多自由度靜電懸浮系統(tǒng)幾何對(duì)稱性迭代調(diào)節(jié)方法

范 達(dá)，賈海鵬

（中國(guó)空間技術(shù)研究院 錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094）

靜電懸浮系統(tǒng)在重力衛(wèi)星[1-3]和天基減振領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用[4-5]，它通過無機(jī)械接觸的精確易控的靜電力將懸浮體（一般為敏感質(zhì)量塊、工作平臺(tái)等）進(jìn)行六自由度懸浮隔離，使傳感器（如靜電懸浮加速度計(jì)）的探測(cè)性能更靈敏或使工作平臺(tái)（如天基超靜平臺(tái)）的工作環(huán)境更寧靜。靜電懸浮系統(tǒng)通常以差分電容的形式進(jìn)行構(gòu)造，為了獲得優(yōu)良的控制特性并減少由控制特性帶來的噪聲干擾，需要將懸浮系統(tǒng)的線性度調(diào)至最優(yōu)，亦即需要將懸浮質(zhì)量塊或懸浮平臺(tái)的閉環(huán)工作點(diǎn)調(diào)節(jié)至靜電懸浮系統(tǒng)電極籠的幾何對(duì)稱中心[6-9]。

目前，在工程上對(duì)于靜電懸浮系統(tǒng)閉環(huán)工作點(diǎn)的幾何對(duì)稱性的判別和校準(zhǔn)一般有兩種做法：一是在地面重力環(huán)境下將整個(gè)系統(tǒng)裝于轉(zhuǎn)臺(tái)上，根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)180°時(shí)系統(tǒng)的輸出是否對(duì)稱而進(jìn)行相應(yīng)地調(diào)節(jié)，但是這種方法非常繁瑣、調(diào)節(jié)指示不易量化、依賴精密轉(zhuǎn)臺(tái)且很多大型系統(tǒng)無法上轉(zhuǎn)臺(tái)；二是采用非在線的方式進(jìn)行校準(zhǔn)和判別，即先采用一對(duì)電容值相同的電容構(gòu)成校準(zhǔn)差分電容，代替懸浮系統(tǒng)對(duì)電容檢測(cè)電路的電學(xué)對(duì)稱性進(jìn)行校準(zhǔn)，由于后續(xù)的控制器存在積分環(huán)節(jié)，電容檢測(cè)電路的輸出在系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)必然為零，從而約束懸浮體閉環(huán)工作于對(duì)稱位置，然而，電容檢測(cè)電路是一種對(duì)寄生電容敏感的電路，當(dāng)把校準(zhǔn)差分電容換為實(shí)際工作的傳感器或是懸浮平臺(tái)時(shí)，寄生效應(yīng)會(huì)發(fā)生改變，這種非在線的校準(zhǔn)便被破壞了。

文獻(xiàn)[7]針對(duì)單自由度梳齒式靜電加速度計(jì)提出一種不用轉(zhuǎn)臺(tái)的在線校準(zhǔn)調(diào)節(jié)方式：在恒定不變的慣性力或重力環(huán)境下，通過改變預(yù)載電壓，使反饋電壓跟隨變化，并由二者的乘積波動(dòng)性計(jì)算出系統(tǒng)的非對(duì)稱性，然后調(diào)節(jié)一次閉環(huán)點(diǎn)獲取兩組預(yù)載-反饋電壓值，并計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)稱時(shí)所對(duì)應(yīng)的預(yù)載-反饋電壓輸出，最終以此為目標(biāo)進(jìn)行閉環(huán)點(diǎn)位置的在線調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上考慮了反饋電壓不對(duì)稱情況的變預(yù)載調(diào)試方法。此系列方法無需轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備且能克服電容檢測(cè)電路的寄生變化影響，但是它們都需要滿足一個(gè)限制條件：在對(duì)稱性估計(jì)和調(diào)節(jié)的過程中，質(zhì)量塊受到的不可知非靜電外力要求保持不變。然而，在多自由度靜電懸浮系統(tǒng)中，由于不同自由度之間的耦合效應(yīng)，這一條件不再成立。文獻(xiàn)[9]將變預(yù)載方法應(yīng)用到多自由度系統(tǒng)的對(duì)稱性估計(jì)中，并沒有考慮到多自由度間的力耦合變化影響。這樣簡(jiǎn)單地將平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)多自由度系統(tǒng)視為多個(gè)獨(dú)立平動(dòng)自由度進(jìn)行對(duì)稱性調(diào)節(jié)，將會(huì)達(dá)不到預(yù)期精度。

