兩層供應(yīng)鏈中數(shù)量競爭下零售商聯(lián)盟合作及穩(wěn)定性研究

李昌文 ，周永務(wù) ，郭金森，肖 旦

（1.華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣州 510641；2.淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

競爭與合作已經(jīng)成為當今世界發(fā)展的主題，并且，越來越多的學(xué)者從20世紀90年代中期已經(jīng)注意到，競爭與合作是相互依存并同時影響公司和其他組織的運營策略[1-2]。競爭之中的合作包含很多方面，如供應(yīng)鏈上下游之間的競合等。供應(yīng)鏈上各個結(jié)點企業(yè)作為不同的利益主體，可以通過數(shù)量折扣、信息共享、利潤共享和回購等方式去獲取最大的利潤。而對于橫向上銷售同質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)，可以通過聯(lián)合采購、共同提供售后服務(wù)以及庫存共享等方式進行合作。在現(xiàn)實生活中也有很多通過合作串謀定價（或串謀定量）的實例，Nagarajan等[3]指出，很多商品如煙草、酒、咖啡、山核桃、大米和小麥、金屬以及礦產(chǎn)都存在著這種聯(lián)盟情形。當這種聯(lián)盟存在于兩層的供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)時（即本文考慮的1個供應(yīng)商，3個競爭的零售商），對于不同的供應(yīng)商（供應(yīng)商是領(lǐng)導(dǎo)者、零售商是領(lǐng)導(dǎo)者、供應(yīng)商與零售商具有相同的市場力量），這種零售商聯(lián)盟在怎樣的情形下能夠保持穩(wěn)定？

與本文相關(guān)的文獻有兩方面：①兩層分銷鏈中的競爭與合作；②聯(lián)盟形成的短視穩(wěn)定性和遠視穩(wěn)定性。在運營管理領(lǐng)域和經(jīng)濟領(lǐng)域，目前已有大量文獻研究了橫向競爭性市場中的Nash均衡和Stackelberg均衡，以及供應(yīng)鏈中的協(xié)調(diào)契約。關(guān)于價格與數(shù)量競爭下的合作模型，Nagarajan等[3]做了比較詳細的綜述。這些經(jīng)濟文獻中關(guān)于競爭下的合作大部分考慮的是不同零售商之間的橫向合作，沒有考慮上游供應(yīng)商參與的情況。Chen等[4]針對上游制造商在提供數(shù)量折扣的情形下，兩個下游競爭零售商進行合作訂貨后的利潤情況。上述文獻均未考慮兩層供應(yīng)鏈中，下游存在競爭性零售商的情形下零售商聯(lián)盟穩(wěn)定性的問題。而關(guān)于聯(lián)盟穩(wěn)定性的討論主要分為短視穩(wěn)定性和遠視穩(wěn)定性兩方面。早期關(guān)于聯(lián)盟穩(wěn)定性的研究大多都是假設(shè)參與者是短視的，即描述穩(wěn)定性概念是靜態(tài)穩(wěn)定的，如Nash穩(wěn)定和強Nash穩(wěn)定等[5-6]，靜態(tài)穩(wěn)定僅考慮參與者的一步“叛逃”能否獲得更高的利潤。但是，在參與人發(fā)生一步“叛逃”之后有可能會引起其他參與人的進一步的一系列“叛逃”，為了刻畫這種多步叛逃下的結(jié)果，Chwe[7]提出了遠視參與者的動態(tài)穩(wěn)定性概念。Granot等[8]引入最大一致集（LCS）等合作博弈的解概念運用到供應(yīng)鏈中，討論了遠視零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。Nagarajan等[9]、Granot等[10]對組裝供應(yīng)鏈系統(tǒng)中遠視供應(yīng)商聯(lián)盟的穩(wěn)定性進行了一系列的探討。Nagarajan等[11]在3種不同的上下游博弈框架下，討論了裝配供應(yīng)鏈系統(tǒng)中供應(yīng)商聯(lián)盟的穩(wěn)定性。Sosic[12]研究了3層供應(yīng)鏈中信息共享聯(lián)盟的遠視穩(wěn)定性。Nagarajan等[13]討論了團購聯(lián)盟的穩(wěn)定性問題。鄭士源等[14]利用遠視穩(wěn)定概念找到了穩(wěn)定的航空聯(lián)盟，并基于運輸合作模型分析了運輸聯(lián)盟的動態(tài)穩(wěn)定性[15]。周永務(wù)等[16]考慮了上下游存在3種博弈情形下的零售商間具有價格競爭的聯(lián)盟穩(wěn)定性。

