陳香堂 ，馬衛(wèi)民，孫秉珍

（1.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092；2.溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工商管理系，浙江 溫州 325035；3.西安電子科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，西安 710071）

隨著商品經(jīng)濟(jì)與網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，及時(shí)適應(yīng)消費(fèi)者的需求以及迅速做出市場反應(yīng)已經(jīng)成為市場競爭的有力武器。保持適量庫存以獲取競爭優(yōu)勢是經(jīng)常采取的一種策略，因此，庫存系統(tǒng)的管理已經(jīng)成為非常重要的管理問題。零售商經(jīng)常要解決訂貨時(shí)間和訂貨批量這兩個(gè)基本問題。為了達(dá)到收益值最大化的目的，一般要綜合考慮產(chǎn)品的制造成本、庫存成本和訂貨成本等因素。此類問題的經(jīng)典解決思路是運(yùn)用Harris的經(jīng)典經(jīng)濟(jì)批量模型（EOQ）。經(jīng)典EOQ 模型的基本假設(shè)是不允許缺貨、庫存能夠得到及時(shí)補(bǔ)充的情況。經(jīng)典EOQ 模型認(rèn)為缺貨將導(dǎo)致產(chǎn)品脫銷而喪失了銷售機(jī)會(huì)，Zipkin[1]討論了缺貨情況，并將其推廣至經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型（EPQ）。隨后，不同學(xué)者深入研究了缺貨情況，并認(rèn)為現(xiàn)實(shí)中有些顧客愿意繼續(xù)等待，有些則不會(huì)。對(duì)于是否含有缺貨變量的模型最早出現(xiàn)在Fabrycky等[2]以及Ali[3]的研究中。Montgomery等[4]給出了此類問題的解決方法?，F(xiàn)實(shí)商業(yè)運(yùn)作中經(jīng)常出現(xiàn)缺貨狀態(tài)，而不允許缺貨的假設(shè)在一定程度上限制了EOQ 模型的應(yīng)用范圍。因此，很多學(xué)者從多個(gè)角度系統(tǒng)研究了允許缺貨的庫存問題。Deb等[5]是其中具有代表性的研究之一，其從允許缺貨的角度拓展了已有模型。其他學(xué)者在該拓展模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列深入研究[6]。

眾所周知，在現(xiàn)實(shí)的商業(yè)操作中，由于市場位置的租賃成本較高，故零售商會(huì)在店面內(nèi)開發(fā)出一個(gè)儲(chǔ)存少量產(chǎn)品的小倉庫。為了配合促銷策略產(chǎn)生的大量銷售或在市場需求量較大時(shí)，零售商訂貨量超過小倉庫的容量也許能獲得更大的收益。考慮到銷售的便利性、降低產(chǎn)品成本以及降低銷售機(jī)會(huì)成本等目的，一些銷售商采取同時(shí)擁有店面庫存?zhèn)}庫和租賃庫存?zhèn)}庫兩個(gè)庫存?zhèn)}庫的策略。

然而，在某些具體的現(xiàn)實(shí)情境和具體的操作實(shí)踐中，另外租賃倉庫對(duì)于零售商并不一定是盈利的，特別是租賃倉庫成本很高時(shí)。此時(shí)必須考慮如下問題：零售商堅(jiān)持一個(gè)店面?zhèn)}庫還是再租賃第2個(gè)倉庫。一些學(xué)者分別從無限補(bǔ)貨率和有限補(bǔ)貨率的角度研究了雙層庫存模型；而另一些學(xué)者則從市場需求角度提出了雙層庫存模型。Hartley[7]研究了兩層倉庫模型。Zhou等[8]考慮運(yùn)輸成本，建立了存貨和市場需求相互獨(dú)立的雙倉庫庫存模型。在充分考慮現(xiàn)實(shí)問題具體特征的基礎(chǔ)上，針對(duì)雙層倉庫庫存模型[9-11]的研究是近年來較為有代表性的研究。

