于異點(diǎn)預(yù)測(cè)值可比性，采用正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)作為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法；再次，建立區(qū)間偏好進(jìn)化優(yōu)化算法并制定優(yōu)化系統(tǒng)流程；最后，以門機(jī)主梁為研究對(duì)象，指定設(shè)計(jì)變量、約束條件及目標(biāo)函數(shù)并基于組建的優(yōu)化系統(tǒng)進(jìn)行求解，通過不同響應(yīng)面效果對(duì)比、靈敏度分析及優(yōu)化方案驗(yàn)證，得出優(yōu)化系統(tǒng)的高效可行性。

1 SVR響應(yīng)面的提出

1.1 SVR響應(yīng)面建立原理

(a) 帶；(b) (x, y)損失值

由Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件得：

故決策函數(shù)可表達(dá)為

由此表明支持向量回歸機(jī)的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化較傳統(tǒng)意義的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化[8]有更精確的預(yù)測(cè)能力。

1.2 基于最優(yōu)試驗(yàn)區(qū)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)

選取試驗(yàn)點(diǎn)是構(gòu)造響應(yīng)面的前提，選取原則直接影響擬合精度?；谡辉O(shè)計(jì)原理的D優(yōu)化設(shè)計(jì)(D-optimal design)、中心復(fù)合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(CCD)在流場(chǎng)翼型優(yōu)化、加工中心多目標(biāo)優(yōu)化[9?10]等多領(lǐng)域范圍的模型擬合上取得了較好效果。然而，若改變預(yù)測(cè)點(diǎn)，則這些方法下的預(yù)測(cè)值方差亦會(huì)改變，導(dǎo)致不同點(diǎn)間的預(yù)測(cè)值無(wú)法對(duì)比，難以得到最優(yōu)試驗(yàn)區(qū)。

表1 二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)參數(shù)表

2 進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化求解

2.1 NSGA-Ⅱ范式基本問題

基于決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件選擇Pareto最優(yōu)解集是多目標(biāo)優(yōu)化問題的核心。Pareto最優(yōu)解集包含多個(gè)最優(yōu)解，如何尋求一種方法可同時(shí)獲取多個(gè)Pareto最優(yōu)解以提高求解效率是近來多目標(biāo)優(yōu)化方法研究的熱點(diǎn)。將多個(gè)候選解組成的種群嵌入到各代之間以實(shí)現(xiàn)全局搜索是進(jìn)化優(yōu)化方法的優(yōu)勢(shì)所在[12]，NSGA-Ⅱ[13]具有基于分層的迅速非被占優(yōu)排序、緊促距離下同序值進(jìn)化個(gè)體的對(duì)比、精英保留等突出特色，是一種優(yōu)秀的進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化方法。

NSGA-Ⅱ執(zhí)行流程大致分為三步：首先，隨機(jī)性構(gòu)造一初始種群，同時(shí)將其作為第一代父代種群；其次，經(jīng)選擇及交叉變異后產(chǎn)生一過渡種群，將其與當(dāng)前種群進(jìn)行組合并進(jìn)行組合后的進(jìn)化個(gè)體排序；最后，依序從組合后種群中選取進(jìn)化個(gè)體作為下一代種群，當(dāng)種群規(guī)模達(dá)到時(shí)為止。

不難證明，應(yīng)用NSGA-Ⅱ可找出分布均勻、擬合性及延伸性好的Pareto最優(yōu)解集。然而，現(xiàn)實(shí)中太多優(yōu)化解可能造成用戶選擇疲勞及工效降低，如何基于NSGA-Ⅱ范式基本原理尋求改進(jìn)的進(jìn)化優(yōu)化方法很有必要。

2.2 區(qū)間偏好進(jìn)化優(yōu)化及算法

區(qū)間偏好進(jìn)化優(yōu)化方法旨在將個(gè)人偏好融入進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化過程，以期在提高工效的基礎(chǔ)上獲取性能更優(yōu)的最優(yōu)解[14]。該方法優(yōu)勢(shì)在于：基于NSGA-Ⅱ范式基本原理進(jìn)行大的種群進(jìn)化以增強(qiáng)搜索性能；將相似度策略用于評(píng)價(jià)種群進(jìn)化個(gè)體的相關(guān)指標(biāo)，避免用戶疲勞；通過區(qū)間衡量各指標(biāo)的偏好，基于求解優(yōu)化精確區(qū)間偏好；基于同一序值進(jìn)化體的不同滿意度誘使種群向偏好區(qū)進(jìn)化。

方法執(zhí)行路線描述為：1) 獲取用戶對(duì)不同指標(biāo)的偏好；2) 用戶對(duì)基于K-均值聚類法獲取的進(jìn)化種群分類中心進(jìn)行評(píng)價(jià)[15]，并通過計(jì)算機(jī)算得進(jìn)化種群個(gè)體的指標(biāo)值；3) 基于已有的分類中心評(píng)價(jià)值，對(duì)其他種群個(gè)體的指標(biāo)值進(jìn)行估算；4) 精確化偏好區(qū)間并對(duì)種群個(gè)體排序，誘使種群向偏好區(qū)域搜索。