不同于文獻[16]，本文考慮的是3個零售商數(shù)量競爭下不同合作聯(lián)盟的穩(wěn)定性問題。數(shù)量競爭的聯(lián)盟有很多，Alhajji等[17]指出，一些商品如鉆石、咖啡、石油等都存在著這種聯(lián)盟合作。針對上述存在的實際問題中的零售商聯(lián)盟合作以及供應(yīng)商與零售商可能存在的3種博弈結(jié)構(gòu)[11，16]，本文研究了1個上游供應(yīng)商和3個在數(shù)量上相互競爭的下游零售商組成的分銷供應(yīng)鏈系統(tǒng)，在3種不同的博弈框架下（供應(yīng)商是領(lǐng)導(dǎo)者、零售商是領(lǐng)導(dǎo)者、供應(yīng)商與零售商具有相同的市場力量）研究不同的競爭強度對聯(lián)盟穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明：在Stackelberg模型中，無論誰是領(lǐng)導(dǎo)者，大聯(lián)盟都不是短視穩(wěn)定的，然而卻是遠視穩(wěn)定的；而在垂直Nash模型中，只有當競爭強度相對較小時，大聯(lián)盟是短視穩(wěn)定的，任何情形下，大聯(lián)盟都是遠視穩(wěn)定的。對于不同的競爭強度，本文還給出了遠視情形下可能存在的其他的穩(wěn)定聯(lián)盟結(jié)構(gòu)。

1 分銷供應(yīng)鏈模型

記供應(yīng)商為0，下游3個數(shù)量上相互競爭的零售商記為N=｛1，2，3｝，零售商i∈N的定價p i和自身產(chǎn)品數(shù)量qi與其他零售商產(chǎn)品數(shù)量q j有關(guān)，本文使用下述逆需求函數(shù)：

式中：α＞0，β＞0刻畫了零售商i自身的需求對價格的影響；γ＞0反映了零售商間的競爭強度，并且滿足β＞γ，因為相比較于其他零售商，零售商價格受自身的需求更加敏感。上述逆需求函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)和市場營銷學(xué)的文獻中較為普遍[18-19]。

本文假設(shè)零售商能自由結(jié)盟，并且假設(shè)同一聯(lián)盟內(nèi)的零售商向供應(yīng)商訂購相同數(shù)量的產(chǎn)品。記零售商（也稱為參與人）之間自由形成合作聯(lián)盟Z?N，N=｛1，2，3｝。一種聯(lián)盟結(jié)構(gòu)是指對集合N的一種分割L=｛Z1，Z2，…，Zm｝，其中，

特別地，所有零售商結(jié)盟形成的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)｛N｝稱為大聯(lián)盟。對于任意給定的一個聯(lián)盟結(jié)構(gòu)L，聯(lián)盟Zk∈L中任意一個零售商的逆需求函數(shù)均可寫為

