概念教學必須重視概念的生成

季錚

章節(jié)起始課如何進行有效教學，一直困擾著數(shù)學老師，同時也激發(fā)了教師針對章節(jié)起始課的教學進行有益的探索和嘗試。我就以數(shù)列概念課的教學為例，簡要的闡述我在數(shù)學概念教學中的一些嘗試。

一、教學過程

1.呈現(xiàn)問題情境

首先請該班學號為1—6號的學生依次匯報自己的身高，通過學號和身高之間的對應(yīng)關(guān)系開始數(shù)列的學習，借此讓學生感覺到數(shù)列就在身邊。

引例（1）這是某倉庫堆放的一堆鋼管，最下面的一層有10根鋼管，自下而上各層的鋼管數(shù)依次是：10，9，8，7，6，5。

引例（2）某種細胞，如果每個細胞每分鐘分裂為兩個，從最初的一個細胞算起，那么每過1分鐘，細胞的個數(shù)依次是：1，2，2■，2■，…，2■。

引例（3）意大利數(shù)學家斐波那契提出了一個關(guān)于兔子繁殖的問題：假設(shè)一對剛出生的小兔一個月后能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔（一雄一雌），此后每個月生一對小兔，如果不發(fā)生死亡，那么按照這個規(guī)律，則各月兔子的對數(shù)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21…

引例（4）π精確到0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00

001，0.000001的不足近似值依次為：3.1，3.14，3.142，

3.1416，3.14159，3.141593。

意圖：數(shù)列的概念不是憑空產(chǎn)生的，通過上述引例讓學生感受到數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)。尤其是在學號和身高的對應(yīng)關(guān)系中，我半開玩笑的指出如果交換其中兩名同學的身高數(shù)據(jù)，一定有一名同學心里樂開了花，另一名同學就不樂意了，以此強調(diào)數(shù)列中數(shù)的順序性。

2.主動建構(gòu)數(shù)學

通過上述實例引導學生思考上述問題的共同屬性，從而揭示上述情境的共同特征：（1）有序；（2）一列數(shù)，引導學生概括數(shù)列的定義，主動建構(gòu)數(shù)學概念，并在此基礎(chǔ)上介紹數(shù)列的項等概念。

回歸問題情境，引導學生關(guān)注：數(shù)列的有序體現(xiàn)為數(shù)列的序號和數(shù)列的項之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，聯(lián)想函數(shù)的相關(guān)特征，揭示數(shù)列是特殊的函數(shù)。并指導學生運用函數(shù)的知識和方法解決數(shù)列的問題：

（1）數(shù)列的三種表示：

①列表法。

②圖像法。

③通項公式。

（2）數(shù)列的分類：

①按照數(shù)列的項數(shù)：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

②按照數(shù)列的單調(diào)性：單調(diào)增數(shù)列，單調(diào)減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列。簡要滲透數(shù)列單調(diào)增、單調(diào)減的判斷方法。通過上述問題的解決，進一步滲透函數(shù)思想，使運用函數(shù)的思想研究數(shù)列的觀念深入人心。

意圖：（1）讓學生在典型豐富的實例基礎(chǔ)上，通過他們對數(shù)列概念屬性的領(lǐng)悟，形成對概念的初步認識，并自主抽象概括出數(shù)列的概念，有助于學生深刻理解概念。

（2） 在數(shù)列概念的教學中，應(yīng)該立足學生的最近發(fā)展區(qū)，同時體現(xiàn)數(shù)學的邏輯體系，形成一條貫穿全課乃至全章的主線。而這條主線，我認為就是用函數(shù)的觀點認識數(shù)列?？梢砸龑W生通過類比的方式，將函數(shù)的相關(guān)知識和認知方法遷移到數(shù)列的學習中來。

3.應(yīng)用概念升華

形成數(shù)列的概念后，在學生通過引入例認識到一些數(shù)列可以通過公式揭示數(shù)列的項與序號間的關(guān)系后，講解例1：若已知數(shù)列{a■}的通項公式是a■=■，寫出該數(shù)列的前5項并判斷■，■是否為該數(shù)列中的項。通過這個問題的解決，引導學生體會通項公式的優(yōu)越性，已知數(shù)列的通項公式可以寫出數(shù)列的任意一項，同時也可以檢驗某些數(shù)是否為數(shù)列中的項。因此，要認識數(shù)列，通常先求數(shù)列的通項公式。在此基礎(chǔ)上，引導學生通過數(shù)列的前幾項，經(jīng)歷從特殊到一般的認識過程，寫出數(shù)列的一個通項公式，解決例1的變式訓練1：已知數(shù)列{a■}的前4項分別是■，■，■，■，寫出該數(shù)列的一個通項公式。在學生基本掌握探尋規(guī)律的方法后，解決例1的變式訓練2：已知數(shù)列{a■}的前4項分別是■，■，■，■，寫出該數(shù)列的一個通項公式。并在此基礎(chǔ)上提煉猜想數(shù)列通項公式的一般步驟：關(guān)注整體、局部分析、合理變形、揭示規(guī)律，而揭示規(guī)律的實質(zhì)即就是揭示數(shù)列前幾項中的變量與序號間的對應(yīng)關(guān)系。最后，在此基礎(chǔ)上，設(shè)置活動，由學生設(shè)計一些數(shù)列，并寫出其通項公式，通過這個活動，一方面可以檢驗學生對數(shù)列概念的理解，也可以讓學生體會從特殊到一般、從一般到特殊的認識數(shù)列的過程。

