選擇合適的坐標(biāo)系巧解一道靜摩擦力問題

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué),內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

1 原題呈現(xiàn)

圖1

例題.在水平桌面上放置一塊正方形薄木板abcd,在木板的正中點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)量為m的木塊,如圖1所示,先以木板的dc邊為軸,將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng),使木板的ad邊與桌面的夾角為θ,再接著以木板的bc邊為軸,將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng),使木板的dc邊與桌面的夾角也為θ(bc邊與桌面的夾角θ不變),在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中木塊在木板上沒有滑動(dòng),則轉(zhuǎn)動(dòng)之后,木塊受到的摩擦力大小為

2 典型錯(cuò)解

3 選擇合適的坐標(biāo)系后簡捷求解

圖2

該題的確是一道頗具難度的練習(xí)題,實(shí)際上我們只要求出兩次轉(zhuǎn)動(dòng)之后的木板平面與轉(zhuǎn)動(dòng)前的平面之間的二面角即可,根據(jù)幾何知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)二面角又等于兩個(gè)面的法向量的夾角.不妨設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)前的平面為平面1,轉(zhuǎn)動(dòng)1次后的平面為平面2,轉(zhuǎn)動(dòng)2次后的平面為平面3,也就是說,只需要利用數(shù)學(xué)方法求出平面1和平面3的法向量的夾角即可.不難發(fā)現(xiàn),文獻(xiàn)[1-3]是選擇平面1來建立坐標(biāo)系的,與已有文獻(xiàn)不同,筆者選擇平面2來建立坐標(biāo)系,如圖2所示.平面abcd為初始時(shí)的平面,即平面1,平面a′b′cd為第1次轉(zhuǎn)動(dòng)θ1后的平面(陰影部分),即平面2,平面a″b′cd″為第2次繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)θ2后的平面,即平面3.以點(diǎn)c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,并且令平面2在xcy平面上.這樣做的好處是,cb邊剛好位于ycz平面上,且cb與y軸正方向的夾角為θ1,cd″邊剛好位于xcz平面上,且cd″與x軸正方向的夾角為θ2．

這樣一來,我們就很容易求得平面1和平面3內(nèi)不在同一直線上的3點(diǎn)的位置坐標(biāo).設(shè)正方形薄板的邊長為l,則平面1內(nèi)的3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

c(0,0,0),d(l,0,0),b(0,lcosθ1,-lsinθ1).

平面2內(nèi)的3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

c(0,0,0),d(l,0,0),b′(0,l,0).

平面3內(nèi)的3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

c(0,0,0),b′(0,l,0),d″(lcosθ2,0,lsinθ2).

對(duì)于平面1來說,

cd=(l,0,0),cb=(0,lcosθ1,-lsinθ1),

因此其法向量

0i+l2sinθ1j+l2cosθ1k=(0,l2sinθ1,l2cosθ1),

其中i、j、k為x、y、z3個(gè)方向上的單位矢量,其中矢量用了加粗字體的方式加以區(qū)分.

對(duì)于平面3來說,

cd″=(lcosθ2,0,lsinθ2),cb′=(0,l,0)，

因此其法向量

-l2sinθ2i+0j+l2cosθ2k=(-l2sinθ2,0,l2cosθ2).

可得兩個(gè)法向量的夾角α滿足

cosθ1cosθ2．

因此木塊受到的摩擦力為

當(dāng)θ1=θ2=θ時(shí),木塊受到的摩擦力為

與文獻(xiàn)[1-4]的結(jié)果是一致的．

4 結(jié)語

靈活地利用第一次轉(zhuǎn)動(dòng)后形成的平面2去建立空間直角坐標(biāo)系,使得確定每一個(gè)平面所需要的3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)更加容易求解,不需要尋找復(fù)雜的空間幾何關(guān)系.這是本文區(qū)別于已有文獻(xiàn)解法的關(guān)鍵所在．