在市場競爭日益加劇的情形下，促銷措施已經(jīng)成為商業(yè)運(yùn)作的重要策略。一方面，促銷措施有助于新產(chǎn)品的推出、延長產(chǎn)品的生命周期、擴(kuò)大產(chǎn)品的市場占有率。促銷措施一般包括免費(fèi)禮物、折扣優(yōu)惠、配送便利、更好的服務(wù)和廣告等措施。另一方面，促銷措施的實(shí)施必然會(huì)引起市場需求的變化，從而影響庫存的管理策略。Goyal等[12]研究了不同促銷措施影響產(chǎn)品市場需求的多階段生產(chǎn)體系中的經(jīng)濟(jì)訂貨批量，并給出了整合的生產(chǎn)-庫存-市場模型。Nair等[13]研究了免費(fèi)禮物、價(jià)格折扣和特殊服務(wù)等方式形成的促銷效果對(duì)庫存的影響，并對(duì)此進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。Krishnan等[14]的研究結(jié)論證明了價(jià)格優(yōu)惠、產(chǎn)品展示、免費(fèi)物品和廣告是獲得最大收益的基本策略。Sun[15]研究發(fā)現(xiàn)，顧客和不同促銷類型存在一定關(guān)系，特別是促銷措施強(qiáng)化了品牌對(duì)顧客行為的影響。另一些學(xué)者從數(shù)量折扣、價(jià)格折扣以及延期支付等角度研究了庫存管理的優(yōu)化策略[16-18]。Sana等[19-24]從影響需求的企業(yè)動(dòng)機(jī)、銷售人員動(dòng)機(jī)和允許缺貨等角度研究了EOQ 模型。

盡管對(duì)于兩層庫存規(guī)劃問題的研究獲得了較多成熟且系統(tǒng)的研究模型和方法，并獲得了諸多有價(jià)值的研究結(jié)論；但是關(guān)于兩層庫存規(guī)劃的研究和對(duì)于考慮促銷策略影響市場需求變化情況[24]的研究尚不多見；同時(shí)，目前針對(duì)允許缺貨的促銷策略情景下的庫存規(guī)劃的研究中亦很少有結(jié)合兩層庫存的相關(guān)研究[11]?，F(xiàn)實(shí)中，允許缺貨、促銷策略的實(shí)施和兩層庫存已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)商業(yè)運(yùn)作中的常態(tài)[11]，為了更好地解決現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)的問題，本文考慮在允許缺貨的約束下，從促銷策略影響市場需求的角度研究兩層倉庫庫存系統(tǒng)，討論如何確定促銷措施的力度以及最優(yōu)的缺貨量，進(jìn)而制定訂貨批量最優(yōu)策略，最終實(shí)現(xiàn)庫存系統(tǒng)收益的最大化。

1 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

考慮到市場需求受促銷策略的影響以及雙層庫存系統(tǒng)與單層庫存系統(tǒng)之間的差異，本文從促銷策略影響市場需求、雙層庫存之間聯(lián)系以及決策變量等方面進(jìn)行一些合理的模型假設(shè)，詳細(xì)說明模型所需的符號(hào)及參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建構(gòu)目標(biāo)函數(shù)。

1.1 模型假設(shè)

為便于模型的建立，作如下假設(shè)：

（1）生產(chǎn)商產(chǎn)能有限，允許缺貨。最優(yōu)訂貨量和允許缺貨量同時(shí)決策。

（2）零售商有兩個(gè)庫存?zhèn)}庫，分別為店面庫存?zhèn)}庫OW（Own Warehouse）和租賃庫存?zhèn)}庫RW（Rented Warehouse），店面庫存?zhèn)}庫位于店面內(nèi)部，租賃庫存?zhèn)}庫位于離店面不遠(yuǎn)處。管理人員經(jīng)常檢查庫存情況，保證店面庫存?zhèn)}庫OW 的庫存水平充足。若倉庫OW 貨源不足，將及時(shí)、持續(xù)地從RW補(bǔ)貨。OW 的庫存下降到某一水平庫存時(shí)，發(fā)出補(bǔ)貨指令，且補(bǔ)貨及時(shí)。貨物到達(dá)后，先解決缺貨問題，再補(bǔ)充OW 庫存至充足水平，余下貨物最后運(yùn)往RW 保存。OW 至RW 之間的運(yùn)輸成本忽略不計(jì)。

（3）促銷策略將在很大程度上促進(jìn)商品的市場需求，市場需求率是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，即D=x⊕d（ρ）[24]，一般常數(shù)x＞0。⊕表示“+”或“×”的運(yùn)算符號(hào)，這將根據(jù)商品的特點(diǎn)、市場競爭情況與促銷策略之間的關(guān)系而定。此外，假設(shè)ρ為促銷因子，反映了促銷策略所產(chǎn)生的市場需求效果，該因子可促進(jìn)商品的市場需求增加。而，其中τ為常數(shù)，一般地，τ＞0。

（4）店面主要用于商品的正常經(jīng)營，在保證店面正常經(jīng)營所需的必要場所外，利用剩余不多的店面空間開發(fā)店面?zhèn)}庫（OW）。OW 的庫存不超過OW 的庫存容量，庫存不影響店面的正常經(jīng)營，可認(rèn)為在固有經(jīng)營模式下店面大部分成本主要用于支付店面經(jīng)營的租金，屬于商品的經(jīng)營成本。此時(shí)，OW 的庫存容量為有限，且不影響店面的正常經(jīng)營[11]。