為了表示方便，令γ=βb，0＜b＜1。供應(yīng)商產(chǎn)品的單位成本為c，零售商的銷售成本為0，每個零售商的訂貨量等于其在市場上的需求量。根據(jù)市場上存在的供應(yīng)商與零售商地位的不同[11]，考慮上下游之間3種不同的競爭模型：①供應(yīng)商Stackelberg模型。在此模型中，供應(yīng)商是Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，首先決策給予零售商的批發(fā)價格，然后下游零售商（聯(lián)盟）同時決策各自最優(yōu)的訂貨量。這種博弈下，供應(yīng)商在市場上相對于零售商而言具有強大的力量，如供應(yīng)商如果掌握一些比較稀缺的商品時，在觀察到市場上零售商的反應(yīng)后，優(yōu)先決策自己的最優(yōu)批發(fā)價格。②供應(yīng)商-零售商垂直Nash模型。在此模型中，供應(yīng)商和下游的零售商（聯(lián)盟）同時決策最優(yōu)批發(fā)價格和最優(yōu)訂貨量。在這里，供應(yīng)商和零售商（聯(lián)盟）在市場上具有對等的影響力。③零售商Stackelberg模型。其中零售商（聯(lián)盟）相對于供應(yīng)商而言，在市場上具有更大的影響力。在觀察到供應(yīng)商的反應(yīng)函數(shù)后，零售商（聯(lián)盟）優(yōu)先決策最優(yōu)的訂貨量，然后供應(yīng)商決策最優(yōu)的批發(fā)價格。這種情形在市場上很多，例如家樂福、沃爾瑪?shù)却笮土闶凵滔鄬τ谝恍┬⌒偷墓?yīng)商具有決策的優(yōu)先權(quán)。

1.1 供應(yīng)商Stacke1berg模型(S)

首先考慮供應(yīng)商作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者的情形，供應(yīng)商首先決策產(chǎn)品的批發(fā)價格，然后零售商（聯(lián)盟）決策最優(yōu)的訂貨量，下面分3種不同的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)進行討論。

1.1.1 互不結(jié)盟 當3個零售商不結(jié)盟時，此時聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為，=｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝，首先，供應(yīng)商決策最優(yōu)批發(fā)價格，各個零售商決策各自的訂貨量，此時模型為：

為第i個零售商的市場價格。求解此優(yōu)化問題，可得博弈的均衡解：

供應(yīng)商和零售商的利潤分別為：

整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)總的利潤為

1.1.2 兩個零售商結(jié)盟 當任意兩個零售商結(jié)盟時，零售商的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為，=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，或｛｛2，3｝，｛1｝｝。供應(yīng)商首先決策批發(fā)價格，聯(lián)盟內(nèi)零售商和聯(lián)盟外零售商同時決策最優(yōu)訂貨量和，此時模型為：

其中：為供應(yīng)商的利潤和分別為聯(lián)盟中和聯(lián)盟外零售商的利潤；

分別為聯(lián)盟內(nèi)和聯(lián)盟外零售商的價格。求解此優(yōu)化問題，可得博弈的均衡解：

供應(yīng)商、聯(lián)盟內(nèi)零售商和聯(lián)盟外零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)總利潤為

1.1.3 3個零售商結(jié)盟 當3個零售商形成大聯(lián)盟=｛N｝時，供應(yīng)商首先決策最優(yōu)批發(fā)價格，聯(lián)盟中零售商決策最優(yōu)訂貨量，此時模型為：

其中：和分別為供應(yīng)商和第i個零售商的利潤；

為大聯(lián)盟內(nèi)零售商的價格。求解此優(yōu)化問題，可得均衡解：

供應(yīng)商和零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)總利潤為

具體的求解過程見附錄。

性質(zhì)1不同的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)下，有如下關(guān)系成立：

本文發(fā)現(xiàn)，在供應(yīng)商作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者情形下，任意聯(lián)盟結(jié)構(gòu)下供應(yīng)商給予零售商的批發(fā)價格都是相同的，但是下游所有零售商的訂貨量在大聯(lián)盟時最少，從而供應(yīng)商在所有零售商結(jié)盟時獲得的利潤最少。對于供應(yīng)商而言，當下游所有零售商均不結(jié)盟時獲利最多，即當供應(yīng)商在市場上具有較強的統(tǒng)治力時，保持市場上一定數(shù)量的零售商和適當?shù)母偁?，對供?yīng)商而言是有好處的。從整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的角度，當下游零售商結(jié)盟時，系統(tǒng)的利潤也會減小，即下游零售商結(jié)盟傷害了整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤。從零售商的角度，是否結(jié)盟受到競爭強度的影響。當其中某兩個零售商結(jié)盟時，處于聯(lián)盟外零售商的利潤最高。特別需要強調(diào)的是，當兩個零售商結(jié)盟時，聯(lián)盟內(nèi)零售商的利潤在0.555＜b＜1時，比不聯(lián)盟情形下的利潤更低，故對于零售商而言，是否結(jié)盟視競爭強度的不同需要作出不同的決策。