依據(jù)方法特點(diǎn)及執(zhí)行路線組建算法，如圖2所示，具體步驟為：

1) 獲取種群進(jìn)化的相關(guān)參數(shù)進(jìn)而生成原始種群；

2) 針對(duì)指標(biāo)項(xiàng)指定用戶偏好區(qū)；

3) 基于K-均值聚類法分離種群；

4) 進(jìn)行進(jìn)化解碼并通過計(jì)算機(jī)獲取個(gè)體指標(biāo)，進(jìn)而組成進(jìn)化體的區(qū)間矢量；

5) 精確偏好區(qū)間，基于NSGA-Ⅱ范式進(jìn)行遺傳以獲得下一代種群；

6) 算法若達(dá)到要求條件則輸出優(yōu)化結(jié)果，否則，判斷偏好是否改變，若改變則轉(zhuǎn)向步驟2)，若無(wú)變化則轉(zhuǎn)向步驟3)。

圖2 進(jìn)化優(yōu)化算法流程圖

2.3 SVR響應(yīng)面耦合進(jìn)化優(yōu)化的流程

采用正交旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲取樣本點(diǎn)，基于SVR響應(yīng)面理論建立數(shù)學(xué)模型，得到耦合進(jìn)化優(yōu)化算法的優(yōu)化系統(tǒng)流程，如圖3所示。

圖3 優(yōu)化系統(tǒng)流程圖

3 算例：門機(jī)主梁多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 門機(jī)主梁優(yōu)化模型建立

圖4所示為45 t門機(jī)整體CAD模型及主梁截面示意圖，門機(jī)相關(guān)參數(shù)見表2(其中門機(jī)主梁參數(shù)1為總高度，2和3分別為主梁內(nèi)、外腹板厚度，4和5分別為上、下翼緣板厚度)。

(a) 門機(jī)模型；(b) 主梁截面圖

表2 門機(jī)主要參數(shù)

門機(jī)主梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)首先指定目標(biāo)函數(shù)，將主梁輕量化及首階固有頻率遠(yuǎn)離震源頻率作為雙優(yōu)化目標(biāo)，確定目標(biāo)函數(shù)為

主梁是門機(jī)結(jié)構(gòu)的主要承載部位，在對(duì)主梁的質(zhì)量及首階頻率優(yōu)化時(shí)，會(huì)造成撓度、應(yīng)力發(fā)生變化。為保證優(yōu)化效果，引入約束條件：

3.2 SVR響應(yīng)面模型的建立

通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)選取樣本點(diǎn)是建立響應(yīng)面模型的前提，基于二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)，門機(jī)主梁優(yōu)化設(shè)計(jì)中含有5個(gè)設(shè)計(jì)變量(5因素)，由表1選用5因素對(duì)應(yīng)之下的各參數(shù)值，依據(jù)相應(yīng)編碼表進(jìn)行59次試驗(yàn)，如表4所示。

表3 主梁設(shè)計(jì)變量取值范圍

基于已選設(shè)計(jì)點(diǎn)，采用支持向量機(jī)的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)各輸出量的響應(yīng)面擬合，建立SVR響應(yīng)面。如圖5所示，分別為設(shè)計(jì)變量對(duì)質(zhì)量、首階固有頻率、最大等效應(yīng)力、最大位移的響應(yīng)。為加強(qiáng)可比性，將基于二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)建立的SVR響應(yīng)面與采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)(CCD)建立的多項(xiàng)式響應(yīng)面、Kriging響應(yīng)面相對(duì)比(如表5所示)，通過響應(yīng)時(shí)間、均方根誤差及確定性系數(shù)等參數(shù)的分析(其中擬合精度與確定性系數(shù)、均方根誤差成正相關(guān))，可得出SVR響應(yīng)面具有效率高、擬合精度高等突出優(yōu)勢(shì)。

表4 二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)

(a) 質(zhì)量響應(yīng)面；(b) 頻率響應(yīng)面；(c) 應(yīng)力響應(yīng)面；(d) 位移響應(yīng)面

表5 不同響應(yīng)面擬合精度及優(yōu)化結(jié)果

3.3 靈敏度分析

在門機(jī)主梁優(yōu)化過程中，為體現(xiàn)設(shè)計(jì)變量與各輸出量間的相關(guān)性，需要進(jìn)行靈敏度分析。采用靈敏度分析可找出結(jié)構(gòu)響應(yīng)敏感參數(shù)及可忽略的不顯著元素，對(duì)減少設(shè)計(jì)變量、提高優(yōu)化效率有積極意義。輸出量靈敏度分析結(jié)果如圖6所示。若設(shè)計(jì)變量位于正半軸，則表征響應(yīng)區(qū)與設(shè)計(jì)變量成正相關(guān)，反之成負(fù)相關(guān)，矩形高度表示設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)的影響程度。在頻率區(qū)中，首階固有頻率隨設(shè)計(jì)變量1，5和4的增大(減小)而增大(減小)，隨3和2的增大(減小)而減小(增大)，影響程度依據(jù)矩形高度依次降低。其他分析與此類似。