1.2 符號(hào)說明及參數(shù)

本文建模設(shè)計(jì)參數(shù)：

D——每年市場需求率

q——每周期訂貨量

s——每周期缺貨數(shù)量

c2——RW 的單位庫存成本

c22——OW 的單位庫存成本

c1——每次訂貨成本

p1——單位產(chǎn)品的購買成本

s1——單位產(chǎn)品銷售價(jià)格

c3——單位缺貨成本

k——促銷成本的比例參數(shù)

kρm——促銷成本

w——OW 的庫存容量

m——促銷成本的彈性參數(shù)，m∈Z+

Z——本文的收益函數(shù)

T——周期時(shí)間

Z24——文獻(xiàn)[24]的收益函數(shù)

1.3 目標(biāo)函數(shù)的建立

在時(shí)間0到時(shí)間t1，庫存量由（q-s）減少至w，此時(shí)RW 庫存為0。再經(jīng)過時(shí)間t2，庫存量為0，此時(shí)OW 庫存為0。t3為缺貨時(shí)期。周期時(shí)間T=t1+t2+t3。上述庫存變化情況如圖1所示。

圖1 OW-RW 庫存變化圖

考慮到收益與銷售收入、訂貨成本、庫存成本、缺貨成本和促銷成本有關(guān)，因此，收益函數(shù)模型為

根據(jù)上述假設(shè)和分析可知，由于每周期訂貨量和每周期的缺貨數(shù)量與市場需求率相關(guān)，市場需求率是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，故每次訂貨量和缺貨量也可認(rèn)為是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，進(jìn)而認(rèn)為收益函數(shù)是關(guān)于促銷因子的函數(shù)。其中，促銷因子為決策變量，而每次訂貨量和缺貨量為中間變量。由此可知，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)就是最大化收益函數(shù)Z[q（ρ），s（ρ），ρ]。其中，

且滿足式（2）、（3）。

2 模型求解

定理1對(duì)于任意ρ∈R+，存在唯一的q*和s*，收益函數(shù)Z達(dá)到最大值。此時(shí)，

其中，q≥0，s≥0，D=x⊕d（ρ），ρ≥0且滿足式（2）、（3）。

證明顯然，收益函數(shù)Z是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，在定義域內(nèi)且為連續(xù)可積可微函數(shù)。根據(jù)定理?xiàng)l件，不妨假設(shè)：

且?＞0，θ＞0，a＞0。將上述假設(shè)代入式（1），得

對(duì)式（4）分別求偏導(dǎo)，得：

根據(jù)假設(shè)可知，c22＜c2，即0＜θ＜1，可得：

由上述分析可知，收益函數(shù)Z[q（ρ），s（ρ），ρ]是關(guān)于決策變量促銷因子的函數(shù)，每次訂貨量和缺貨量為中間變量，且存在最大值?？闪?Z/?q=0，?Z/?s=0，整理得：

綜上所述，對(duì)于任意ρ∈R+，存在唯一的q*和s*，使得收益函數(shù)Z達(dá)到最大值。 證畢

將q*和s*代入收益函數(shù)Z，整理可得

綜上所述，求解V（ρ）最大化，存在ρ的最優(yōu)解ρ∈R+，只需當(dāng)時(shí)，求解出ρ*，并保證。通過觀察V（ρ）可知，當(dāng)ρ→∞時(shí)，V（ρ）→-∞。這表明，ρ存在上限解，使得V（ρ）＞0。不妨假設(shè)V（ρ）=0時(shí)，ρ的上限解為ρ**。

3 對(duì)比研究

考慮到文獻(xiàn)[24]中主要研究了促銷策略角度下的單庫存系統(tǒng)的收益問題，為此，本節(jié)將通過與文獻(xiàn)[24]中的數(shù)學(xué)對(duì)比分析，列出兩種不同類型的數(shù)學(xué)模型，并盡量采用與文獻(xiàn)[24]中相同的數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)算，研究促銷因子影響程度和參數(shù)靈敏度，期望從與文獻(xiàn)[24]的對(duì)比研究中得到有意義的研究結(jié)論。

3.1 數(shù)學(xué)對(duì)比分析

通過對(duì)比文獻(xiàn)[24]，本文的收益函數(shù)為

由假設(shè)可知，當(dāng)w=0，或c22=c2時(shí)，即當(dāng)OW 庫存容量為0，或者單位OW 庫存成本和單位RW 庫存成本相等時(shí)，兩層庫存模型將轉(zhuǎn)變?yōu)閱螏齑婺Ｐ?。因此，本文的模型拓展了文獻(xiàn)[24]中的模型。