1.2 垂直Nash模型(V)

這里考慮所有參與人同時決策的情形，即供應(yīng)商和零售商聯(lián)盟同時決策產(chǎn)品的批發(fā)價格和產(chǎn)量。下面分3種情況進行討論。

1.2.1 互不結(jié)盟 當零售商之間不形成任何聯(lián)盟時，記此時的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為，=｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝，供應(yīng)商和3個零售商同時決策最優(yōu)的批發(fā)價格和最優(yōu)訂貨量，此時模型為：

其中：為供應(yīng)商的利潤為第i個零售商的利潤；

為第i個零售商的市場價格。求解此優(yōu)化問題，可得博弈的均衡解：

供應(yīng)商和零售商的利潤分別為：

整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤為

1.2.2 兩個零售商結(jié)盟 當任意兩個零售商結(jié)盟時，此時的零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為，=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，或｛｛2，3｝，｛1｝｝。供應(yīng)商0、聯(lián)盟內(nèi)零售商和聯(lián)盟外零售商同時決策批發(fā)價格，訂貨量和，此時模型為：

其中：為供應(yīng)商的利潤和分別為聯(lián)盟中和聯(lián)盟外零售商的利潤；

分別為聯(lián)盟內(nèi)和聯(lián)盟外零售商的價格。求解此優(yōu)化問題，可得博弈的均衡解：

供應(yīng)商、聯(lián)盟內(nèi)零售商和聯(lián)盟外的零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)總利潤為

1.2.3 3 個零售商結(jié)盟 當3個零售商形成大聯(lián)盟=｛N｝時，供應(yīng)商和聯(lián)盟同時決策最優(yōu)批發(fā)價格和訂貨量，此時模型為：

其中：和分別為供應(yīng)商和第i個零售商的利潤；

為大聯(lián)盟內(nèi)零售商的價格。求解此優(yōu)化問題，可得均衡解：

供應(yīng)商和零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)總利潤為

性質(zhì)2不同的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)下，有如下關(guān)系成立：

（1）批發(fā)價格（j=1，2，3）滿 足＜

（5）供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤（j=1，2，3）隨著競爭強度b的增大而減小，并且有

在供應(yīng)商和零售商（聯(lián)盟）縱向Nash博弈下，供應(yīng)商給予零售商（聯(lián)盟）的批發(fā)價格隨著零售商聯(lián)盟內(nèi)零售商數(shù)量的增大而減小，即下游零售商的結(jié)盟使得上游供應(yīng)商的批發(fā)價格降低，同時也影響了下游的訂貨量。對于供應(yīng)商而言，其利潤在大聯(lián)盟情況下是最低的；對于整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)而言，大聯(lián)盟情況下的利潤也是最低的。從供應(yīng)商的角度，保持一定的下游零售商的數(shù)量是有好處的，供應(yīng)商并不希望下游出現(xiàn)結(jié)盟的情況。從零售商的角度，是否結(jié)盟仍然是與競爭強度有關(guān)?？梢?，當兩個零售商結(jié)盟時，聯(lián)盟內(nèi)零售商的利潤是各種情況下最少的，聯(lián)盟外零售商的利潤總是比聯(lián)盟內(nèi)的利潤要高，故在垂直Nash模型中，兩個零售商結(jié)盟總是不可取的。

1.3 零售商Stacke1berg模型(R)

這里考慮零售商（聯(lián)盟）作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者的情形，即零售商（聯(lián)盟）首先決策最優(yōu)的訂貨量，然后供應(yīng)商決策最優(yōu)的批發(fā)價格。下面分3種情況討論。

1.3.1 互不結(jié)盟 當零售商之間不形成任何聯(lián)盟時，記此時零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為，，｛3｝｝。3個零售商首先決策最優(yōu)訂貨量，然后供應(yīng)商決策最優(yōu)批發(fā)價格，此時模型為：