本文首先建立單自由度和多自由度靜電懸浮系統(tǒng)模型，對(duì)比分析其力平衡的異同。然后介紹了單自由度靜電懸浮系統(tǒng)對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法，并分析了將其應(yīng)用于多自由度靜電懸浮系統(tǒng)的局限性。最后，提出一種基于迭代調(diào)節(jié)的多自由度靜電懸浮系統(tǒng)幾何對(duì)稱性逼近方法，給出了迭代調(diào)節(jié)方法的收斂性分析，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 靜電懸浮系統(tǒng)模型

1.1 單自由度靜電懸浮系統(tǒng)模型

如圖1所示，單自由度靜電懸浮系統(tǒng)只考慮平動(dòng)方向，其基本電學(xué)和力學(xué)模型可等效為一差動(dòng)平行平板電容[6-9]。中間電極即為懸浮體，其所受靜電力Fe為：

其中：εr為相對(duì)介電常數(shù)，在高真空環(huán)境中約為1；ε0為真空中的介電常數(shù)8.85×10-12F/m；A為一塊電容極板有效面積；Vs為高頻交流激勵(lì)電壓；Vr為預(yù)載電壓(偏置直流電壓）；Vb為反饋電壓；d0為標(biāo)稱間隙；y為懸浮體偏離中心位置的位移。

圖1 單自由度靜電懸浮系統(tǒng)Fig.1 Single-freedom electrostatic suspension system

系統(tǒng)的基本工作原理為：當(dāng)懸浮質(zhì)量塊受到外力而偏離對(duì)稱中心時(shí)，由電容檢測(cè)電路檢測(cè)出偏移信號(hào)，輸出給控制器，并由控制器調(diào)節(jié)反饋電壓產(chǎn)生與外力平衡的靜電力，將質(zhì)量塊拉回對(duì)稱中心。

由于Vs的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于懸浮體的自然頻率，只考慮Fe的低頻效果，則式(1)可被簡(jiǎn)化為：

其中，Vseff是激勵(lì)電壓Vs的有效值。

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，靜電力等于慣性力，即有：

其中，m為懸浮體質(zhì)量，a為加速度。

1.2 多自由度靜電懸浮系統(tǒng)模型

對(duì)于多自由度靜電懸浮系統(tǒng)，由于相垂直的施力面其力耦合效應(yīng)極其微弱，故而可將其忽略。為便于討論且不失一般性，以圖2所示的兩自由度靜電懸浮系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，系統(tǒng)包括一個(gè)平動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的引入，需要將系統(tǒng)考慮為非平行平板電容模型，如圖3所示。

圖2 兩自由度靜電懸浮系統(tǒng)Fig.2 Two-freedom electrostatic suspension system

圖3 非平行平板電容模型Fig.3 Capacitance model of non-parallel panel

對(duì)于如圖3所示的非平行平板電容，其電容表達(dá)式為[10]：

其中，b為電極垂直于紙面的長(zhǎng)度，θ為兩電容極板夾角，w為電極橫向邊長(zhǎng)，dmin為兩電容極板的最小距離。考慮到θ一般會(huì)被限位在很小的取值，當(dāng)θ趨近于 0 時(shí)，sin(θ/2)≈θ/2。由虛功原理，得其靜電力Fc為：

其中，W為靜電場(chǎng)能，V為電極間電壓，dc為兩電容極板的中心距離，負(fù)號(hào)代表力為吸力。

對(duì)于圖2所示的系統(tǒng)，其靜電力平衡表達(dá)式如下：

其中，下標(biāo)L和R代表左右通道，各力具體表達(dá)式為：

對(duì)于靜電力矩，首先考慮圖3中沿水平方向取極小的一段電容，由式(5)可知其靜電力為：

忽略高階小量，簡(jiǎn)化為：

在圖2中，以懸浮質(zhì)量塊理想懸浮在正中心時(shí)質(zhì)心所在空間點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，設(shè)當(dāng)前懸浮質(zhì)量塊的質(zhì)心所在空間點(diǎn)豎直方向坐標(biāo)為y0，并以此為轉(zhuǎn)軸支點(diǎn)，則力矩平衡表達(dá)式為

其中，

其中，l為電極邊緣與對(duì)稱中線（y軸）的距離。

2 單自由度靜電懸浮系統(tǒng)對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法

2.1 單自由度對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法流程

由式(3)知，當(dāng)y=0時(shí)，可簡(jiǎn)化為

若外界加速度a恒定不變，當(dāng)Vr變化時(shí)，Vb也隨之變化，但是VrVb具有不隨著Vr變化而變化的特性。因此，對(duì)稱性調(diào)節(jié)的關(guān)鍵是求出不隨Vr變化的VrVb值[8-9]。