意圖：通項的處理上，關(guān)鍵要使學生類比函數(shù)，通過對函數(shù)解析式的認識，意識到研究數(shù)列通項的目的，借助通項公式可以寫出數(shù)列中的任意一項，進而從整體上把握數(shù)列的性質(zhì)。在教學過程中，還要讓學生經(jīng)歷從特殊到一般歸納通項公式，在從一般到特殊利用通項公式解決數(shù)列問題的過程。掌握數(shù)列全章學習的基本方法和策略。

4.自主梳理小結(jié)

引導學生自己畫個圖，把今天學的內(nèi)容梳理一下。并陳述其中的數(shù)學思想：函數(shù)思想，從特殊到一般、從一般到特殊，類比。

意圖：概念課的教學中，課堂小結(jié)不應(yīng)該流于形式，僅僅簡單的讓學生復述相關(guān)概念，亦或是放手讓學生針對本課的學習暢所欲言，都不能達到有效復習的目的。概念課的教學中，讓學生重溫這堂課的學習歷程，并在此基礎(chǔ)上繪制知識的網(wǎng)絡(luò)圖，能讓學生進一步體會概念的形成過程、感悟其中蘊含的數(shù)學思想和認知手段。

二、教學反思

1.概念教學的內(nèi)容

概念教學不能流于形式，如果一味的壓縮概念的形成過程、膨脹例題和練習題的訓練，似乎多介紹了幾種題型，多練習了幾個變式訓練題。殊不知，這樣的訓練是低層次的思維練習，學生更多的是停留在模仿的層面上，知其然不知其所以然。比如，在函數(shù)單調(diào)性的教學中，學生通過這樣的教學方式，可以了解函數(shù)單調(diào)性的證明方式，也許還能解決很多問題，但是，學生并沒有真正理解其中蘊含的道理，導致學生面對一些陌生的問題，往往不能聯(lián)想定義進行單調(diào)性的證明。

因此，我認為概念課的教學，首先應(yīng)該明確概念課的教學內(nèi)容。概念課不能蛻變?yōu)榱曨}課，不能以解題教學代替概念教學。同時，概念教學也不應(yīng)該僅僅拘泥于概念本身。概念課的教學，應(yīng)著力于概念的形成過程，使學生在教師構(gòu)建的問題情境中，去體會概念產(chǎn)生的必要性，去挖掘概念所蘊含的本質(zhì)屬性。從而獲得數(shù)學研究對象、認識數(shù)學新對象的基本方法，掌握用數(shù)學的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑。

2.概念教學的方式

數(shù)學概念、數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的，概念課的教學首先得使概念呈現(xiàn)的自然。因此，教師創(chuàng)設(shè)學生熟悉的、與概念密切相關(guān)的問題情境，讓學生體會到概念就在身邊。再引導學生從上述情境中挖掘概念的共同屬性，從而總結(jié)、概括出相關(guān)概念。讓學生參與概念本質(zhì)特征的概括活動是使概念課生動、有效的核心。為了激發(fā)學生參與的熱情，可以組織一些數(shù)學活動，使學生參與其中。比如，在數(shù)列概念課的教學中，可以讓學生列舉一些數(shù)列的例子；在數(shù)列通項公式的教學時，可以讓學生按一定的規(guī)律報數(shù)，對應(yīng)學號的學生起立；也可以由一個學生給出數(shù)列的前幾項，其他同學寫出該數(shù)列的通項公式。

讓學生參與到定義概念的活動中來，給予學生充分的時間和空間經(jīng)歷概念的形成過程，以問題為主線，在設(shè)問、反思、質(zhì)疑的螺旋式上升過程中逐步深化概念的理解，使概念的理解成為學生自主思維活動的成果。

數(shù)學概念蘊含了豐富的教育素材，是人類智慧的結(jié)晶。作為數(shù)學教師，在概念課的教學中，應(yīng)陪伴學生經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光認識世界、解決問題的能力。

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