為第i個零售商的市場價格。求解此優(yōu)化問題，可得博弈的均衡解：

供應(yīng)商和零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤為

1.3.2 兩個零售商結(jié)盟 當任意兩個零售商結(jié)盟時，則兩個零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為，=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，或｛｛2，3｝，｛1｝｝，聯(lián)盟內(nèi)零售商和聯(lián)盟外零售商同時決策最優(yōu)訂貨量和，供應(yīng)商最后決策最優(yōu)批發(fā)價格，此時模型為：

其中：為供應(yīng)商的利潤和分別為聯(lián)盟中和聯(lián)盟外零售商的利潤；

分別為聯(lián)盟內(nèi)和聯(lián)盟外零售商的價格。求解此優(yōu)化問題，可得博弈的均衡解：

供應(yīng)商、聯(lián)盟內(nèi)零售商和聯(lián)盟外零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤為

1.3.3 3個零售商結(jié)盟 當3個零售商形成大聯(lián)盟=N時，聯(lián)盟內(nèi)零售商首先決策最優(yōu)訂貨量，然后供應(yīng)商決策最優(yōu)批發(fā)價格，此時模型為：

其中：和分別為供應(yīng)商和第i個零售商的利潤；

為大聯(lián)盟內(nèi)零售商的價格。求解此優(yōu)化問題，可得均衡解：

供應(yīng)商和零售商的利潤分別為：

此時，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的利潤為

性質(zhì)3不同的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)下，有如下關(guān)系成立：

在零售商（聯(lián)盟）作為Stackelberg博弈領(lǐng)導(dǎo)者情形下，供應(yīng)商給予零售商（聯(lián)盟）的批發(fā)價格隨著聯(lián)盟內(nèi)零售商數(shù)量的增大而減小，即下游零售商結(jié)盟使得上游供應(yīng)商的批發(fā)價格減??；同時，結(jié)盟也影響了下游零售商的訂貨量，特別是在大聯(lián)盟下訂貨量是最小的，而這些影響又使得供應(yīng)商的利潤隨著下游零售商的結(jié)盟而變小。這與前面兩種情況類似。對于零售商而言，此種情形和供應(yīng)商Stackelberg類似，只是競爭強度的閾值不同。

2 零售商聯(lián)盟的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)

由上述不同的競爭模型可見，零售商是否結(jié)盟與競爭強度有很大的關(guān)系；另一方面，對于零售商結(jié)盟后的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)是否能夠維持穩(wěn)定，也是需要考慮的一個方向。例如在供應(yīng)商Stackelberg模型中，大聯(lián)盟N中零售商3的利潤比聯(lián)盟｛｛12｝，3｝中零售商3的利潤要小，此時對于零售商3而言，從大聯(lián)盟N中獨立出來，獲利會更多，所以，此種情形下大聯(lián)盟并不穩(wěn)定。在合作博弈中有短視穩(wěn)定性和遠視穩(wěn)定性之分。合作博弈中的Nash穩(wěn)定和強Nash穩(wěn)定均屬于短視穩(wěn)定，其判定的方法是看其參與人（聯(lián)盟）從某個聯(lián)盟結(jié)構(gòu)中發(fā)生一步“叛逃”之后，是否使得其利潤增加。而對于遠視穩(wěn)定性，是從參與人發(fā)生多步“叛逃”的結(jié)果來判斷其是否穩(wěn)定。因為某個參與人的一步“叛逃”，使得叛逃的參與人的利潤增加后，致使其他參與人發(fā)生一系列叛逃行為，這也就是從聯(lián)盟動態(tài)或長遠的角度來看待聯(lián)盟的穩(wěn)定性問題。針對這種遠視穩(wěn)定性的概念，Chwe[20]提出了遠視參與者的概念，并且，采用最大一致集（LCS）來刻畫遠視參與者聯(lián)盟的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，具體相關(guān)定義見文獻[3，17]。

2.1 短視零售商聯(lián)盟的穩(wěn)定性

下面給出3種競爭模型中零售商聯(lián)盟的短視穩(wěn)定性，即從合作博弈中Nash穩(wěn)定和強Nash穩(wěn)定的角度考慮零售商（聯(lián)盟）的穩(wěn)定性。

定理1在供應(yīng)商Stackelberg模型中：①當0＜b＜0.555時，兩個零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝是Nash穩(wěn)定的；②當0.555＜b＜1時，所有的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)都不是Nash穩(wěn)定的。