在調(diào)試過程中，預(yù)載改變前后可分別得到一組Vr和Vb，根據(jù)式(3)得到力平衡表達(dá)式：

將式(17)減去式(18)可以得到：

以y/d0為未知數(shù)解一元二次方程(19)，可以得到兩個(gè)解。絕對(duì)值小于1的那個(gè)解就是當(dāng)前的質(zhì)量塊的相對(duì)位置，將這個(gè)解代入到式(17)可以得到：

對(duì)照式(16)可知，式(20)等號(hào)左邊的表達(dá)式就是質(zhì)量塊處于對(duì)稱位置時(shí)的狀態(tài)，而等號(hào)右邊就是當(dāng)y=0時(shí)不隨Vr變化的那個(gè)VrVb值。最后通過調(diào)節(jié)閉環(huán)點(diǎn)控制電壓，使得當(dāng)前的反饋電壓Vb_current等于由VrVb/Vr2計(jì)算出來的反饋電壓Vb_calculation，便可使質(zhì)量塊調(diào)節(jié)到對(duì)稱位置。

2.2 單自由度對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法的限制條件

單自由度對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法要求在非對(duì)稱性辨識(shí)過程中（即變預(yù)載的過程）質(zhì)量塊受到的非靜電外力保持不變，否則式(19)等號(hào)右端不為零，從而造成對(duì)質(zhì)量塊的偏移位置估計(jì)失準(zhǔn)。對(duì)于圖2所示的系統(tǒng)，以左通道為例，當(dāng)預(yù)載電壓VrL變化，結(jié)合式(6)～(9)和式(12)～(15)可知，系統(tǒng)為達(dá)到新的平衡態(tài)，會(huì)使得靜電力（矩）重新分配，這將造成左右通道的耦合力變化，即左通道的非靜電外力發(fā)生變化。

另一方面，單自由度對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法還要求在調(diào)節(jié)閉環(huán)點(diǎn)過程中質(zhì)量塊受到的非靜電外力保持不變，否則相應(yīng)的VrVb值會(huì)發(fā)生變化，從而無法精確指示質(zhì)量塊是否調(diào)節(jié)到對(duì)稱中心。對(duì)于圖2所示的系統(tǒng)，以左通道為例，當(dāng)閉環(huán)點(diǎn)位置yL變化，結(jié)合式(6)～(9)和式(12)～(15)可知，系統(tǒng)為達(dá)到新的平衡態(tài)，同樣會(huì)使得靜電力（矩）重新分配，這將造成左右通道的耦合力變化，即左通道的非靜電外力發(fā)生變化。

因此，將平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)多自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)單地視為多個(gè)獨(dú)立平動(dòng)自由度，并采用單自由度對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法進(jìn)行調(diào)節(jié)，會(huì)達(dá)不到應(yīng)有對(duì)稱精度。

3 多自由度靜電懸浮系統(tǒng)對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法

考慮到懸浮體基本處于對(duì)稱位置，因此，線性關(guān)系為系統(tǒng)特性的主導(dǎo)因子；另一方面，耦合力（矩）源于懸浮體各通道所受外力（矩）的不一致性，而這種不一致性的因素取決于θ，又由于θ一般會(huì)被限位在很小的取值，因此，耦合力的大小以及耦合力的變化大小相對(duì)于非靜電外力為小量，對(duì)辨識(shí)和調(diào)節(jié)的精度影響會(huì)被約束在有限范圍內(nèi)。

基于上述考慮，可假設(shè)預(yù)載改變后的非靜電外力為預(yù)載改變前的λ倍，λ趨近于1。則式(18)可改寫成式(21)：

聯(lián)立式(17)(21)可以得到與式(19)相對(duì)應(yīng)的式(22)：

取其微分可得力擾動(dòng)與相對(duì)位移擾動(dòng)的關(guān)系：

將式(24)與式(23)相比，得到相對(duì)位移的相對(duì)變化值：

入式(25)，則式(25)可簡(jiǎn)化為：

在調(diào)試過程中，通過大范圍變動(dòng)預(yù)載電壓Vr，可以保證取到α>>1或α<<1。

當(dāng)α>>1且β>>1，則式(26)可近似為：

當(dāng)耦合力的擾動(dòng)為小擾動(dòng)時(shí)，即|dλ|<1，由于|1/α|、即表明小擾動(dòng)不會(huì)對(duì)相對(duì)位移的方向和大小估計(jì)產(chǎn)生質(zhì)的影響。結(jié)合式(20)可知，對(duì)VrVb值也不會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的影響。此外，小擾動(dòng)保證閉環(huán)點(diǎn)調(diào)節(jié)前后VrVb值近似相等。因此，調(diào)節(jié)后的閉環(huán)點(diǎn)位置雖然不會(huì)直達(dá)對(duì)稱點(diǎn)，但比原位置離對(duì)稱中心近，即有|yn+1|<|yn|。