一般的，Z≥Z24，即相同成本結(jié)構(gòu)條件下，雙層庫存收益值不小于單層庫存的收益值。這主要的原因是在保持正常經(jīng)營的店面內(nèi)開發(fā)了成本較小的店面?zhèn)}庫。增加的收益主要取決于OW 單位庫存成本和RW 單位庫存成本之間的差值，以及OW 的庫存容量w。由函數(shù)分析可知，w在定義域[0，q-s]內(nèi)與收益值之間呈正相關(guān)的趨勢。因此，店面?zhèn)}庫庫存不影響正常經(jīng)營以及充分利用店面?zhèn)}庫容量必須同時(shí)兼顧，缺一不可。

3.2 數(shù)學(xué)模型

市場需求D與促銷因子ρ之間存在兩種對(duì)應(yīng)的關(guān)系[24]，所需優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)分為模型I和模型II兩種模型，即

式中，D*=x+τρ/（1+ρ），且滿足式（2）、（3）以及式（5）、（6）。

3.3 數(shù)值驗(yàn)算

針對(duì)模型I和模型II，為了便于對(duì)比研究，不妨參照文獻(xiàn)[24]取值：x=70，τ=20，c1=28，c2=20，c22=10，c3=100，m=3，s1=20，p1=12，k=18，w=10，則：

運(yùn)算結(jié)果如表1、2所示。

表1 模型I和模型II的優(yōu)化結(jié)果

表2 不同m 值的模型I和模型II的優(yōu)化結(jié)果

由表1、2以及對(duì)照文獻(xiàn)[24]中的表1、2可知，由于店面?zhèn)}庫的存在，收益值均比相應(yīng)無店面?zhèn)}庫的情況增加。與文獻(xiàn)[24]中不同的是，庫存存儲(chǔ)時(shí)間是隨著m而發(fā)生變化的，盡管變化的范圍并不大。

通過運(yùn)算可知，模型I、II的收益值和m值的相關(guān)性呈現(xiàn)不盡相同的趨勢。m值是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值，一般而言，m值是固定的參數(shù)。表2給出了各種m值不同情況下的收益最優(yōu)的結(jié)果。

3.4 促銷因子ρ值的影響分析

根據(jù)假設(shè)，促銷因子的變化將影響市場需求，從而進(jìn)一步影響收益值。模型I、II的促銷因子取值范圍分別為（0.25，7.92），（0，2.935），收益值的變化情況如圖2、3所示。由圖2、3可知，模型I、II的促銷因子ρ分別達(dá)到3.272和0.893時(shí)，收益值最大，分別為7 023.065和407.157。結(jié)合圖形和運(yùn)算結(jié)果可知，上述兩種模型分別表示兩類典型產(chǎn)品類型：模型I不做促銷時(shí)，市場需求為0，收益值為負(fù)數(shù)，即-40.27；模型II不做促銷時(shí)，市場需求不為0，收益值為正數(shù)，即359.412 4。

圖2 模型I促銷因子和每年收益函數(shù)圖

圖3 模型II促銷因子和每年收益的函數(shù)圖

這與現(xiàn)實(shí)情況比較相符，為確保收益值達(dá)到最優(yōu)，促銷力度（促銷因子）因視產(chǎn)品成本結(jié)構(gòu)等實(shí)際情況而確定，不宜過大或過小。對(duì)比文獻(xiàn)[24]中的圖2、3，本文的圖2、3相對(duì)比較完整地顯示出促銷因子和收益函數(shù)之間的關(guān)系。

3.4 靈敏度分析

對(duì)模型I的參數(shù)c1、c21、c22、c3、x、τ、s1、p1和k進(jìn)行靈敏度分析，各參數(shù)獨(dú)立采取從-50%～50%數(shù)值變化，從而觀察收益值的變化情況；對(duì)模型II的參數(shù)靈敏度分析分別采用w=0和w=10兩種情況進(jìn)行比對(duì)，各參數(shù)獨(dú)立采取從-50%～50%數(shù)值變化，從而觀察收益值的變化情況。運(yùn)算結(jié)果如表4～6所示。

由表4可以看出，模型I中的參數(shù)s1和p1為高靈敏度參數(shù)，x和τ為中靈敏度參數(shù)，c1、c21、k、c22和c3為低靈敏度參數(shù)。當(dāng)銷售價(jià)格s1增至原來的50%時(shí)，模型I的收益達(dá)到最大值18 070.070。