證明見附錄。

定理1說明，當競爭強度較?。?＜b＜0.555）時，兩個零售商的聯(lián)盟是短視穩(wěn)定的，即其中任意一個零售商都不會發(fā)生叛逃行為；但是當競爭強度較大（0.555＜b＜1）時，任意一個聯(lián)盟結(jié)構(gòu)都是不穩(wěn)定的，其中的參與人都會發(fā)生一步的叛逃行為，使得原有的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。但是從遠視的角度，是否會有不同的結(jié)果，下面給出具體答案。

定理2在垂直Nash模型中：①當0＜b＜0.832時，大聯(lián)盟是Nash穩(wěn)定的；②當0.832＜b＜1時，所有的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)都不是Nash穩(wěn)定的。

定理3在零售商Stackelberg模型中：①當0＜b＜0.314時，兩個零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝是Nash穩(wěn)定的；②當0.314＜b＜1時，所有的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)都不是Nash穩(wěn)定的。

2.2 遠視零售商聯(lián)盟的穩(wěn)定性

首先，給出不同競爭強度下的零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系：

性質(zhì)4

（1）供應(yīng)商Stackelberg模型中，當0＜b＜0.555時，零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系為當0.555＜b＜1時，零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系為

（2）垂直Nash模型中，當0＜b≤0.832時，零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系為；當0.832＜b＜1時，零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系為

（3）零售商Stackelberg模型中，當0＜b≤0.314時，零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系為當0.314＜b＜1時，零售商的聯(lián)盟偏好關(guān)系為

根據(jù)上述不同模型中的聯(lián)盟偏好關(guān)系，結(jié)合最大一致集（LCS）的定義，有如下遠視零售商聯(lián)盟的結(jié)論。

定理4在供應(yīng)商Stackelberg模型中：①當0＜b＜0.555時∈LCS；②當0.555＜b＜1時∈LCS。

證明見附錄。

由定理4可得結(jié)論：無論競爭強度是多少，大聯(lián)盟都是遠視穩(wěn)定的，這與定理1中當0＜b＜0.555時，大聯(lián)盟從短視的角度不是Nash穩(wěn)定形成了對比。原因在于，從遠視的角度考慮聯(lián)盟穩(wěn)定性時，不但考慮某個參與人一步叛逃的結(jié)果，而且還需考慮這一步叛逃后所引起的其他參與人的一系列叛逃行為。即當0＜b＜0.555時，對于大聯(lián)盟N而言，零售商3發(fā)現(xiàn)，一步叛逃后形成聯(lián)盟結(jié)構(gòu)｛｛1，2｝，3｝對自己是有利的，這從短視的角度即N是不穩(wěn)定的。但是，這一步叛逃會引起聯(lián)盟內(nèi)參與人1或2的繼續(xù)叛逃，因為這對他們是有利的，從而進一步的叛逃后聯(lián)盟結(jié)構(gòu)變?yōu)椋?｝，｛2｝，｛3｝｝。最終所有的零售商發(fā)現(xiàn)，大家一起合作時的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)N對所有參與人而言，比｛｛1，2｝，3｝和｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝都要有利，即大聯(lián)盟N仍然是一系列叛逃后的結(jié)果。從長遠來看，所有參與人在大聯(lián)盟N內(nèi)不會發(fā)生叛逃。而對于聯(lián)盟結(jié)構(gòu)而言，當0＜b＜0.555時，無論從短視的角度還是遠視的角度，都是穩(wěn)定的；而當0.555＜b＜1時，無論從短視角度還是遠視角度都是不穩(wěn)定的。這也就說明，在3個零售商數(shù)量競爭下，所有零售商結(jié)盟總是有利的。而在競爭強度不太大（0＜b＜0.555）時，任意兩個零售商結(jié)盟時也很有可能發(fā)生，并且能夠長期穩(wěn)定；但是當競爭強度較大（0.555＜b＜1）時，能夠長期穩(wěn)定的聯(lián)盟是大聯(lián)盟N。