當(dāng)α>>1且0<β<<1，則式(26)可近似為：

當(dāng)α>>1，而β取值在1附近，則式(26)可近似為：

β代表的是VrVb比值的波動(dòng)量，由2.1節(jié)可知，若其值接近于 1，說明對(duì)稱性已經(jīng)接近理想點(diǎn)，能否進(jìn)一步收斂到更優(yōu)的對(duì)稱點(diǎn)取決于外界擾動(dòng)是否足夠微弱，這也是對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法在有外界力擾動(dòng)條件下，其調(diào)節(jié)精度的極限限制。

對(duì)于α<<1的分析過程和結(jié)果與上述類似，在此不再贅述。

考慮到通過交替迭代調(diào)節(jié)各通道對(duì)稱性，當(dāng)各通道閉環(huán)點(diǎn)越接近對(duì)稱中心，θ也變得越小，耦合力的變動(dòng)也越小，即力擾動(dòng)逐步收斂到零，理論上可以使得各個(gè)通道均逐步逼近對(duì)稱中心，從而實(shí)現(xiàn)多自由度懸浮系統(tǒng)的理想位姿調(diào)節(jié)。

基于迭代調(diào)節(jié)的對(duì)稱性逼近方法其算法流程如表1所示。

上述算法在對(duì)各個(gè)通道調(diào)節(jié)時(shí)，前3個(gè)步驟均易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化過程，而對(duì)于第4步，在調(diào)試人員方便操控的條件下，可以監(jiān)視著反饋電壓Vb的值，手動(dòng)調(diào)節(jié)Vadjust，使反饋電壓調(diào)整到Vb_calculation。但在某些無人的情況下，如衛(wèi)星搭載后，需要整套調(diào)節(jié)算法能完全自動(dòng)化?？紤]到在|y|

表1 基于迭代調(diào)節(jié)的對(duì)稱性逼近方法Tab.1 S ymmetry approximation method based on iterative adjustment

表2 閉環(huán)點(diǎn)自動(dòng)調(diào)節(jié)算法Tab.2 Autom atic adjustment algorithm for closed-loop point

while abs(Vb－Vb_calculation) >精度閾值Vadjust=Vadjust－Direction×dVadjust；while dVb=0//若Vb的變化檢測(cè)不出來，增大閉環(huán)點(diǎn)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)dVadjust=2×dVadjust；Vadjust=Vadjust－Direction×dVadjust；end//判斷反饋電壓變化趨勢(shì)Vb_change2=Vb－Vb_calculation；if Vb_change2×Vb_change1>=0 if abs(Vb_change2)

4 實(shí) 驗(yàn)

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)上述系統(tǒng)模型和閉環(huán)點(diǎn)對(duì)稱性調(diào)節(jié)算法，采用Matlab對(duì)圖2中的兩自由度靜電懸浮系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真參數(shù)如表3所示。

表3 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.3 Parameters of system simulation

4.1.1 變預(yù)載電壓對(duì)力和力矩的重分配影響

保持右通道電學(xué)參數(shù)不變，對(duì)左通道的預(yù)載電壓進(jìn)行350～1050 V的掃描，觀察變預(yù)載電壓對(duì)力和力矩的重分配影響，得到仿真結(jié)果如圖4所示。

由仿真結(jié)果可知，左右兩通道的閉環(huán)點(diǎn)位置并不會(huì)隨預(yù)載電壓的變化而變化，即懸浮質(zhì)量塊的閉環(huán)位姿狀態(tài)不變。然而，改變預(yù)載電壓使靜電力（矩）發(fā)生了變化，即說明改變預(yù)載電壓會(huì)使得左右兩通道間的耦合力（矩）發(fā)生變化，這種變化破壞了變預(yù)載方法調(diào)節(jié)對(duì)稱性的應(yīng)用限制條件，會(huì)導(dǎo)致變預(yù)載方法估計(jì)出來的非對(duì)稱性不準(zhǔn)確。但由于預(yù)載電壓大范圍變動(dòng)情況下，耦合力的變化量（<0.01N）相對(duì)于非靜電外力（單通道約為0.17～0.18N）仍小1個(gè)量級(jí)，故其造成的計(jì)算誤差會(huì)在有限范圍內(nèi)，與第3部分的分析吻合。