由表5可以看出，模型II中的參數(shù)s1和p1為高靈敏度參數(shù)，x和c1為中靈敏度參數(shù)，c21、c22、c3、τ、和k為低靈敏度參數(shù)。當(dāng)銷售價(jià)格s1增至原來的50%時(shí)，模型II的收益達(dá)到最大值1 207.525。

表4 模型I參數(shù)靈敏度分析

表5 模型II參數(shù)靈敏度分析(w=10)

表6 模型II參數(shù)靈敏度分析(w=0)

對(duì)比文獻(xiàn)[24]中的表7（以下簡稱表7）和本文的表4可以看出，同等條件下，表4的各參數(shù)靈敏度均小于表7，而此時(shí)的收益值卻均大于表7的收益值。類似地，同等條件下，表5中的各參數(shù)敏感度均小于表6，而此時(shí)的收益值卻均大于表6 的收益值。因此，可以認(rèn)為店面?zhèn)}庫在一定程度上降低了收益值的波動(dòng)率而提高了同等條件下的收益值。

4 結(jié)論

本文從實(shí)施促銷策略角度構(gòu)建了允許缺貨的兩層倉庫庫存模型，假設(shè)模型的收益值是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，根據(jù)產(chǎn)品類型分為兩種不同形式的模型，并深入研究了店面?zhèn)}庫庫存容量以及促銷因子等因素對(duì)兩層庫存系統(tǒng)收益的影響。通過數(shù)值分析，獲得了如下主要結(jié)論：

（1）對(duì)于不同產(chǎn)品或相同產(chǎn)品處于不同的競爭環(huán)境下，促銷策略的實(shí)施效果不盡相同。實(shí)施促銷策略之前，明晰本產(chǎn)品的收益值函數(shù)的組成形式，充分重視收集產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)，確定合適的促銷力度等，以達(dá)到收益值最大。

（2）對(duì)于單層庫存而言，兩層倉庫中的店面?zhèn)}庫容量改變了單層庫存的成本結(jié)構(gòu)，并起到了減少收益值的波動(dòng)性和提高收益值的雙重作用。進(jìn)而，在確保店面庫存容量不影響店面正常經(jīng)營的前提下，充分利用店面?zhèn)}庫容量，綜合考慮歷史數(shù)據(jù)等因素，可通過事先規(guī)劃店面?zhèn)}庫容量的方法，提高收益值的水平；或在店面?zhèn)}庫容量固定的情況下，通過調(diào)整促銷力度等因素，優(yōu)化收益值。

（3）對(duì)于兩類不同形式的產(chǎn)品，提高銷售價(jià)格和降低購買成本均可迅速增加收益值。若上述兩種方式均不可行時(shí)，符合模型I的產(chǎn)品可通過增加參數(shù)x和τ而達(dá)到收益值最優(yōu)，即通過生產(chǎn)真正符合消費(fèi)者需求的產(chǎn)品以及根據(jù)產(chǎn)品類型和消費(fèi)者特點(diǎn)采取適宜的促銷方式增加促銷效果等方法；符合模型II的產(chǎn)品可增加參數(shù)x、減少參數(shù)c1，使得收益值最優(yōu)，即除了生產(chǎn)真正符合消費(fèi)者需求的產(chǎn)品外，還可通過努力降低每次訂貨成本等方法。

結(jié)合模擬算例的比較和靈敏度分析易知，本文所建構(gòu)的模型進(jìn)一步拓展了文獻(xiàn)[24]中經(jīng)典模型的結(jié)論及其適用范圍，較為全面地刻畫出兩層庫存的商業(yè)運(yùn)作情況。同時(shí)，通過定量理論模型分析系統(tǒng)地闡明了促銷因子等因素與收益值之間的關(guān)系，進(jìn)而給出具有針對(duì)性的、可行性較強(qiáng)的對(duì)策建議。因此，本文所構(gòu)建的模型能夠盡可能地刻畫實(shí)際中的庫存問題特征，因而具有較好的應(yīng)用型和適用性。

事實(shí)上，在本文研究的基礎(chǔ)上，考慮到競爭環(huán)境下促銷因子等因素不應(yīng)保持不變，如若將促銷因子等參數(shù)進(jìn)行模糊化處理，可進(jìn)一步提高模型的適用性。另外，本文未考慮零售商最優(yōu)訂貨量和允許缺貨量的決策次序，也未考慮兩類模型所代表的具體產(chǎn)品類型及其特征。這些問題將在未來的研究工作中繼續(xù)深入探討和研究。