定理5在垂直Nash模型中，∈LCS。

定理6在零售商Stackelberg模型中：①當0＜b＜0.314時，∈LCS；②當0.314＜b＜1時∈LCS。

由上述3個定理可見，在市場中無論哪一方具有統(tǒng)治力，數(shù)量競爭下的零售商所形成的大聯(lián)盟從遠視的角度都是穩(wěn)定的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)，這與短視中的Nash穩(wěn)定性有很大的不同。從短視的角度，大聯(lián)盟只是在滿足一定的競爭強度時才是穩(wěn)定的。即當市場上的零售商處于對稱地位時，大家彼此合作構(gòu)成大聯(lián)盟時對彼此之間是有利的。這也符合當今世界中競爭與合作并存的局面。另外，還發(fā)現(xiàn)，除了大聯(lián)盟外，在供應(yīng)商Stackelberg模型和零售商Stackelberg模型中，兩人的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)也是從遠視角度穩(wěn)定的，只是存在區(qū)間的競爭強度不同。在供應(yīng)商和零售商市場力量相當時，即垂直Nash模型中，只有大聯(lián)盟是遠視穩(wěn)定的。

3 結(jié)語

在零售商數(shù)量競爭下，本文利用合作博弈論中穩(wěn)定性的概念，從零售商結(jié)盟合作訂貨的角度描述了聯(lián)盟的短視穩(wěn)定性和遠視穩(wěn)定性。從零售商的角度，無論在供應(yīng)商Stackelberg模型、垂直Nash模型和零售商Stackelberg模型中，短視的零售商在競爭強度相對較小時，都會選擇大聯(lián)盟；但是當競爭強度相對較大時，短視的零售商在大聯(lián)盟中都會發(fā)生叛逃行為，即短視的零售商大聯(lián)盟是不穩(wěn)定的。但是從遠視的角度，無論哪一種模型下，大聯(lián)盟都是遠視穩(wěn)定的。

本文的結(jié)論對于3個競爭零售商結(jié)盟具有一些有意義的管理啟示。對于一個大聯(lián)盟中的零售商而言，有可能會因為叛逃而獲得更高的利潤。但是當零售商具有“遠見”時，會發(fā)現(xiàn)不論是哪種博弈框架下，無論競爭強度是多少，這種叛逃很可能帶來聯(lián)盟的不穩(wěn)定，并且降低了自身的利潤。在這種情形下，零售商不會“短視”的“叛逃”出聯(lián)盟，而寧愿留在大聯(lián)盟中。另一個方面，當競爭強度較小時，對于兩種Stackelberg模型，有“遠見”的零售商也會留在兩人聯(lián)盟中?，F(xiàn)實生活中存在著數(shù)量競爭下的聯(lián)盟合作，本文的研究結(jié)果也表明，對于“遠視”零售商而言，這些結(jié)盟總是有好處的。這與一般采用靜態(tài)穩(wěn)定性討論聯(lián)盟合作穩(wěn)定性有很大不同，也為現(xiàn)實生活中的結(jié)盟活動提供了理論基礎(chǔ)。

當零售商是遠視參與人時，無論在供應(yīng)商Stackelberg模型、垂直Nash模型和零售商Stackelberg模型中，隨著零售商的結(jié)盟，供應(yīng)商的利潤都是降低的，故進一步應(yīng)該考慮供應(yīng)商設(shè)計某種契約使得隨著零售商的結(jié)盟，供應(yīng)商的利潤也會相應(yīng)的有所增加。另外，在零售商結(jié)盟時，考慮聯(lián)盟運作時的運作費用也是值得研究的方向。當然，本文只是針對對稱性的零售商和確定情形進行了討論，進一步值得考慮的方向是不對稱以及隨機情形下的零售商結(jié)盟的穩(wěn)定性問題。

附錄

供應(yīng)商Stackelberg模型（S）中訂貨量和批發(fā)價的求解：

采用逆向歸納法進行求解。

（1）互不結(jié)盟時，對零售商i的利潤函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)并令其等于0，有b）]，從而，兩邊關(guān)于求導(dǎo)并令其等于0，有從而