圖4 變預(yù)載電壓對(duì)力和力矩的重分配影響Fig.4 Influence of variable preload voltage on redistribution of force and torque

4.1.2 變閉環(huán)點(diǎn)對(duì)力和力矩的重分配影響

保持左通道電學(xué)參數(shù)不變，對(duì)右通道的調(diào)零電壓進(jìn)行掃描，即改變右通道的閉環(huán)點(diǎn)位置，觀察變閉環(huán)點(diǎn)對(duì)力和力矩的重分配影響，得到仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 變閉環(huán)點(diǎn)對(duì)力和力矩的重分配影響Fig.5 Influence of variable closed-loop position on redistribution of force and torque

由仿真結(jié)果可知，當(dāng)調(diào)節(jié)右通道對(duì)稱時(shí)，yR變化6 μm，而yL近似不變（變化不到3 nm）。同時(shí)，由靜電力和力矩的變化曲線可知，在調(diào)節(jié)右通道的閉環(huán)點(diǎn)時(shí)，力和力矩的分配會(huì)發(fā)生變化，這將使得單通道對(duì)稱性調(diào)節(jié)方法不準(zhǔn)確。但同樣的，因?yàn)榱土氐淖兓肯鄬?duì)于非靜電外力小1個(gè)量級(jí)，故其造成的閉環(huán)點(diǎn)調(diào)節(jié)誤差會(huì)在有限范圍內(nèi)，與第3部分的分析吻合。

4.1.3 基于迭代調(diào)節(jié)的多自由度對(duì)稱性逼近方法

設(shè)定對(duì)稱性閾值為 0.001，按照算法 1和算法 2的流程進(jìn)行仿真調(diào)節(jié)，記錄下各通道閉環(huán)點(diǎn)的真實(shí)相對(duì)偏移值和由變預(yù)載方法計(jì)算的相對(duì)偏移值，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 基于迭代調(diào)節(jié)的多自由度對(duì)稱性逼近方法仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result of multi-degree-of-freedom symmetry approximation based on iterative adjustment

由仿真結(jié)果可知，基于迭代調(diào)節(jié)的多自由度對(duì)稱性逼近方法可以克服耦合力帶來的影響，使系統(tǒng)最終收斂至對(duì)稱中心，且只需要3次迭代便可以將系統(tǒng)調(diào)節(jié)至對(duì)稱。同時(shí)，也可以看出耦合力變化對(duì)各獨(dú)立通道的影響：在閉環(huán)點(diǎn)辨識(shí)階段計(jì)算出來的相對(duì)偏移量與實(shí)際值有偏差，在閉環(huán)點(diǎn)調(diào)節(jié)階段無法實(shí)現(xiàn)單次就調(diào)到理想位置，但這些偏差并不影響其逐次減小的趨勢(shì)，從而保證最終收斂。

4.2 物理實(shí)驗(yàn)

以電極配置如圖7(a)所示的星載靜電懸浮加速度計(jì)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，對(duì)其在豎直方向上的3個(gè)通道進(jìn)行基于迭代調(diào)節(jié)的多自由度對(duì)稱性逼近方法驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7(b)所示。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，采用迭代調(diào)節(jié)法通過兩次迭代便使得非對(duì)稱性優(yōu)于1‰。

圖7 基于迭代調(diào)節(jié)的多自由度對(duì)稱性逼近方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experiment result of multi-degree-of-freedom symmetry approximation based on iterative adjustment

5 結(jié) 語

基于迭代調(diào)節(jié)的對(duì)稱性逼近方法可以克服耦合力的影響，把多自由度靜電懸浮系統(tǒng)的多個(gè)耦合通道當(dāng)成獨(dú)立通道進(jìn)行調(diào)節(jié)，通過有限幾次迭代便能使系統(tǒng)達(dá)到較理想的對(duì)稱狀態(tài)。此方法整個(gè)過程可完全自動(dòng)化實(shí)現(xiàn)，可普適于以靜電懸浮技術(shù)為基礎(chǔ)的高精度傳感、超精密減振控制等領(lǐng)域，使系統(tǒng)具備自校準(zhǔn)和環(huán)境適應(yīng)能力，讓系統(tǒng)保持在最佳工作點(diǎn)，從而能保證精密儀器和精密設(shè)備發(fā)揮出應(yīng)有的性能。