圖6 輸出量靈敏度分析結(jié)果

3.4 優(yōu)化及驗(yàn)證

通過SVR響應(yīng)面模型與進(jìn)化優(yōu)化算法構(gòu)成的優(yōu)化系統(tǒng)對(duì)門機(jī)主梁進(jìn)行優(yōu)化求解，選取輕量化為主導(dǎo)偏好得到優(yōu)化方案見表6。分析優(yōu)化結(jié)果可知：方案1最佳，與門機(jī)主梁初始質(zhì)量12 503.5 kg、首階固有頻率7.705 Hz相比，經(jīng)進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化后，在滿足各約束條件的前提下，總質(zhì)量減少15.9%，首階固有頻率減少9.2%，主梁整體達(dá)到最優(yōu)。

為驗(yàn)證優(yōu)化系統(tǒng)的高精度性，基于優(yōu)化方案1建立主梁CAD模型，通過ANSYS軟件進(jìn)行有限元分析，得到主梁等效應(yīng)力云圖及位移云圖，如圖7所示。從圖7可見：主梁最大應(yīng)力為107.24 MPa，最大位移為30.406 mm，對(duì)比方案1中相應(yīng)結(jié)果可知誤差均在0.025以內(nèi)。

表6 主梁優(yōu)化解集

(a) 等效應(yīng)力驗(yàn)證云圖；(b) 位移驗(yàn)證云圖

4 結(jié)論

1) 基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理推導(dǎo)了SVR響應(yīng)面構(gòu)造理論，采用二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)很好解決了異點(diǎn)預(yù)測(cè)值的對(duì)比問題，可獲得高質(zhì)量樣本點(diǎn)。為組建高效代理模型提供了理論依據(jù)。

2) 基于NSGA-Ⅱ范式，建立了區(qū)間偏好進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法，與正交旋轉(zhuǎn)組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)、SVR響應(yīng)面理論相耦合，建立了結(jié)構(gòu)優(yōu)化系統(tǒng)框架。

3) 將優(yōu)化系統(tǒng)應(yīng)用于門機(jī)主梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，建立了主梁SVR響應(yīng)面模型，經(jīng)多方法對(duì)比及靈敏度分析，體現(xiàn)了優(yōu)化系統(tǒng)的高效性。采用區(qū)間偏好進(jìn)化優(yōu)化算法對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化求解，得到主梁總質(zhì)量減少15.9%、首階固有頻率減少9.2%的最優(yōu)方案，并采用有限元法驗(yàn)證了優(yōu)化系統(tǒng)的高精度性。

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Application of SVR response surface coupling evolutionary multi-objective optimization algorithm to structural optimization

TIAN Kun, HU Xiaobing, ZHAO Qingxiang, XU Yingli

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Aiming at the low efficiency and low precision in complex structure optimization design, an optimization system with support vector regression(SVR) response surface coupled with evolutionary multi-objective optimization algorithm was proposed. Based on structural risk minimization, the principle of SVR response surface was deduced. Orthogonal rotation combination design with contrasting predictive value was used to select sampling points to obtain the optimal experimental area. Based on the principle of NSGA-Ⅱ paradigm, the evolutionary optimization algorithm of interval preference was established and the optimization system framework was constructed. Taking the main girder of 45 t gantry crane as the research object, five geometrical parameters were adopted as design variables, and the maximum displacement and stress were constrained. The results show that by using the optimized system, the total mass of main girder and the first-order natural frequency are decreased by 15.9% and 9.2%, respectively. The high efficiency and feasibility of the optimization system are proved by the comparison of the results of different response surface models, the sensitivity analysis and the optimization scheme validation.

support vector regression response surface; evolutionary multi-objective optimization algorithm; orthogonal rotation combination design; optimization system

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.07.011

TH213

A

1672?7207(2018)07?1650?07

2017?07?16；

2017?09?12

四川省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015GZ0014，2016GZ0169，2017GZ0146) (Projects(2015GZ0014, 2016GZ0169, 2017GZ0146) supported by the Science and Technology Program of Sichuan Province)

胡曉兵，博士，教授，從事CAD/CAPP/CAM、數(shù)字化車間、自動(dòng)化控制、企業(yè)信息化研究；E-mail: huxb@scu.edu.cn

(編輯 楊幼平)