兩邊關(guān)于求導(dǎo)，并令其等于0，有=（α+c）/2，從而

垂直Nash模型（V）中訂貨量和批發(fā)價格的求解：

記零售商i的邊際收益為m i，即

（1）互不結(jié)盟時，對零售商i的利潤函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)并令其等于0，同時對供應(yīng)商的利潤函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)令其等于0，有：

求解上述方程組后，有：

零售商Stackelberg模型（R）中訂貨量和批發(fā)價的求解：

求解方法類似于前面兩種模型，這里從略。

定理1的證明：

證明

（1）首先，證明當0≤b＜0.555時和都不是Nash穩(wěn)定的。由性質(zhì)1（3）可知，當聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為=｛1，2，3｝時，由于，故對｝內(nèi)任意兩個零售商而言，結(jié)盟以后利潤都會變大，即任意兩個零售商都有結(jié)盟的動機，聯(lián)盟結(jié)構(gòu)此時變?yōu)椤Ｒ虼?，?lián)盟結(jié)構(gòu)不是Nash穩(wěn)定的。當聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為=N時，由于，故對大聯(lián)盟內(nèi)的某個零售商經(jīng)過一步叛逃后，聯(lián)盟=N變?yōu)闀r對聯(lián)盟外的零售商更有利。因此，聯(lián)盟結(jié)構(gòu)不是Nash穩(wěn)定的。

當零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝時，不論是聯(lián)盟內(nèi)零售商或聯(lián)盟外零售商，一步“叛逃”后都不能使得利潤增加。因此，零售商聯(lián)盟結(jié)構(gòu)是Nash穩(wěn)定的。

（2）當0＜b＜0.555時，由性質(zhì)1中，首先，有=｛1，2，3｝不是Nash穩(wěn)定的，由可知，3個零售商有結(jié)盟的動機；其次=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝不是Nash穩(wěn)定的，由容易看出，聯(lián)盟內(nèi)零售商有“叛逃“的動機；最后都不是Nash穩(wěn)定的，這與（1）類似。

定理4的證明：

證明

（1）當0＜b＜0.555時，由性質(zhì)4可知，零售商i的聯(lián)盟偏好關(guān)系為，首先，考慮當前的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為L=，不妨假設(shè)=｛｛1，2｝，3｝，則參與人一步“叛逃”之后的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為

①如果V=，則S=｛1｝或S=｛2｝?？紤]叛逃過程：｛（1，2，3｝→1，2｛｛1，2｝，3｝，由于｛（1，2，3｝?1，2｛｛1，2｝，3｝，如果記B=｛｛1，2｝，3｝，則有V?B，但是L□SB；

②如果V=，則S=｛1，2，3｝，令B=，則有V=B，但是L□SB。

綜上所述，根據(jù)最大一致集（LCS）的定義，有∈LCS。

下面考慮聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為大聯(lián)盟L==N，則任意1個或2個參與人一步“叛逃”后的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為V=。不妨假設(shè)=｛｛1，2｝，3｝，則S=｛1，2｝，或S=｛3｝?？紤]叛逃過程：｛｛1，2｝，3｝→1｛1，2，3｝→1，2，3N，由于｛｛1，2｝，3｝?1｛N｝且｛1，2，3｝?1，2，3｛N｝，如果記B=N，則有V=｛｛1，2｝，3｝?N=B，但是，顯然，L□SB。根據(jù)最大一致集（LCS）的定義，有｛（012）｝∈LCS。

最后，若聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為L=，則一步“叛逃”之后的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為V=或，可以發(fā)現(xiàn)，不能找到聯(lián)盟結(jié)構(gòu)B，使得V=B或V?B，使得L□SB。因此?LCS。

（2）當0.555＜b＜1時，由性質(zhì)1可知，零售商i的聯(lián)盟偏好關(guān)系為和的證明與（1）類似。下面證明當0.555＜b＜1時?LCS。

當聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為L=，不妨假設(shè)=｛｛1，2｝，3｝，則參與人一步“叛逃”后的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)為

①如果V=，則S=｛1｝，或S=｛2｝，令B=，則有V=B，并且L?SB；

②如果V=，則S=｛1，2，3｝，令B=，則有V=B，并且L?1，2B。

綜上所述，根據(jù)最大一致集（LCS）的定義，有?LCS。